Галеев Э.М. - Оптимизация (теория, примеры, задачи), страница 6

ВыпуклыеИзИенсенанеравенствасублинейнойтогдаа) р(Хх)Ь) р(х1\р(х)=х2)+А >ТеоремаVУхих2еХ.Моро—Рокафелларафункций.сублинейныхМоро—Рокафеллара.функцияр\функцияДубовицкого—Милютина.функции.Пусть4.2.Р\,р2хточкеО=субли-непрерывные—сопу(др1@)=др2(О)).ЫотделимостинеобходимыхвыводевыпуклыхбудемвТогдаТеоремыПрифункции,сублинейные—Тогдазамкнута.р2дтах{рьр2}@)вР\,РгДубовицко-теоремуиПустьнепрерывна,ТеоремаX;€х^р(х1)+р(х2)дляявляетсякогдаО,теоремуго—Милютинафункциясобственнаячтотогда,VСформулируемсублинейныеследует,толькои45задачиусловийзадачахвисвойствоиспользоватьЛагранжа)(принципаэкстремумаравенствамисзадачахнеравенствамиимынепересекающихсяотделимостивыпуклыхмножеств.называютсяОпределениеотделимыми,X*,А €Множества1.А фО,1Я+что{х=с},^{х=Определениееслилежит| (А,х)XЯ_полупространствемножества2.а| (А,х)X€={х€одномвдругоевеслиотделимыми,X\ (А,х)с},—К,€сполупространствезамкнутом—замкнутомдругомполупро-с}.^МножестваАлинейныйсуществуетявляютсяЯмножествиз€чтогиперплоскостьодно6).ь&вследует,определенияпровеститакназывают-функционалнепрерывный(А, а) ^ шр{А,шГИзXпространстваизкоторогодля°елможноВилинейныйсуществуетеслиВжназываютсяотделимыми,строгоАфункционалнепрерывныйX*,€длякоторогоа)Ш1"{А,ПриведемТеоремапространстве).

ПустьТогдамножестваобрезультаты1А(перваяитеоремаВА—инепустыеВ отделимы.>отделимостикир{А,Ъ).вотделимостивыпуклыеслучае.конечномерномвмножествапростран-конечномерномвК",АПВ=0.г-6ГлаваТеорема2пространстве). ПустьТогда(втораяА1,теоремЕслиУпражнение.[ГТ,см.2К",@ А.ЬА,множества20].с.вместоЬточкиПривестиверна.Сформулируем2<?множествооттеоремевбудетнетеорематозамкнутоеотделитьстрогопростран-конечномерномввыпуклоеможноДоказательствозадачиотделимоститеореманепустое—ЬточкуЭкстремальные1.В,множествовзятьпример.обрезультатыотделимостивнормированныхслучаепространств.1'Теоремапространстве). ПустьАш{ВП(перваяАТеоремапространстве). Пусть2'ТогдаЬможноЗадачистрого1',Пусть/:безXмножествоотмножества[АТФ,с.вЬX,пространстворасширеннуювназывается124].отображающаянормирозадачейВыпуклойпрямую.следующая(аналогТеоремаэкстремальнаянеобходимоФерма).теоремызадачевыпуклойбезограниченийчтобыдостаточно,ибеззадача:(Р)Для(Р)чтобытогоабсолютныйАточка(&минимумвыполнялосьдоставляла€аЪяшпР),соотношение0 €Доказательство.€хаЬкпшгРПосколькуиз4.4.Пустьнормированноеаминимум/:={0,х-х)то/существенно,невообщеследует,чтоговоря,задачарассматриваетсямаксимум.наограничениемс—»0функции-/,неX>выпуклостиЗадачипространство/(ж)-функциивыпуклостьна/(ж)■&& А.А./(а)-ишп.в0,простран-нормированномфункция,выпуклая—Xограниченийсм.Фотделимы.замкнутое2'пространт1АX,вограниченийК—»Вввыпуклоеотделитьтеорем4.3.имножестваотделимостинепустоеДоказательствонормированноеАтеорема—нормированномввыпуклыемножества(втораяАточкунепустые—Тогда0.=отделимоститеоремаВиКвыпуклая—Xврасширеннуюфункция,отображающаяпрямую,БнормироСX—выпуклое§ 4.

