Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 3
Текст из файла (страница 3)
е. как задачи оптимизации. 11 Мсгсабдпе зь1шп, 1ас1! бе полипе Вугзаш Тапппо Чпап1пгп роазеп1 с1гсппн1«ге 1егзо Р , «ег«ГПю Маго «Аса«««« ') 1.1.1. Классическар нзопериметрнческая задача. Задача Дидоны. Задачи отыскания наибольших и наименьших величин были поставлены впервые античной наукой. Древнейшей из известных экстремальных задач является, пожалуй, классическая изопериметрическая задача.
Трудно сказать, когда впервые была высказана мысль о наибольшей «вместимости» окружйости и сферы среди всех замкнутых .кривых одной и той же длины, или поверхностей одной и той же площади. Один из последних учеников афинской школы платонихов Симплиций (Ч1 в. н. э.), составивший незадолго до окончательного краха античной цивялизации обширный комментарий к трудам Аристотеля (1Ч в.
до н. э.), пишет: «Доказано до Аристотеля, ибо он пользуется этим, как известным, а затем более полно — Архимедом и Зенодором, что среди изопериметрических фигур наиболее вместимым является круг, а среди изопифанных — шар». В этих словах обозначена постановка следующих экстремальных задач: среди плоских замкнутых кривых, имеющих заданную длину, найти кривую, охватывающую наибольшую площадь, и среди пространственных замкнутых поверхностей, имеющих заданную площадь, найти поверхноспгь, охватываюи(ую наиболыиий объем.
Для философа-платониха такая постановка задачи естественна и связана с поисками- идеальных форм, Недаром круг и шар были в древности символами геометрического совершенства. Более прозаическую мотивировку той же изопериметрической и ряда близких к ней задач мы находим, пусть даже в несколько наивной, но достаточно отчетливой форме в легенде о Дидоне. Напомним ее, следуя «Энеиде» римского поэта Вергилия, две строки которо- приведены выше в качестве эпиграфа. Финикийская царевна Дидона и с ней небольшой отряд жителей города Тира, спасаясь от преследований тирана — брата Дидоны, покинули родной город и в поисках счастья отправились на кораблях на запад вдоль т) Столько купили земли и дали ей ими Бирса, сколько смогли окружить бычьей шкурой.
(П. Вергилий Мором «Эиеида»). берегов Средиземного моря. Выбрав на африканском побережье удобное место(нынешний Тунисский залив), Дидона и ее спутники решили основать здесь поселение. По-видимому, эта идея не вызвала энтузиазма у местных жителей, но все же Дидоцц удалось уговорить их предводителя Ярба, и он неосторожно согласился уступить Дидоне клочок земли, «который можно окружить бычьей шкуройз. Не сразу понял простодушный Ярб хитрость и коварство финнкиянки..Разрезав шкуру на тонкие полоски, Дндона связала их в один длинный ремень и, окружив им значительную территорию, заложила на ней город Карфаген' ).
В память об этой истории карфагенская цитадель получила название Бирса' ). Все эти события легенда относит к 825 (или к 814) г. до н. э. Анализируя ситуацию, мы обнаруживаем несколько возможностей поставить здесь задачу оптимизации. А) Требуется указать оптимальную форму участка земли, который при заданной длине периметра.Ь имеет наибольшую площадь 3. Ясно, что это та же самая классическая изопериметрическая задача'). Ве решением является круг. У и р а жнец не. Считая бычью шкуру прямоугольником 1.Х2 и и приняв ширияу ремешка 2 мм, найдите й и максимальное 8.
(Авторам не удалось найти точные размеры Бирсы. Расположенная на высоком (63 м) холме, она вряд ли была особенно большой. Для сравнения — длина стен Месковского Кремля 2235 м.) Решение изопериметрической задачи заключено в следующем утверждении: е»»» ми» д е р»»» кую фигуру площади Я, то Ьз ~~ 4п5„ причем равенство имеет место тогда и только тогда, когда кривая — окруж ность.
Неравенство (1) называется иэопериметрическим; его доказательство можно найти в [21[. Б) Другие постановки задачи получаются, если, как з) Финикийское К а р т а д а ш т — новый город. з) На языке пунийцев (так римляне называли жителей Карфагена) — шкура, Это название употребляется до сих пор. з) Еще одна реальная ситуация, приводящая к той же задаче, описана Л. Н. Толстым в рассказе «Много лн человеку земли нужно». Разбор этого рассказа с точки зрения геометрии см. Я. И.
Перельман «Занимательная геометрия».— М.— Лл Гостехиздат, 1960, гл. 12. это естественно считать, Дйдона хотела сохранить выход к морю. В отличие от классической изопериметрической, мы будем называть эти задачи задачами Дидоны. Для простоты рассмотрим сначала случай прямолинейного берега (рис. 1).
Первая задача Дидоны. 1 Среди всех дуг длины Ь, содержа- ~Ф и(ихся в полуалоскости, ограничен- Г ной прямой 1 и с концами А, В Е1, найти такую, которая вмеРис. !. сте с отрезком (АВ1 ограничива- ет фигуру наибольшей площади В. Решение. Пусть АС — произвольная допустимая дуга с концами А, В Е1, ограничивающая фигуру площади В (рис. 1). Отразив ее симметрично относительно 1, мы получим замкнутую кривую длины 2А, ограничивающую фигуру площади 25. Согласно изопериметрическому неравенству (21 )* э 4п2В, (2) откуда В;и 1Р/(2п), (з) СлеДовательно, максимальным значением В может быть только Ь'/(2п), и это значение действительно достигается, если АС — полуокружность, опирающаяся на диаметр (АВ1; Задача имеет единственное решение с точностью до сдвига отрезка вдоль прямой (почему?).
