Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление, страница 8

д. ем не менее с точки зрения, принятой в этой книге, разделение ограничений на равенства и неравенства, с одной стороны, н включения — с другой, имеет свой смысл, В курсах анализа приводится (а в 2 1.3 об этом будет сказано подробно) правило множителей Лагранжа для решения задач на «условный экстремум». Как известно, применение этого правила начинается с составления «функции Лагранжа», в которую входят как исследуемый функ. ционал, так и функции, задающие ограничения. Может оказаться, что по разным причинам некоторые ограничения выгодно ие включать в функцию Лагранжа. Так вот, в виде включений мы и выделяем именно те ограничения, которые при решении соответствующей задачи в функцию Лагранжа не войдут.

При этом, как и при формализации задачи (где бывает много способов и выб(цо удачного зависит от искусства исследовате(1я), в вопросе о разбиении ограничений нет однозначности. Перейдем к описанию основных классов экстремальных задач. В дальнейшем с достаточно общих позиций будут рассмотрены следукицие четыре класса. 1. Гладкие задачи с ограничениями типа равенств и неравенств. Здесь класс допустимых элементов Х будет обычно нормированным пространством '), и ограничение С задается равенством Р(х)=0, где Р— отображение Х в другое нормированное пространство К„ и конечным числом неравенств )г(х) О, (=1, ..., и. В итоге получается класс задач )е(х)- ш(, Р(х)=0, )1(х) 'О, (=1..., и.

(1) При этом предполагается, что функции )о (=1, 2... „и, и отображение Р обладают некоторыми свойствами гладкости. Гладкую задачу ),(х)- тп( будем называть вле. ментарной гладкой задачей '). П. Классическое вариационное исчисление. Здесь традиционным классом допустимых элементов является банахово пространство Х=С'(~(ю (Д, Кь) непрерывно дифференцируемых и-мерных вектор-функций х( ) =(х,( ° ), ..., х„( )), в котором норма задается з) Термнны анормнрованное пространство» н «оанахово пространство» используются здесь н ниже только для корРектности постановка задачн.

Точные определения читатель найдет в и. 2.1,1. В задаче (1) можно для простоты считать, что х= (хы ..., х„)-вектор в и-мерном арифметическом пространстве й". а) Задачи на макснмум нлн с неравенствами другого знака (Ль) легко прнводятся к выду (1)„ см. й 3.2. 49 формулами 11х( )1» шах(1х( )$„~х( )1,), '1х( )!/,= шах 1' шах ~х;(Ю)1). 1 к 1<»»»»вы» !»1 Функц11оналы в задачах классического вариационного исчисления бывают обычно следующих типов: — интегральные, т.

е.. функционалы вида Ю(х( )) = ~ 1(1, х, х)с(1 = »о $Ь(1, х,(1), ..., х,(1), х1(1) . ° х (1))д1' (2) — терминальные, т. е. функционалы вида ет (х(.)) =1(х(1»), х(1,)) = = 1(х, (1,), ..., х„ (1,), х,(1,), ..., х„ (1,)); (б) — смешанные функционалы вида З(х( ))=з (х( ))+вУ (х( )). (4) (В дальнейшем функционалы (4) мы называем также функ- ционалами Больца.) Ограничения в задачах классического вариационного исчисЛения обычно распадаются на две части: — дифференциальные связи вида М(1, х(1), х(1))=ОФФМг(1, х,(1)...„х„(1), х1(1), ..., х„(1))=0, 1=1, 2, ..., р; (б) — граничные условия вида ф( (1.).

(1,)) = =04»гзу(х1("»)' ''' х»(1») х»(»»)» ° » хь(»1))' (б) 1=1,2, ...,з, В (2) и (б) Е, М; и в (3) и (б), 1, ф — гладкие функции 2а+1 и 2а переменных соответственно. Задача з(х( ))- 1п1, М(1, х, х)=0, ф(х(1,), х(1,))=0 (7) называется задачей Лагранжа. Задача З(х( )) — »!п1, М(1, х, х)=0, ф(х(1»)» х(1,))=О называется задачей Больца.

