Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление, страница 4

э.) изопериметрическая задача не упоминается. Доныне неизвестно, что было сделано Архимедом в этой области, и потому приведенные в я. 1.1.1 слова Симплиция остаьтся пока загадочными. Решение же одной изопи4анной (т. е. относящейся к фигурам равной площади) задачи имеется в сочинении Архимеда «О шаре и цилиндре». Там ставится и решается задача о максимальном обземе, который могут иметь сегменты ишров одинаковой по площади боковой поверхности. Ответом н этой задаче является полушар (подобно тому, как полукруг является решением второй задачи Дидоны).

«Коника» или «Конические сечения» — так называется величайшее творение Аполлония (111 — 11 в. до н. э.). К нашей теме относится пятая книга «Конических сечений», Вот что пишет Ван дер Варден: Аполлоний ставит «задачу о том, как провести из одной точки О к 17 коническому сечению самый длинный и самь!й короткий прямолинейные отрезки. Однако он дает больше, чем обещает: он определяет все проходящие через О прямые, которые пересекают коническое сечение под прямым углом (в настоящее время их называют нормалями), разбирает, при каком положении О задача имеет два, три или четыре решения». Перемещая точку О, он «определяет ординаты граничных точек 6, и О„где число проходящих через О нормалей разом переходит с 2 на 4 и обратно»') (рис.

7). Вместе с гибелью античной цивилизации научная деятельность в Европе замирает примерно до ХЧ века. В ХЧ1 в. закладываются основы алгебры и появляюрт тся первые экстремальные задачи алгебраического содержания. Вот, например, задача, предлагавшаяся Н. Тартальей (ХЧ1 в.): разделить число восемь .на две части так, чтобы произведение проРнс, 7. изведения этих частей на их раз- ность было максимальным.

До ХЧ11 в. не было выработано никаких общих приемов решения экстремальных задач, и каждая из них решалась специально для нее разработанным приемом, В 1815 г. вышла книга И. Кеплера «Новая стереометрия винных бочек»' ). Кеплер начинает книгу так. «В тот год, квк я женился, урожай. винограда был хороший и вино дешево, а потому мне, как хорошему хозяину, следовало запастись вином. Я купил его несколько бочонков. Через некоторое время пришел продавец — измерить вместимость бочонков, чтоб назначить цену за вино.

Для этого он опускал в каждый бочонок железный прут, и, не прибегая ни к какому вычислению, немедленно объявлял, сколько в бочке вина». (Этот «метод» мы иллюстрируем на рис. 8.) Кеплер очень удивился. Ему показалось странным, как с помощью одного измерения можно вычислить вме- ') Ван дер Варден Б. Л. Пробуткдающаяся наука.— Мл Фнаиаттиа, !959. ') Кеплер И. Новая стереоиетрия винных бочек.— М,— Лл ОНТИ вЂ” 'ГТТИ, )935. !в стимость бочек разной формы. «Я счел для себя подходящим,— пишет Кеплер,— взять новый предмет математических занятий и исследовать геометрические законы такого удобного измерения, и выяснить его основаниям Для разрешения поставленной задачи Кеплер закладывает основания интегрального и дифференциального исчисления и заодно дает первые общие правила решения экстремальных задач. Он пишет (цитируем по книге Е. А.

Предтеченского)' ) «Кеплер, его жизнь и научная деятельностыи «Под влиянием благодатного гения, бывшего, без сомнения, хорошим геометром, бочары стали придавать бочкам ту форму, которая при данной длине линии, измерен- Рис. 8. ной мерщиком, дает возможность судить о наибольшей вместимости бочки, а так как вблизи всякого максимума изменения бывают нечувствительными ыми, то небольшие случайные отклонения не оказывают заметного влияния на емкость». В выделенных нами словах и заложен тот основной алгоритм нахождения экстремумов, который впоследствии был оформлен в точную теорему сначала (для многочленов) Ферма (1629 г.), а затем — Ньютоном и Лейбницем и получил название теоремы Ферма. Отметим еще, что Кеплер решил несколько конкретных экстремальных задач, в частности задачу о цилиндре наибольшего объема, вписанном в шар.

В заключение этого пункта приведем еще одну геометрическую задачу, которой в Х1г'11 в. интересовались многие математики (Кавальери, Вивиани, Торичелли, Ферма и др.). В Х1Х в. ею занимался немецкий геометр Штейнер, и потому эту задачу часто называют задачей Штейнера '). Задача Штей нера. В плоскости треугольника найти точку, сумма расстояний от которой до вершин треугольника минимальна. Р еше н не. Приведем изящное геометрическое решение этой задачи для остроугольного треугольника. Пусть з) Пред те че н с к и й Е.

