Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление, страница 12

Пусть 1, удовлетворяет тем же условиям, что и в и. 1А.1; 1=1(х„х,) — непрерывно дифференцируемая функция двух переменных. Рассмотрим задачу иа зкстремум в пространстве С'([1,„1,]); Я(х(.))=) Х.(Ю, х, х)йх+1(х(М,), х(1,))- ех1г.(1) Ее и называют задачей Больца. Теорема (необходимое условие зкстрему. -ма в задаче Б ольца).Пуотьфункциях ЯбС'([1,11Д) и доставляет локальный минимум в задаче (1). Тогда выполняется уравнение Эйлера — — 7.„(1, х(1), хЯ)+1.„(1 х(1), х(1))чьО (2) и условия траясверсальяости: д( (х ((«), х (й)) (.. ((„((,), ((,) = — """ "")'. (з) Доказательство. Действуя в точности так, как на первом этапе доказательства теоремы предыдущего пункта, получим такое выражение для первой вариации функционала Я: 6Я(х( ), х(.))= =) (д(() х(1)+р(() хЯ)г((+а«х((«)+а1х((,), (4) и где р( ) и д( ) определены соотношениями (3) предыдущего пункта, а а;= ' ', (=О, 1.

Так как д( (х ((о) х ((1) 1 х(.) — точка локального минимума, 6Я(х( ), х( )) =0 для любой точки х( ) Е С' ([(„(,1). В частности, 6Я(х( ), х( )) = 0 для любой х( ) Е С' ([(„(11), у которой х((,) =х((,)=0. По лемме Дюбуа — Реймона функция р ( ) непрерывно дифференцируема и при этом дс (Π— =д((). Интегрируя (4) по частям и используя то, Ф что р(() = д (1), приходим к следующему выражению для первой вариации по Лагранжу функционала Больца: 0 6Я(х( ), х( ))= и = ~ (г((() — р(()) х(() Ж+(а,— р((,)) х(г,)+ + (а, + р ((,)) х((,) = (а, — р (г«)) х((,) + (а, + р ((,)) х (г,). (б) Положив в (5) последовательно х(() =(( — («), а затем 1 — г„получаем, что а,= р((,), — а,=р((,). ° Итак, мы снова получили уравнение второго порядка и два краевых условия — условия трансверсальности.

Выше была рассмотрена «одномерная» задача Больца. Совершенно аналогично ставится векторная задача: Я(х( )) =) Ь(С х„..., х„, х„.. „х„)«((-(- с. +((х«(г,), ..., х„(г,), х,(г«), ..., к„((,))- ех1г, (1') 3 в. и. лл«««««э «дэ. 65 где Ьг йх11" хК" — й, 1: 11"хй» К. Необходимые условия экстремума здесь также имеют вид (2), (3), только соответствующие уравнения надо понимать векторно: — — Е,„(1„х, (1), ...„х„(1), х, (1), ..., х„(1))+ -(-Е (Е, х,(1), ..., х„(1), хг(1), ...„х„(1))=0, (2 ) Е.„(т„хг(1,), ..., х„(1,), х,(1,), ..., х„(Е,)) = У д1(хг (1»),, х» (га), хг (гг),, хп (0)) дхы 1=-0,1; 1=1, ..., п. 1.4.3.

Расширения простейшей задачи. Простейшую задачу классического вариационного исчисления в и. 1.4.1 мы рассматривали в пространстве С'([1„1,1). В этом— определенная дань традиции. Пространство С'([1„, 1Д), конечно, удобно, но далеко ие для каждой задачи оно является естественным. В частности, при тех предположениях относительно интегранта (непрерывность Е, Ь„, Е; по совокупности переменных (1, х, х)), существование решения в пространстве Сг([1„1,1) не всегда можно гарантировать. Приведем один из простейших примеров. Пример Г ил ьбе рта.

Рассмотрим задачу 3(х( ))=~ 1пхзй — 1п1, х(0)=0, х(1)=1. Здесь уравнение Эйлера имеет интеграл импульса (см. п. 1 4.1) 1ч*х=С, откуда следует, что единственной допустимой экстремалью является х(1)=Р/ . Эта экстремаль не принадлежит пространству Сг([1„, г,)) (почемуз). Вместе с тем она доставляет абсолютный минимум в задаче. Действительно, пусть х ( ) — любая абсолютно-непрерывная функция'), для которой интеграл 3(х ( )) конечен г) Об абсолютно непрерывных функциах говорится в п. 2.1.8. Читатели, не знакомые с этим понитием, могут считать, что х( ) непрерывно лифференцируема в полуинтервале (О, 11, интегрипуема в несобственном смысле иа отрезке [О, 1), имеет конечный интеграл З (х( )) н х(О)=х(!) =О.

и х(0)=х(1)=0. Тогда ! Р(х( )+х( ))=~ гт (х«(г)+2х(т)х(1)+х*(г))лт'= а 1 = й(х( ))+ — ) х(г)Ш+л (х( ))= о = Й (х( ))+о (х ( )) ) л (х ( )). Итак, решение задачи существует, но не принадлежит пространству С" (11„1т1). Среди знаменитых «проблем Гильберта» некоторые посвящены вариационному исчислению.