41 Задача Ф (х(.)- 1п1„М(1, х, х)=0, ф(х(1,), х(1,))=0 называется задачей Майера. Задачу без ограничений и Я(х( ))=)Е(1, х(1), х(1))й(+У(х(1,), х(1,))- 1п1 (8) ц будем называть элементарной задачей Больуа. Задача и й(х( )) = ~ Е(1, х(1), х(1))й(- 1п1, х(1,)=х„х(12) =хг , (9) называется простейшей еекторной задачей классического еариационного исчисления, а в случае, если и=1, то— простейшей задачей классического вариационного исчисления.

Для простоты здесь мы ограничились задачами с фиксированным временем. Более общую постановку, в которой функционал и ограничения зависят также от переменных 1, и читатель найдет в гл, 1Ч. Ш. Задачи выпуклого программирования. Здесь класс допустимых элементов Х является линейным пространством, а ограничение С задается системой равенств Р (х) = 0„(где Р: Х вЂ” У, 1' — другое линейное пространство), неравенств ~;(х)ч О, 1=1, 2...

„т, и включений х Е А. В итоге получается класс задач ) (х) . !п1„Р (х) = О, ~~ (х) ( О, 1 = 1, ..., т, х Е А. (10) При этом предполагается, что функции 1о 1= О, 1, ..., т, выпуклы, отображение Р аффинно (т. е. Р(х) = = Лх+и, где т) — фиксированный вектор, а Л вЂ” линейный оператор из Х в У), а А — выпуклое множество. Если в (10) все функции ~~ линейны, а А — некоторый стандартный конус, то задачу (10) называют задачей линейного программироеания. Если в (10) ограничения отсутствуют, то задачу ~, (х) — 1п1 с выпуклой функцией ~, мы называем элементарной выпуклой задачей без ограничений. 1Ч. Задачи оптимального управления. В этой книге будет рассмотрен следующий класс задач 42 оптимального управления, где х ЕЙ", а ЕЙ': 'У( () (), (., г',)= и = 11(' '(1) (1)) й(+й(г„(1,), 1„ ~е х=ф(т, х, и), ф((„х(1,), 1„х(1,))=б, иаП.

При этом в (11) моменты 1, и 1„вообще говоря, не фиксированы, все функции ~: Й Х Й" Х Й' Й, ЙХЙ"ХЙ"- Й", ф: ЙХЙ"хЙхЙ" — Й', и= Й х Й" хЙ х Й" — Й предполагаем непрерывными по совокупности переменных и непрерывно дифференцируемыми по переменным 1 и х; множество П вЂ” некоторое, вообще говоря, произвольное подмножество Й". Для полного описания задачи осталось лишь объяснить, что же составляет здесь класс допустимых элементов. На первых порах будем рассматривать совокупность вектор-функций (х( ), и( )), где и( ) определена и кусочно-непрерывна на [1„111, причем для всех 1 выполнено включенйе и (1) Е П, а х( ) непрерывна на ~1„1Д и дифференцируема во всех точках, кроме тех, где и( ) терпит разрыв; при этом во всех точках дифференцируемости х( въшолнено равенство х(1)=ф(1, х(1), и(1)).

адачи, в которых функционалом является 1„называются задачами о быстродействии, Теперь можно посмотреть, в какие классы попадают задачи пп. 1.2.1-1.2.5. Задачу Евклида (см. (1) п. 1.2.2) можно отнести и к гладким задачам и к задачам выпуклого программирования. Задача Архимеда в формализациях (2) и (2') п. 1.2.2 и задача Кеплера (3) п. 1.2.2 относяФся к числу гладких задач.

Задача о прел омлен ни света (см. (4) и. 1.2.2) — это и элементарная гладкая задача, и элементарная выпуклая задачи. Зад.ача Штейнеря (см. (5) п. 1.2.2) — элементарная выпуклая задача. Задача Аполлония (см. (6) п. 1.2.2) — гладкая задача с ограничениями типа равенств. Задача Н ь ю тон а (см.

(3) п. 1.2.3) — задача оптимального управления. Классическая изопериметрическая задача в формализации (1) п. 1.2,4 относится к клас- 43 сическому вариационному исчислению, а в формализации (2) — к оптимальному управлению. Задача о брах и ст ох роне (см. (3) п. 1.2.4) — простейшая задача классического вариационного исчисления; эта же задача в формализации (4) ц.