ВыпуклыеВыпуклоймножество.задачей)задачейназываетсявПусть(Р).задачеминимумзадаче.этойв->Доказательство.ПустьVокрестностьточкиВозьмем/(ж)а/(ж),=(*)<A-а)ж+аж/(ж)/(A=откудаабсолютныйдоставляетИза/(ж)задачах,говоряЗадачаПусть/,•:гТочкажвсеПридопустимойчтоАивыпол-программированиявыпуклогоусловийэлементовдопустимыхминимума—(Р)А,длякоторойвыпуклогозадачеврегулярностиМножествоусловиенекотороезадаче€€жеслимножествоиспользоватьсях(Р),задаче(Р)А.€жнеравенств.чтоэлементовточкагга,множеством.достаточныхэлементовсуществуете.,выпуклымвпрямую,программирования1,. .,=задачат.допустимыхдопустимыхвтипазадачей,являетсяотображаю-расширеннуюввыпуклогог0,<ограничениябудетмножестваминимумзадача:/;(ж)ппп;называетсяпроверкежвыпуклыхвфункции,Xэкстремальнаяпрограммирования+минимум.выпуклые—ЗадачейДокажите,задачеа)/(ж)Значит,локальныйабсолютныйвидугп,множество.выпуклойI).-дальнейшемвпространствозаданныеУпражнение.являетсяэтой0,1,.

.,—следующаявыполняютсяAпрограммированиявыпуклое->I?,шзадачевизСледовательно,€жжи(Р).задачеимеемК,/о(ж)VПоэтомувыпуклого—»/(ж)<выпуклойв0.>аИенсена)/(ж)вчтожпосколькунеравенству<»нормированное—(по<(*)малом(глобальным).XсуществуетчтоБ.ПТогда,достаточнопри«минимум»,4.5.означает,V€жБ.&минимумследует,называетсяесли<Vхах)а/(ж)+абсолютнымивточкуВПа)х-теоремыявляетсяотображающие линейноеАС XV€/(ж)<произвольнуюхЭточтотакая,/(ж)томинимумабсолютныйдоставляет—1осттР.€жж,аЪшцпР€жлокальныйдоставляет—Тогда(Р)Я.€жтт;1оспйпР€жзада-выпуклойпростозадача:экстремальная/(ж)Теорема.выпуклой(илиограничениемсследующая47задачиСлейтера.условиеСлейтера,условиюудовлетворяет/,(ж)<0,г—1,.

.,т.48Теорема1.Экстремальные1.ГлавазадачиКуна—Таккера.ЕслинайдетсяРаЬзтш€хненулевойзадачирешениемножителей—вектортакой,длячтофункцииА(х)Лагранжа]1=0[}А;/,(а:)—Ат)А^.. ,=тКтИ,топрограммирования,А(Ао,выпуклогоЛагранжа€выполняютсяусловия:а)принципдляминимумафункцииЛагранжаттЛ(а:)х€АЬ)дополняющейс)неотрицательности:=нежесткости:А,- > 0,2.хЕслидлядопустимойЕслидлядопустимойточки3.допустимыхточкиДоказательство./о(а;)/о(ж).-В={ЬВчтонеотрицательнымикомпонентамихх,х'Положимхае.ах=абA+бы,СчтоСчтоВ,Пимеетсяа)х'.-Тогдато/о(ж)ввиду=€(со,0,. .,0)=Ясно,ВПжа0.-4,0,1,. .,=В.A€Кт+1мож-Ьточки-а)Ь'В€VВмножества/((ж')Ь\,^г0,1,.

.=.4поскольку€асу-,т.выпукло,—Иенсенанеравенствупоа)Д(а;')-Пустьа6+Aт,+Вмножестваопределению6,-,аЛ(в)^Действительно,что^0,1,. .,»»}.=неотрицательны-сопределениипо=аб,^A+-аN,',5.€{с=элемента)*')-тог•вектордоказать,/,-,а)Ь'—Кт+1.пространстве€A+в}{{х)чтоA+СПокажем,сНадоЬ, Ь' € В,функций/;(аа:=точкаобщности,множестваВ.такие,выпуклостиОбозначимвАлюбойе.ибоВ,точки€т.выпуклостьмножествуПосколькуВ,СДокажемх.—принадлежатсуществуютт.К^+1принадлежитположить/;(а;а)аЬзгшпР.функциюмножество.выпуклоенепустое—томножество€ограничиваяновуювведемихто/{(х)^Ь{,октантввидуНеаЬзгшпР.€иначе—а)—с)условияСлейтера,(Ь0,Ьи.. ,Ьт)е-Кт+1\ЗхеА:=1).выполненыАо Ф 0,иПоложимПокажем,аа)—с)условияусловиюж0=неотрицательный@,выполненыхПусть/о(ж)чтоЬ'худовлетворяетэлементовсчитаем,и0,1,. .,т.=аЬзттР.€можногСчтоДействительно,определениях€|содлякоторого—лучсуществовалаВвыполняютсяоткрытыймножество.выпуклоебыеслимножестваА,0}<непустое—отсюдаточкаследовалонеравенства:§ 4.

