Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление (1050536), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Легко видеть, что распространение света от точечного источника в однородной среде.и предельный случай плоской волны удовлетворяют принципу Гюйгенса. В качестве примера применения этого принципа в прбстейшей неоднородной среде приведем вывод закона Снелл и уса «по Гюйге псу». Пусть параллельный пучок световых лучей падает на Рис. 12. плоскую границу Е раздела двух однородных сред; для простоты будем представлять себр, что Е горизонтальна, а свет падает сверху (рис. 13). Через о, и о«обозначим скорости распространения света над и под Х и через а, Рис.
13. и а,— углы падения и преломления (отсчитываемые от нормали Ш к Х). Волновой фронт А,А,А движется со скоростью и, и в некоторый момент 1 свет, вышедший из точки А достигает границы Х в точке В. После этого точка В становится вторичным источником сферических волн, распространяющихся в нижней среде со скоростью о,. В 'точку С, свет придет в момент 1,=1+ =1+ (в,с, 1 0~ +(ВС,1 — ', а в промежуточную точку ВЕ[ВСД вЂ” в "1 момент 1, = 1+ ~ В Г) ( — '. К моменту 1, сферическая волна от вторичного источника В будет иметь радиус г, =* =о,(1,— 1)=|ВС,~ — 'з!па„а волна от 0 — радиус г, = Уг =о,(1,— (,)=~ОС,~ — 'з!па,.
Касательные С,С и С,С, к этим сферам совпадают, поскольку г~ ' с~ . гз з(пВС С з з(п~з ~ з(п~С С,. Точка В была взята на ВС, произвольно, и, следовательно, вторичные волны в момент 1, имеют огибающей Рис. 14. прямую СС„образующую с Е угол и, такой, что з(пи,=в Уз = — з!пи,. А это и есть закон Снеллиуса з)п ав 5!и Од с~ Принципы Гюйгенса и Ферма тесно связаны между собой. В самом деле, пусть нам известно положение волнового фронта Я, в некоторый момент 1. Где он будет находиться через некоторое время И? Возьмем точку СЕЯ~ ы (рис. 14). По определению существует А ~Я, и путь АС, который свет проходит за время 1+И, и, в соответствии с принципом Ферма, любой другой путь из А в С требует большего времени.
По непрерывности,на дуге АС найдется точка В такая, что от А до В свет проходит за время 1, а от В до С вЂ” за время >»>1. Так как дуга АС обладает свойством минимальности, то. этим же свойством должны обладать и дуги АВ и ВС. Действительно, если бы существовал, например, путь, по которому из А в В свет мог бы добраться меньше чем за время 1, то, дополнив этот путь дугой ВС, мы бы получили путь из А в С, по которому свет идет меньше чем за время 1+И, а это невозможно.
Отсюда следует, во-первых, что В ЕВ,, а во-вторых, что точка С принадлежит волновому фронту, отвечающему точечному источнику света, находящемуся в В, и времени Л1. Это вполне согласуется с принципом Гюйгенса; точка В стала вторичным источником и распространяющаяся от нее волна оказалась через время М в точке С. Идея волнового фронта, принцип Гюйгенса и рассуждение, набросок которого мы только что привели„явились базой для будущей теории Гамильтона — Якоби, а в середине нашего века— для так называемой теории динамического программирования, которая является важным инструментом решения прикладных экстремальных задач. Вслед за вариационным принципом Ферма было открыто множество других вариацио нных принципов— сначала в механике, а затем в физике.
Со временем у большинства ученых созрела уверенность в том, что природа всегда «избирает» движение, как бы решая некоторую задачу на экстремум. Здесь уместно привести слова Эйлера: «В мире не происходит ничего, в чем не был бывиден смысл какого-нибудь максимума или минимума». В маши дни Карл Энгель позволил себе такое шутливое высказывание: «По Лейбницу наш мир является наилучшим из всех возможных миров, а поэтому законы можно описать экстремальными принципами». 1.1.4. Задача о брахистохроне.
Зарождение вариационного исчисления. В 1696 г. появилась заметка И. Бернулли с интригуницим заглавием: «Рго1>1еша почшп, аб сп1цз зо!пНопеш ша11>еша11с1 1пч11ап1огь> («Новая задача, к решению которой приглашаются математики»). В ней 24 была поставлена следующая задача: «В вертикальной плоскости даны две точки А н В (рнс. 15). Определить путь АМВ, спускаясь по которому под действием собственной тяжести тело М, начав двигаться нз точки А, дойдет до точки В в кратчайшее время»»). Решение этой задачи, по словам Лейбница, «столь прекрасной н поныне нензвест- )) ной», было дано самим И.
Бер)) нуллн, а также Лейбницем, Рис. 15. Я. Бернулли н еще одним анонимным автором, в котором знатоки «ех ппяе 1еопеш» (по словам И. Бернулли)') сразу же узнали Ньютона. Кривая наикратчайшего спуска нлн брахнстохрона оказалась цнклондой. Решение Лейбница было основано на аппроксимации кривых лома»( л л+ л и ными. Развитая впоследствии в работах Эйлера, эта идея 'за- ложнла основы прямых методов в варнацнонном исчисления. Замечательное решение Я.Бернуллн использовало принцип Гюйгенса н идею «волнового фронта». Однако нанболь. шую популярность получило решение самого автора.