В) В предыдущей задаче положение концов А и В искомой дуги можно было выбирать на прямой 1 произвольно. Что произойдет, если эти концы будут заданы? Вторая задача Дидоны. Среди всех дуг длины Ь, лежащих в полуплоскости, ограниченной прямой 1, и с заданными концами А, В Е 1 найти такую, которая вместе с от- " "- - А ~ резком (АВ1 ограничивает фигуру наибольшей площади. Рис. 2, Р е ш е н и е.
Ясно, что задача имеет смысл только при 1. ).)~~АВ~ (в противном случае либо нет ни одной дуги, удовлетворяющей условиям задачи, либо (при Ь=.Х~ АВ ~) такая дуга только одна — сам отрезок ~АВ1). Естественно ожидать по аналогии с преды- 14 дущим, что решением будет дуга окружности, для котол 'рой (АВ) является хордой. Такая дута АСВ определяется единственным образом. Дополним ее до полной окружности дугой АОВ (рис.
2). Длину дуги АВВ обозначим 1, а площадь сегмента, ограниченного этой дугой и отрезком (АВ1,— а. Пусть теперь АС — произвольная дуга, удовлетворяющая условиям задачи и ограничивающая вместе с (АВ1 площадь Я. Замкнутая кривая АСВВ имеет длину Ь+Х и ограничивает площадь Я+о. Согласно (1) 4п(В+а) «((Е+Х)', откуда В«= —,' (Е+Л) — .
Как и в (1), равенство, а значит, и максимальная Я достигаются тогда и только тогда, когда кривая АСВВ является окружностью, т. е. когда дуги равны: АСВ =АСВ, Обратим внимание на следующее различие в двух разобранных задачах. В первой задаче Дидоны зайас конкурирующих кривых больше, поскольку положение точек А и В не задано. Впрочем, без ограничения общности одну из них, скажем А, можно считать фиксированной. Положение точки В тогда определяется дополл нительным условием: АСВ не просто дуга окружности, как во второй задаче Дидоны, но это полуокружяость.
В эквивалентной форме; в своих концах искомая дуга подходит к прямой 1 под углом 90'. Мы увидим потом, что здесь проявляется общий принцип: предоставляя концам искомой кривой некоторую свободу, мы должны потребовать, чтобы в них выполнялись некоторые условия, называемые условиями трансверсальности. Форма же искомой, кривой в обеих задачах одинакова, она определяется некоторым уравнением (уравнением Эйлера), которое должно выполняться вдоль кривой, В нашем случае во всех точках искомая кривая должна иметь одну и ту же кривизну. Г) Рассмотрим теперь, что произойдет, если берег не является прямой линией, ограничась случаем фиксированных концов, Легко сообразить, что если между точками А и В берег мало отличается от прямой, то решел кием остается та же дуга окружности АСВ, что и раньше. Предыдущее доказательство применимо полностью, только буквой а следует обозначать площадь, заштрихо- ванную на рис.
3. Отсюда же видно, что будет в случае, когда между А и В находится глубокий залив. Пусть, 'например, между А и В берег прямой, но из точки 0 перпендикулярно АВ прорыт канал 0С. Считая, что граница города должна проходить по суше, мы видим, 'что л решением задачи будет та же дуга АСВ, пока точка П остается внутри нее (рис, 4, а). Если же канал РС пересек дугу АСВ, но еще ~ АС)+~СВ) < Е, решением является. кривая, составленная из двух дуг окружностей АС и СВ 4Ч С А ее ~ А ЮЮ «1 . А) Рнс, 3.
Ряс. 4. (рис. 4,б). В предельном случае ~АС~+1СВ~=Е решением является ломаная АСВ, а при ~АС1+~СВ(>Е регйение не существует. Рассмотренный вариант можно было бы назвать задачей Дидоны с фазовыми ограничениями. Д) Наконец, остановимся еще на одном варианте задачи Дидоны. Пусть по какнм-то соображениям (на- У пример, ввиду запрета жре- цов бога Эшмуна, храм котов" Е рого впоследствии находился в Есирсе) стены города нельзя г вести более чем под углом А в 45' к линии берега, который Рас. с, мы снова предполагаемпря- мым.
Такая задача была бы уже задачей оптимального управления. Ее решение можно найти при помощи принципа максимума Понтрягина, с которым мы познакомимся ниже. В типичном случае решение выглядит, как на рис. 5. Отрезки АС и ВЕ образуют с линией берега угол 45', а СРŠ— дуга окружности. 1.1.2. Другие старинные экстремальные задачи в геометрии. Уделив изопериметричесиой задаче достаточно много места, мы остановимся иа некоторых других экст- 16 ремальных задачах с геометрическим содержанием, которые рассматривались математиками разных веков.
Такие задачи встречаются, в частности, в трудах величайших математиков античности — Евклида, Архимеда и Аполлония. В «Началах» Евклида (1Ч в. до н. э.) мы находим лишь одну задачу на максимум (книга б, предложение 227). В современной редакции она г выглядит так. Задача Евклида. В данный треугольник АВС впи- ~ .уд сати параллелограмм АОЕР (рис. 6) наибольшей площади.
л7 Решение. У искомого па- l раллелограмма гочки О, Е и /5' Р являются серединами соответствующих сторон данного треугольника. Доказать это можно разными способами. Например, Рис. 6. легко показать, что площади параллелограммов ОООЕ и РНЕР одинаковы. Отсюда следует, что площадь параллелограмма АОЕР меньше площади параллелограмма АОЕР, ибо последняя равна площади фигуры АООЕ11Р, содержащей параллелограмм АОЕР. Я В дошедших до нас сочиненияхАрхимеда(11! в. до н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