Выпуклые/0(ж)^/;(ж)О,<содопустимойдляпротиворечиесПопервойАт)ф О,Вмножества. .,О,<гусловиемяНога./0(ж)<теоремытеоремеСдля1,. .,=/0(ж)жточки0,Ссуществуетт.е.чтоПолучилиВПконечномерном0.=пространствеА =вектор(Ао,АькоторогоАосоаир=Такимследует,^ аЬкгшпР.жЗначитвотделить,неравенстве.т.аЬзпгшР.€жэтихиз=отделимостиможно49задачи^0.образом,т^2А<6<ьеву>о(*).1=0Из(*)неравенствадополняющей1.любойУсловие@,. .,нуля).0)В,гдеэту/,•(&),0,хПодставивэту(такВ.Принципнаи(*),ЗначитА(х)X)=как,такТакимобразом,> 0.2.ПустьдляАоПоложим1.=положилиминимумадопустимойТогдафункциидля^Если0.А;/,(ж)>А,'А,=/о(ж)А,/,(ж)0=допустимой1,.

.,гга.—доказан.а)—с)хдока-ужегЛагранжаусловияточкипои=0,будетАо ф 0.ивыполнятьсянеравенство/о(*>=/о(*>+Х^А«/«(*)=л(*)<^ч*)мх)+Т,-1=1(в последней^ ^(а1)/о(ж)длях*№)<1=1суммевселюбой0.(/о(ж),точкатогда0,0)^А,/,(ж)Значит,ж.выполненыхточкилюбойдляВПод-=нежесткостипринципточка1=0дополняющейусловию0.что(*)неравенствуобщности,ограничиваянеА,' ^множестваопределении6х1^0доказанномувидеть,точки\№)начинаемчтонеотрицательноститочкуповекторвыполняются.условиюдопустимостиВ.€получим,А,/,(ж)имеемто(счетместег-омвлю-В,неравенстванужныеВозьмемговорили,ужеНетруднодоказанномуминимума.мы(*),Действительно,А€противоречит}\(х),. .,}т(х))стоитнеравенствовнеравенствоужеэто—€хвпо0>0)тогдаточкукаккакнежесткости.0,.

.,ж,=неотрицательности,принадлежитединицаточкудополняющей@,. .,/,-(ж)Поскольку,€ПодставивУсловиеусловияминимума.компонентаминеотрицательными0,1,0,. .,возьмемвыведеныпринципинеотрицательности.свекторстобудутнежесткостислагаемыедопустимойНеравенствонеположительны).А,/,(а;)точкихозначает,чтож€аЬкгшпР./»(*)50Глава3.ПустьмножестводопустимойдлячтоАоэтомпринеотрицательностисуществуетвыполненыбытА(х)А,/,(ж)\]}]{х)^0<Ноэто1полученноенеравенствоаЬкгшп€Куна—ТаккераИзполностьюАоФ 0Значит,нашедоказанномупои->Пустьдопустимаяточка—»/,-(а;)К,гт5Г А,-/,-(ат)0,. .—г1,.

.,=,гга,ограни-(&Ор1),€Ао0>(Р')т.функции,выпуклыедля—Лагранжамножителемс0,^(Р')задачевбезнеравенствамизадачу1шп;X/,■:условиядостаточныесзадачеРассмотрим/о(х)Теорема.вывестиможновключения.типа■доказана.выпуклойвминимума=а).условиюПоэтомуневерно.Куна—ТаккератеоремыабсолютногоА(ж)условия{1,. .,т}.Р.Теоремаограничения0=]■1=противоречитАочтосилу€вто0,>А,/,(#):2^=1=1предположение,2 ±п.Пред-тс)2^0,А^-одномно-иСлейтера.А фвекторкакхотяСледовательно,=а)—с)условияусловиюудовлетворяетТак0.=задачиАточкиэлементовдопустимыхПредположим,Экстремальные1.вхфункции—Лагранжавыполняютсяхточке1=0условия:а) условиеЬ) дополняющейс) неотрицательности:ТогдафункциистационарностиДоказательство.Посколькуфункции,ЛагранжамножителямиФерматочкенастоящейтеоремет;Ао0,. .=сабсолютногоминимумаобразом,Куна—ТаккераКуна—ТаккератеоремыдА(х)функцииЛагранжафункциидлядляаналогуявляетсяфункцииТаким2€минимумастационарноститеоремыПо0принципуп.неотрицательны-функцией.условиеравносильноПовыпуклые—{=0Куна—Таккера.0.,тп,Х}А(/|(а;)=выпуклойа)-с)фгнашейзадачисмножите-следует,чтоаЬшшпР'.■Легкоограничениями1,.