Его мы н приведем. у(х)) У(ФФ У Рис. 16. Введем в плоскости снстему координат (х, у) так, чтобы ось х была горизонтальна, а ось р направлена вниз. В соответствии с законом Галилея скорость тела М в точке с координатами (х, у (х)) (еслн тело без трения спускается по кривой у( ) — см. рнд. 1б) не зависит от формы кривой у( ) между точками А н (х, у(х)), а зависит лишь от ордннаты у (х) н равна )т 2ду (х), где д — ускорение силы тяжести. Прн этом требуется найти наименьшее время, которое потребуется на, преодоление пути от А к В, т.
е. ») Может быть нелишне напомнить, что иеяоторый отдаленный намек на постановку задачи о бра»исто«роне содержится в «Бесела«» Галилея. Там доказывается, что, данг«не» по хорде, тело придет в конечную точку позже, чем двигаясь по Ояружиости, стативаемой кордов, ') По когтям (узнают) льва (лаю.). надо минимизировать интеграл т = ~ "-,' = ~ 1' 2уу (к) лв Хв где Ж вЂ” дифференциал длины дуги. Но (в силу принципа Ферма из п. 1.1.3) мы по.
лучим в точности ту же задачу, если будем иссле- А довать траектории света в неоднородной (двумерной) среде, где скорость в точке (х, у) равна )Гну. Далее, И. Бернулли «дробит» среду на параллельные слои, где считает скорость постоянной и равной и„(=1, 2, ...
(рис. 17). В силу закона Снеллиуса получаем (г Риа !7. мпа, Мпаи мпа; — = — = ...ез — =сопз1, "с "С вЂ” (-) =* сопз1, и (к) где о(х) =)Г2ду(х), а а(х) — угол между касательной к кривой у( ) в точке (х, у(х)) и осью Оу, т. е. з(пи(х)= - пут~Р иу и .. ~р---. ~р.*-*.*р-.; и 1 «-(у >' и и = С и у' = у~»и "" ь — Н,, Интегрируя его (подстановкой у = С з!и' —, дх 2 а Сз1п' — Ж), приходим к уравнениям циклоиды: С . С =С + — (1 — !пг), у= — (1 — 1). 2 Подчеркнем различие между задачей Евклида и Кеплера (о вписанном цилиндре) и, скажем, задачей о брахистохроне. Множество всех вписанных в треугольник па- 26 где и,— углы падения луча. Переходя к пределу при измельчении слоев (Бернулли, разумеется, не останавли- вался ра обосновании законности такой процедуры), по- лучаем, что раллелограммов и множество всех вписанных в шар цилиндров зависят от одного параметра.
Таким образом, в этих задачах требуется найти экстремум функции одного переменного. В задаче же о брахистохроне мнол1ество всех кривых, соединяющих две точки, бгсконгчнолгрно. Здесь требуется найти экстремум функции бесконечного числа переменных. История математики проделала неожиданный скачок — от единицы сразу к бесконечности, от теории экстремумов функций одного переменного — к теории задач типа задачи о брахистохроне, т. е. к вариационному исчислению, как стали называть этот раздел в ХНП! в.
Вскоре после работы И. Бернулли было решено много 'задач, подобных задаче о брахистохроне: о кратчайших линиях на поверхности, о равновесии тяжелой нити и другие. Годом же рождения вариационного исчисления принято считать 1696 г.— год брахистохроны. Однако исторически это не совсем верно.
Об этом мы расскажем в следующем пункте. 1.1.6. Аэродинамическая задача Ньютона. В 1687 г, вышли «Математические начала натуральной философии» Ньютона. В разделе седьмом, озаглавленном «О движении жидкостей и сопротивлении брошенных тел», Ньютон рассматривает задачу о сопротивлении шара и цилиндра в «редкой» среде'). Затем в «Поучении» Ньютон исследует вопрос о сопротивлении усеянного конуса, движущегося в той же «редкой» среде.
В частности, он обнаруживает, что среди всех конусов, имеющих данную ширину и высоту, наименьшее сопротивление будет испытывать конус с углом 136'. Заметив мимоходом, что данный результат может быть «не бесполезен при построении судов», Ньютон пишет так: «апой я! Ипата РОРО е1пяшод1 я!! и1, 31аЬ е1ы рцпс!о ццоч!я Ж ад ахею АВ беш!!1а1пг регрепд!сп1шп А1М, е1 б!са1цг гес!а РР цпае рага1!е1а яН гес1ае Ияцгаш 1апдепИ !п А1, е! ахею ргобпс!аш я!се!!п Р, Еиеш! ММ ат! РР и! СР«нь аб 4ВРхСВ«, яо!!бпш циоб Идигае $ицця гечо!иИопе с1гса ахею АВ беяспЬНпг гея!я!е1пг ш1пппе ошпшш е1пябеш 1опя11пб!п!я й 1а!!1ий!п!я», Сказанное Ньютоном можно перевести следующим образом: «Когда же кривая РА!Рб будет такова, что если из т) См. предложение 34, теорема 28 е кн: К рылов А.
Н. Соорание трудов, т. 7.— М.— Лг Над. АН СССР, !936, любой ее точки й( опустить на ось АВ перпендикуляр и [из заданной точки О1 провести прямую ОР, параллельную касательной к кривой в точке Л', пересекающую ось в точке Р, то [имеет место пропорция) ММ:ОР= =ОР':(4КРх ОВ'), тогда тело, получающееся вращением этой кривой около оси АВ, будет испытывать наименьшее сопротивление в вышеупомянутой редкой среде среди других тел той же длины и шириньь (см, рис. 18, принадлежащий Ньютону). Ньютон не дал объяснения тому, как он пришел к своему решению. Впоследствии он передал своим комментаторам наброски вывода, но онн е' '''.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