В частности, в двадцатой проблеме речь идет о существовании решения. Гильберт') пишет так: «Я убежден, что эти доказательства существования можно будет провести с помощью некоторого общего основного положения, на которое указывает принцип Дирихле и который, вероятно, приблизит нас к вопросу о том, не допускает ли решение каждая регулярная вариациониая задача..., если в случае необходимости самому понятию решения придать расширенное толкование». Оптимизм Гильберта подкрепляется огромным опытом классического анализа.

Здесь мы вкратце обсудим проблему «расширенного толкования» решения на примере простейшей вариационной задачи. Одна из конструкций расширении состоит в том, что к первоначальному классу допустимых элементов добавляются новые и функционал при этом доопределяется на этих новых элементах. В этом направлении мы сделаем скромный шаг — осуществим расширение простейшей задачи на класс кусочно-гладких функций. Напомним, что кусочно-гладкой функцией на [(„(,1 называется функция х( ), обладающая тем свойством, что сама она непрерывна, а ее производная кусочно- непРеРывна, т.

е. непРеРывна всюдУ на (т'„ (т1, за исключением конечного числа точек т ( т, ( ... ( т и при этом в точках т, производная х( ) имеет разрывы первого рода. Например, функция ') Проблемы Гнльберта/Под ред. П.С. Александрова.— Мл Наука, 1969, с. 55, 67 Зе имеет производную, которая не является кусочно-непрерывной. Совокупность всех кусочно-гладких функций на [1„, 11) обозначим КС'([1„1,1) Интегральный функционал и У(х( )) = ) Ц1, х(1), х(1))Ю (ср. п. 1.4.1) естественно продолжается на элементы х( ) ЕКС'([г„11)), поскольку для таких х(.) подынтегральная функция кусочно-непрерывна и интеграл существует.

Рассмотрим теперь простейшую задачу У (х( ))- ех1г, х(1,) =х„х(Г,) =хт (2) в-проетранстве КС'([1„1,1). В конце этого пункта будет приведен пример функции С, удовлетворяющей стандартным условиям, для которой задача вида (2) в пространстве С'([1„111) решения не имеет, а в КС'([1„11))— имеет, так что проведенное расширение задачи оказывается разумным (хотя в примере Гильберта минимум не достигается и в КС'). Несколько аккуратней надо быть с понятием локального решения. Если в окрестность элемента х(.) Е ЕКС*([1„111) мы будем по-прежнему зачислять такие х( ), что малы как сами разности х(() — х(1), так и их производные (ср.

определение слабого экстремума в п. 1.4.1), то вновь добавленные элементы будут располагаться далеко от старых. Действительно, еслй производная х( ) имеет в некоторой точке скачок величины б, то ни одна из функций х( ) ЕС'([1„111) не может удовлетворять неравенству ~ х(а) — х(1) ~ < 6(2 для всех 1 (для которых х(1) существует). Это, вообще говоря, неудобно: обычно хотят, чтобы старое пространство лежало в расширенном всюду плотно. Поэтому близость в КС" ([1„г11) мы будем определять, сравнивай только сами функции, но не их производные. Это приводит к замене понятия слабого экстремума (п. 1.4.1) понятием сильного экстремума.

Оп редел ение. Функция х( )ЕКС'([1„111) доставляет сильный минимум (максимум) в задаче (2), если существует такое е ) О, ыто для любой х( ) Е КС'([8„Я, 68 для которой х((е)=х„х(1,) х( и [х( ) — х( )!/,= зир (хЯ вЂ” хЯ~ < е, (3) (л((е, П] 'выполняется неравенство 3(х( ))>3(х( )) ( 3(х( ))). Лемма о скругленин углов.

1) Если функ(]ия $ =Е(1, х, х) непрерывна по совокупности аргументов, ]по ]п1 3(х( )) =ш13(х( )). (4) к( )лкоа (Не. (,]) к( )еса (](е, (а]) а Ое)=ле е ((а)е ла л ((е)е ле а ((а)=ла 2) Равенство (4) сохранится, если брать только те х ( ) Е КС) ([1„1)1), которые удовлетворяют неравенствам (3) длд заданных х( ) и з > О. 3) Утверждение сотрется верным и при замене ш1 ка зпр. Доказательство.

Поскольку КС)([1„1)1)л =зС) ([г„)а)), левая часть в (4) не больше правой н нужно лишь доказать обратное неравенство. Предположим противное. Если 1п1 3(х ( )) < 1п1 3(х( )), то найдутся такая кс с кусочно-гладкая х( ) н такое )] >О, что Ю(х( )) ( < ]п1 3 (х( )) — 1]. Пусть тн ('=1, 2..., т,— точки разс, рыва производной х и а)(=х(т(+0) — х(т,— 0) — ее скачки в этих точках.

На замкнутом ограниченном множестве ус= ((1, х, х)11,<1<1„]х — х())~< ~< шах]а)(16е)4, ]х — х(1) ]~< шах]с)(])2) непрерывная функция Е ограничена: ]Е(1, х, х)~(М. Функция (б) непрерывна, а ее производная при 1=0 имеет скачок зе/( в т('а личины — 1. Поэтому функция Ьа [ — (~, график которой 6 получается из графика а( ) подобным преобразованием и сдвигом (рнс. 22) также непрерывна, н ее производная непрерывна, кроме точки т(, где она по-прежнему имеет скачок — 1. Теперь нетрудно проверить, что функция м хь (Е) = х (1)+ ~',лА еба ~:~!) т=! непрерывна вместе со своей производной на [1„1,], причем хь(Е)нмх(1) вне отрезков. ! [т,— 6, те+6].