Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление, страница 7

Действительно, если выбрать ломаную х(.) с очень большой по модулю производной (рис. 21), то интеграл (2) будет очень мал, С другой стороны, для любой функции х( ) интеграл в (2) неотрицателеи. Таким обра- Ю Г зом, нижняя грань значений ин- теграла равна нулто. Рнс. 21. Отмеченное только что обстоя- тельство неоднократно вызывало критику, иногда и злорадную. Один из последних примеров — в книге Янга ь) говорится: еНьютон сформулировал вариационную задачу о теле вращения, испытывающем наименьшее сопротивление при движении в газе.

Принятый им закон сопротивления физически абсурден, в результате чего поставленная им задача не имеет решения (чем более зазубрен профиль, тем меньше сопротивление)... Если выводы Ньютона хотя бы приблизительно ') Я н г Л. Лекции по вариационному исчислению и теории оп* тимальиого управления. — Ьь: Мир, 1974. были верны, то мы не нуждались бы сегодня в дорогостоящих экспериментах в аэродинамических трубах».

Задорно сказано( Многих людей утешает мысль, что и великие грубо ошибаются. Но так ли обстоит дело в данном случае? Прежде всего, заметим, что сам Ньютон . не формализовал свою задачу — это за него сделали (и не вполне удачно) другие. Для правильной формзлизации надо учесть неявно подразумевавшуюся монотонность профиля (при зазубренном профиле частицы испытывают многократные отражения, что искажает всю картину). Требование монотонности делает задачу физически осмысленной. С учетом этого обстоятельства решение самого Ньютона не только чприблизительно» верно, но поразительно верно в деталях, о чем речь пойдет впереди.

Более того, физические гипотезы, выдвинутые Ньютоном, и само его решение аэродинамической задачи оказались весьма актуальными в современной сверхзвуковой аэродинамике, когда на очередь дня встало построение сверхскоростных и высотны11 летательных аппаратод. Допущение о монотонности приводит к следующей правильной формализации задачи Ньютона: — 1п(, х(О)=0, х(Т)=$, хй'К+. (3) о 1+ й» 1.2.4. различные формализации классической изопериметрической задачи и задачи о брахистохроне. Простейшая задача о быстродействии. Первые две из упомянутых в заглавии задач принадлежат к числу известнейших, но оказываются едва ли не самыми трудными для полного исследования. Мы дважды формализуем каждую из них — один раз традиционным, общеизвестным способом, другой — менее известным.

Этим хотелось бы подчеркнуть принципиальную неединственность процедуры формализации. На самом деле, выбор удачной формализации составляет самостоятельную проблему и во многом успех при решении задачи зависит от искусства, которое здесь будет проявлено. Начнем с классической изоперйметрической задачи. Пусть длина кривой равна Ь, а сама кривая задана параметрически функциями х( ), у( ), причем в качестве параметра взята длина дуги з, отсчитываемая вдоль кривой от некоторой ее точки. Тогда в любой точке выпол- »Ф 35 нено соотношение х'(з)+у' (з) =1, и, кроме того, х (0) = х (Ь), у(0)=р(Б), так как кривая замкнута. Для большей определенности в расположении иско- мой кривой можно потребовать также, чтобы ее центр 'тяжести попал в начало координат, т. е.

чтобы имели место равенства ~ х (з) Нз = ~ у (з) Нз = О. Площадь 5 крно о вой (х( ), у( )) равна $ худ. Отсюда получаетсяследуюо щая формализация: Ю=~ хуан зпр; х'(з)+уо(з)=1, Ь (1) х(з) й ~ у (з) Из О, р (0) = х(1,), у(0) у(Т.). о Однако ту же задачу можно формализовать н по-дру- гому. Представим себе самолет, пилот которого получил задачу облететь за заданное время возможно бблыпую площадь и вернуться на свой аэродром. Если максималь- ная скорость самолета не зависит от направления полета, то данная задача приобретает следующую естественную формализацию.

т Площадь должна бытьмаксимальнаео — (х(1)о(1)— ~ г — у 1)и(1))й- Зцр, Гдв Х(т)=и(1), у(1)г О((). аксимальная скорость самолета равнаУеоио+о'(Р. Самблет возвращается на свой аэродром ЕО х(0) = х(Т), д(О) =д(Т). Возможна и более общая постановка, когда макси- мальная скорость зависит от направления (например„прн наличии ветра), Тогда мы получаем более общую задачу; т 1 Г (хо — уи)й — зир, х=и, у=и, х(О) = х (Т), у (О) = у (Т), (и, о) Е А, (2) где А — множество всех допустимых скоростей самолета. Если А — круг, то мы, очевидно, приходим к клас- сической изопернметрической задаче, если А — хсдвину- 36 з » круг (что соответствует постоянному ветру), то олучается известная задау Чаплыгина.

Приведем теперь самую традиционную формализацию 'задки и о бр ах ист охр оне. Введем, как и в п. 1.1.4 ~(рис. 16), в плоскости систему координат (х, у) так, чтобы ось х была горизонтальна, а ось у направлена вниз. Не ограничивая себя в общности, можно считать, 'что точка А совпадает с началом координат. Пусть координаты точки  — (х,, у,), х, >О, у, >О (см.

рис. 16) и у(.) †функц, задающая уравнение кривой, соединяющей точки А и В. Напомним, что в соответствии е законом Галилея скорость тела М в точке (х, у(х)) зависит не от формы кривой у(.) в интервале (О, х), а лишь от самой ординаты у(х), причем эта скорость равна г'2ду(х), где д — ускорение силы тяжести. Следовательно, время Т, требуемое для преодоления участка Кривой длины «(з=)' «(х»+«Iу» на участке от (х, у(х)) до (х+Ых, у (х)+йу), равно ~(з$'2ду (х).