.,=тусловиесоотношенияЛагранжаК,—»условиемЗначит,ж.теоремеввыполняются€Xгт.функцийдостаточнымивЛагранжаж/,:1,. .,=являетсявыпуклыхдлянеобходимымЛагранжамножителем%Л(ж)Лагранжафункциятотеоремыв0,0,=аЬягшпР'.ж€ми^А;дА(А);0 €Лагранжа:А,-/,(ж)нежесткости:видеть,типаравенствтеоремачтоинеравенств,остаетсяесливернойфункции,изадачдлязадающиесограниче-равенства,§4.являютсяаффинными.равенство/(ж)—/(ж)/(ж)0,^функций/иВыпуклые(В0=^этом0-»0.Из=х\случае,/(ж)^51задачикак0^мыобговорилизаменяетсяаффинностидвумяфункции/вэтом3.2п.неравенствамивыпуклостьследует-/.)Пример./(жьвыпуклыхвыпуклаповторыхпроизводных++ххх2/(ж)Функцияфункций.ТеоремеРешение.двухж2)3|Ж!+ж24.1,п.2|-покаккакд(х)функциятакшш.->функциейвыпуклойявляетсяДействительно,2ж2+х\=+суммаСильвестракритериюх\+ж;ж2матрицаоположительноопределенак{хх,Х2}+иХ22|,—Необходимоеограничений:сДляпроизводной.дк(х)Найдемпри&2+Х\д/(х)2—0.—дд(х)=Повытекает,откудаПринеравенствоПоэтому|ал|чточтовытекает,такихаB)будетдН(х)=<(а,а),\а\^1,к,т.е.аг.вточках<=>Х2Жл,а—2)A,1),жл+|жл^ж2+2 >-х1+х2-2Жл+ж2-2<0.1(-1,-1),=чтотаких,а(жл+ж2(а,2(а,а),чтообразом,B)жьж2.^л-21+Сл,^щх1получим,Таким=выполняться:Гсум-Vчто-Х2,—К2жеж2-2|-|ж1+Ж2-2|0, получим,=х±^значенияхBжл=V+Полагая1.^Ж2субдифференциалееесубдифференциал+ &2,хг+ 2х2).функцииофункции^Н(х)~Н(х)B)неравенствеA)субдифференциалаа2Ж2^|ж1взадачеЪдк{х)+определению(х-х,а)ПолагаятакжевыпуклойвэкстремумаМоро—РокафелларадифференцируемойПоэтомудд(х)вточкенедифференцируемоститеоремусовпадаетфункциячтофункциилинейнойусловие0 е(использовалифункций).Очевидно,х.отмодулемдостаточноеисуммызависитнеявляющаясяфункцией.выпуклойявляетсябез\х\=откуда-ж;+ж2—2|а1)х2С2,^\а\ж22-V=Жл,Ж2-0,0,=ЗначитBжлBх1Bжл+ж2++Х2++ж2-3,3«.3,Ж]2х2+Х1++3),2ж2+жл2ж2+-3),За),|а|^1,жл+ж2Жл+ж2жл+ж2---2 >21.^=2 <0,0,0.052ГлаваСледовательно,\2ХХ+[ хх222х2+{2а;!{2ххх1а?!В+х22х2++х2+2ж2(г)случаеВ случае(ггг)такжеследует,В случаечтох\0,+3=0,+За=0,+За=0,3=0,3=О,х2х2=из5тт4.6.В}(х)4.2./(а;)4.3./(г1,2;2)4.4./(хих2)В4.5./(ж)4.6./(ж)4.7./(аОВ4.1-4.4=ах1=ае2+Ьх/(ж1,.

.,х\+х2таккаксх2=прис\,=х\а=х2=—(ггг)0.системы+Х\условиемкак(п)(Н<1)0,уравненийизтакуравнений2 <-сизх2уравненийусловиемх\+х22 >0.<0.-2имеетнеизвестнымитремя—системы1.1.—какихпри=ж1пж=1ШП=2|а:-1||г2р)I/Рфунк-параметразначенияхA{а;1|+^24.8-4.15+Ж2=О/,=|ж|функции:выпуклымиж}.субдифференциалывычислить0:—гпах^ж,хп)Х\лиж).-М+х0).являютсяж) 1пA->а22х\.+выяснить,+точке(рга^а;!^+4.5-4.6—при=(г)0,с.+Онж?=задачах$ ух)+(|г1р)=в+22-22 >-выпуклыми:задачахфункцийXIвыяснить,являются4.1.прих2упражнениязадачахфункции+противоречиетрех&13,=Задачи,х1точек,—решениеобразом,припротиворечие—критических2нет+2—видевточек,=системаединственноеТаким4.10.=задачизапишетсякритическихХ\(гг)3-+следует,+-нетчто4.о.A)соотношение<Экстремальные1.:=( У):"выпуклыхфунк-§Элементы5.4.11./К. .1а;„)=4.12./(хи..