А, Кеплер, его жизнь и научная деятельность.— Петербург: изд. 3, И. Гржебина, 1921. а) Отметим заодно, что впоследствии подобные задачи стали возникать при строительстве дорог, нефтепроводов и городских коммуникаций, 19 в треугольнике АВС (рис. 9) величина угла С~60'. Совершим поворот треугольника АВС вокруг точки С на угол 60'.

Получим треугольник А'В'С. Возьмем теперь любую точку 0 в треугольнике АВС, а через 0' обозначим образ 0 при нашем повороте. Тогда сумма длин ) А0 ~+ ( В0 ~ + ~ С0 ~ равна длине ломаной ( В0 (+ ( 00' (+ +~0 А'(, ибо треугольник С00' равносторонний и (0'А'(= =(0А !. Пусть теперь 0 — точка Торичелли, т. е. точка, из которой все стероны треугольника видны под углом 120', и 0' — образ 0 при повороте.

Нетрудно понять, что тогда точки В, 0, 0' и А' лежат на одной прямой и, звачит, точка Торичелли и является решением задачи. ® Мы познакомили читателя с несколькими экстремальными задачами геометрического содержания, поставленными и решенными в разные времена. Постановку их лишь час/ тично можно оправдать практи/ / ческими потребностями — основ/ ным стимулом здесь, пожалуй, л ! было желание показать красоту самой геометрии. 1.1.3. Вариационный принцип , // Ферма и принцип Гвйгенса. Задача о преломлении света. С именем Пьера Ферма связана формулировка первого вариационного принпипа для физической проблемы.

Речь идет о вариационном прин- А' цике Ферма в геометрической опРвс. 9. тике. Экспериментально закон пре- ломления света был установлен Снеллиусом. Вскоре Декарт дал теоретическое объяснение этого закона. Однако при этом у Декарта получалось, что в более плотной среде (скажем, в воде) скорость распространения света больше, чем в менее плотной (например, в воздухе).

Этот факт многим показался сомнительным. Ферма дал другое объяснение явления. Его основная идея состояла в том, что луч света «избираетл такую траекторию, вдоль которой время, затрачиваемое на преодоление пути от одной точки до другой было бы минимальным (в сравнении с любыми другими траекториями, 20 соединяющими те же точки). В однородной среде, в которой скорость распространения света во всех точках и во всех направлениях одинакова, время, затрачиваемое светом на прохождение некоторой траектории, пропорционально ее длине. Поэтому траектория минимального времени, соединяющая точки А и В в это просто отрезок 1АВ1: в однородной среде свет распространяется прямолинейно.

Вывод закона преломления Снеллиуса из вариацион. ного принципа Ферма сейчас содержится в школьных учебниках (см. также п. 1.6,1). В основу принципа Ферма положено допущение о том, что свет распространяется по некоторым линиям. Х. Гюйгенсу (1629 — 1695) принадлежит другое объяснение законов распространения и преломления света, основанное на представлении о свете как о волне, фронт которой движется со временем.

Отвлекаясь от обсуждения физических предпосылок этой идеи, и, в частности, от вопроса 'о том, что такое свет — волна или поток частиц, дадим следующее, скорее, наглядное, чем строгое, определение. Волновым фронтом 5, называется множество точек, которых до- Уе стигает за время Г свет, распространяемый некоторым источником 5,. Если, например, источник Я,— это точка, а среда однородна, то 5~ †э Сфера («сферическая волна») Рис. ю. радиуса от с центром в 5, (рис.

10). С ростом 1 волновой фройт расширяется равномерно во все стороны со скоростью о. Линии же распространения света образуют пучок лучей (радиусов), ортогональных Я, в каждый момент 1. По мере удаления от источника сферическая волна становится все более и более плоской и, если мы вообразим источник бесконечно удаленным, то в пределе волновой фронт оказывается плоскостью, равномерно движущейся со скоростью о и остающейся перпендикулярной пучку лучей света, которые теперь параллельны между собой (рис.

11). Для определения движения волнового фронта в более сложных ситуациях Гюйгенс пользуется следующим правилом (апринчип Гюйгенсаи). Каждая точка волнового фронта 5~ сама становится вторичным источником, через В1 время М мы получаем семейство волновых фронтов от всех этих вторичных источников и истинный волновой фронт Я«+а«в момент (+И есть огибающая этого семейства (рис. 12).