Отсюда получается следующая формализация задачи о брахистохроне: х, Ю(у( ))= ~ ~" 1 Ах- 1п1, у(0)=0, у(х»)=у,. (3) Приведем другую формализацию задачи о брахистокрове, идейно близкую ко второй формализации классической изопериметрической задачи, следуя упоминавшейся статье И. Бернулли 1696 г., в которой он отталкивался от вариационного принципа Ферма.

Представим себе неоднородную среду, в которой скорость распространения света зависит лишь от «глубины» К по закону о»=2ау. Тогда луч света в соответствии с вариационным принципом Ферма будет проходить путь от А до В в кратчайшее время.

Так получается фбрмализация задачи о брахистохроне в виде задачи о быстродействии: «Т- 1п1, х=3Гуи, у=Ууо, и»+о»=2д, х(0) =у(0) =О, х(Т) =х„у(Т) =у,, Аналогично выглядит и формализация п р о с т е й ш е й задачи о быстродействии (п. 1.1.7). Пусть масса тележки т, ее начальная координата х„а начальная скорость о,. Внешнюю силу (силу тяги) обозначим через и, 37 а текущую координату тележки — через х(1). Тогда по закону Ньютона тх=и. Ограничение на тягу зададим в таком виде: иЕ[и„и,].

Отсюда Т вЂ” !п(, тх = и, и Е [и! и»1, (5) х(0) =х„х(0) =о„х (Т) =х(Т) =О. Получилась постановка, весьма покожая на (2) и (4). Отметим одно важное обстоятельство. На самом деле мы «недоформализовалн» еще наши задачи. Например, в формализации (3) ие указана точно область определе- ния функционала 2 и, следовательно, пока неизвестно, иа каком классе кривых рассматривалась задача (т. е, не определено множество Х п.

1.2.1), То же относится и к остальным формализациям этого пункта. Впрочем, «классики» зачастую вообще не обращали внимания на аккуратную формализацию задач, а просто решали их «недоформализованнымн». Но мы хотим в дальнейшем быть педантичными и точными до конца, а потому при- дется заниматься этим несколько скучным делом — ука- зывать всякий раз, в каком классе объектов ищется (илн было найдено) решение. 1.2.5. Формализация транспортной задачи и задачи о рационе.

Начнем с транспортной задачи. Введем такие обозначения: а'; †количест единиц продукта, находящегося на !-й базе, 1 а ! (т, Ь, †потребнос (в тех же единицах) в /-м магазине, 1 ~1~(а, си — стоимость перевозки единицы продукта из !-й базы в (ъй магазин, х; =планируемое количество единиц продукта для перевозки нз !-й базы в (ъй магазин. Тогда стоимость пеРевозки Равна ~ ч~~~ с;,хи, и ее ,=! !=! нужно минимизировать.

Ограничения прн этом следующие: а) х,~Ей~ (очевидное ограничение на величину пере- возки); и б) Х х; (а! (нельзя вывезти больше того, что есть); 1=! в) ~'.,' хи — — Б~ (нужно перевезти ровно столько, сколько ! ! необходимо). В итоге получается следующая формализация! у ! т ! и Л П\ Х с;.х; — 1п1, ~х'„, х!~ - а;, ~~'.! х!у — — Ь., х!~ Е Р+. (1) ы!/ 1 у=! ' ' Г=! Задача о рационе формализуется также просто. Пусть имеется л продуктов (зерно, молоко и т. п.) и л! веществ (жиры, белки, углеводы и пр.)'. Допустим, что ч!лн полноценного питаниЯ необходимо Ьу единиц)-го вещества. При этом а! есть содержание 1-го вещества в единице !-го продукта, а с; — цена единицы !-го продукта. Обозначив через х; потребление !-го продукта,.получаем задачу л и ~~.", с;х! — !п1, ~ а!~х! ~ )Ь,„х! ) О. (2) ~=1 !=! 1.2.6.

Основные классы экстремальных задач. Мы Кратко упомянули ужц в Э 1.1, что в теории экстремалЬ- ных задач выделилось несколько достаточно ясно очер'ченных. классов задач. Прежде чем их описывать, проведем беглый обзор тех способов, какими задавались ограничения в задачах, формализованных выше. Во-первых, нам встретились формализации, где ограмнчении отсутствовалй вовсе (скажем, в задаче о прелом- ленин света или задаче Штейнера). Во-вторых, случалось, что ограничения были заданы системой равенств (например, в задаче Аполлония, в задаче о брахистохроне в формализации (3) и.

1.2.4, где равенствами заданы краевые условия). В третьих, ограничения задавались неравенствами (например, в транспортной задаче). Наконец, в четвертых, некоторые ограничения записывались в виде включений (например, ограничение х ~ К+ в задаче 'Ньютона, ограничение(и, и) Е А, где А=1(и, о); и'+о'(~1), в классической изопериметрической задаче в формализации (2) п. 1.2.4). Подчеркнем некоторую условность такого разделения. Скажем, ограничение хай+ в задаче Ньютона можно было бы записать в виде неравенства х)0, а ограничение (и, с) Е А в классической изопериметрической задаче можно было бы записать в виде неравенства и'+и' 1. Наоборот, всякое неравенство Г(х)~0 можно замейить на авенство )(х)+и=О и включение иЕК,, и т.