1.2.4 — задача о быстродействии оптимального управления. Т р а не п о р т н а я з ада ч а и з ада ч а о р ац ионе (см. (1) и (2) п. 1.2.6) — задачи линейного программирования; п р о с т е й ш а я з а д а ч а о б ы с т р о д е й с т в и и — задача оптимального управления. Итак, задачи формализованы и классифицированы.. Посмотрим теперь, что может дать для их решения'аппарат анализа. й 1.3. Правило множителей Лагранжа н теорема Куна — Таккера 1.3.1, Теорема Ферма. Первый общий аналитический прием решения экстремальных задач был разработан Пьером Ферма. Открыт он был, по-видимому, в 1629 г., но впервые достаточно полно изложен в письме к Робер- валю в 1638 г. Можно посоветовать читателю обратиться к книге Декарта' ), где приведено это письмо, и самому вникнуть в первоначальную мысль Ферма. На современном языке (правда, у Ферма лишь для полиномов) прием Ферма сводится к тому, что в точке экстремума х в задаче без ограничений Т(х) ех1г должно иметь место равенство)'(х)=0.

Как мы помним, первый намек на этот результат содержится в словах Кеплера из «Стереометрии винных бочек», Точный смысл рассуждения Ферма приобрели через 46 лет, когда в 1684 г. появилась работа Лейбница, в которой закладывались основы математического анализа. Уже само заглавие этой работы, которое начинается так: «Моча ше1Ьодпз рго шахин!з е! шшпп!з...» («Новый метод нахождения наибольших и наименьших значений... »), показывает, какую важную роль сыграла задача о нахождении экстремумов в становлении современной математики. В своей статье Лейбниц не только получает в качестве необходимого условия соотношение 1'(х) =0 ') Р. декарт. Геометрия./ С приложеиием избраииык работ П.

Ферма и переписки Декарта.- М. — Лп ГОНТИ, 1938, с. 154. (сейчас зтот результат называют теоремой Ферма), но и употребляет второй дифференциал для различения максимума и минимума. Следует, конечно, напомнить, что большинство излагаемых Лейбницем фактов было к тому времени известно также и Ньютону. Но его работа «Метод флюксийь, завершенная в основном к 1671 г„была опубликована лишь в 1736 г. Перейдем теперь к самой теореме Ферма, напомнцв предварительно некоторые факты из анализа. Начнем с одномерного случая, когда функции определены на вещественной прямой К. Функция 7': Й К одного переменного называется дифференцируемой в точке х, если найдется такое число а, что 7(х+Л) =1(х)+ Л+г(Л), где г(Л)=о((Л)), т.

е. для' любого е > 0 найдется 6->О такое, что из 1Л(. 6 следует )г(Л)! =е)Л(, Число а называется производной 7" в точке х и обозначается )'(х). Таким образом, 7',(х) = 11ш ()(х+Л) — 1(х))7Л. Х-~ О Теорема Фе рма. 17усть 1 — функция одного переменного, дифференцируемая в точке х. Если х — точка локального экстремума, то 7' (х) = О. (1) Точки х, в которых выполнено соотношение (1), на'зываются стационарными, В соответствии с общими определениями п. 1,2,1 точка х доставляет функции 1 локальный минимум (максимум), если найдется такое в>0, что из неравенства 1х — х~ < в следует неравенство 1(х) 1(х) (~<1(х)). Согласно теореме Ферма точки локального зкстремума (максимума или минимума) являются стационарными. Обратное, разумеется, неверно: например, 1(х)=х', х=О. Доказательство.

Допустим, что х — локальный минимум функции 1, но ~'(х) =с«~0. Пусть для определенности с« < О. Задав в = 1а'у2, найдем из определения производной такое 6 > О, что из )Л) < 6 следует ~г(Л)~ < < ~ и|) Л 'у2, Тогда для 0 < Л < 6 получаем Р(х+Л) =1(х)+аЛ+г(Л) ~ 7 (х)+с«Л+ — '> — 1(х) — ( — — < 7 (х)> т'. е. х не является точкой локального минимума 1. Противоречие доказывает теорему. ° Для многих переменных (а тем более для «бесконечного числа переменных») имеется несколько разных определений производных. Более подробно говорится об этом в гл. 11 (см. п. 2.2.1).