Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление, страница 6

были опубликованы лишь в 1727 — 1729 гг., когда я уже завершался первый р этап вариационного исчнс- Н ления. Подготовительные материалы Ньютона, опубликованные лишь в наше Рис. 18. время, показывают, что он владел элементами многих конструкций, впоследствии осуществленных Эйлером и Лагранжем. Как мы увидим далее, задачу Ньютона следует отнести даже собственно не к вариационному исчислению, а к оптимальному управлению, теория которого начала разрабатываться в пятидесятые годы нашего века. 1.1.6. Задача о раЦионе и транспортная задача.

Предположим, что запасы некоторого продукта распределены по нескольким'. базам и что этот продукт должен быть доставлен нескольким магазинам. Стоимость перевозки единицы продукта от каждой базы до каждого магазина известна, и известно, сколько продукта должно бытьдоставлено в каждый магазин. Транспортная задача заключается в составлении оптимального в этой ситуации плана перевозок, т. е. в указании того, какое количество данного продукта надо перевезти из каждой базы в каждый магазин, чтобы суммарная стоимость перевозки была минимальной. Похожая задача о рационе состоит в том, чтобы при определенном ассортименте продуктов, задайном содержании в каждом из них питательных веществ и известной стоимости единицы каждого продукта составить рацион, удовлетворяющий необходимым потребностям с минимальными денежными затратами, 28 Такого рода задачи в огромном количестве возникают в конкретной экономике.

Обе упомянутые выше задачи относятся к разделу, называемому линейным программированием. Теория линейного программирования была построена лишь в сравнительно недавнее время — в сороковые-пятидесятые годы нашего века. 1.1.7. Задача о быстродействии. Приведем простейший пример экстремальной задачи с «техническим» содержанием. Пусть имеется тележка, движущаяся прямолинейно без трения по горизонтальным рельсам.

Тележка управляется внешней силой, которую можно изменять в заданных пределах. Требуется остановить тележку в определцнном положении в кратчайшее время. Эту задачу мы называем далее простейшей задачей о быстродействии. Особенность постановок экстремальных задач техники состоит в том, что действующие силы делятся на две части. Одна из них — это силы природы (скажем, сила тяготения), другая (скажем, сила тяги) регулируется человеком. При этом, естественйо, возникают ограничеиия на управляемые воздействия, связанные с техническими возможностями. Теория решения подобных задач была построена еще позже — в конце пятидесятых годов, Ее называют тео. рией оптимального управления, Итак, откуда берутся экстремальные задачи? Приведенными здесь примерами мы постарались показать, что ответов на этот вопрос много. Экстремальные задачи возникают как из естествознания, из экономики и техники, так и вызываются потребностями самой математики.

Поэтому теория экстремальных задач и ее практический аспект — теория оптимизации — приобрели в наши дни большую популярность. й 1.2. Как формализуются экстремальные задачи? 1.2.1. Основные определения. Каждая из задач $ 1,1 была сформулирована в содержательных терминах той частной области, где эта задача возникла. Обычно экстремальные задачи ставятся именно так)' и, вообще говоря, не всякую задачу обязательно надо решать аналитически.

К примеру, задачи Евклида и Штейнера мы решили чисто геометрическим способом. Однако если мы все-таки желаем воспользоваться преимуществами аналитического подхода, то первое, что необходимо, это осуществить перевод задачи с «содержательного» языка на формальный язык анализа. Такой перевод называется формализацией. Точно поставленная экстремальная задача включает в себя следующие элементы: функционал') (: Х- »1, определенный на некотором множестве Х, и ограничение, т.

е. некоторое подмножество С«=Х. (Через К обозначается «расширенная вещественная прямая», т. е. совокупность всех вещественных чисел, пополненная значениями — оо и + оо.) Множество Х называется иногда классом допустимых влементов, а точки х Е С вЂ” допустимыми пс ограничению. При этом сама задача формулируется так: найти экстремум (т.

е. нижнюю или верхнюю грань) функционала 1' при условии, что хЕС. Для той же задачи будет употребляться стандартная запись: ) (х) — 1п! (зпр); х Е С. (1) Таким образом, для точной постановки надо описать Х, ~ и С. Если Х=С, то задача (1) называется задачей бев ограничений. Точку х будем называть решением задачи (1), минималью (соответственно. максималью) или абсолютным минимумом (максимумом ), если Г (х) ) 1 (х) (соответственно )(х)(~(х)) для всех хЕ С.! Как правило, все задачи будем записывать как задачи минимизации, заменяя задачу у" (х)- зпр, хЕС, задачей Цх) !п1, хЕС, где )(х)= = — у(х). В тех случаях, когда хотим' подчеркнуть, что для нас безразлично, рассматривается ли задача минимизации или максимизации, мы пишем )(х) — ех!г.

Далее, множество Х у нас обычно бывает наделено топологией„т. е. в нем имеет смысл понятие близости элементов. Это можно сделать, например, задав в Х набор окрестностей (как это стандартно делается в 11" или в нормированном пространстве). Если Х вЂ” топологическое пространство, то х называется локальным минимумом, если существует такая окрестность 0 точки х, что х — решение задачи 1(х) — 1п1, хЕС() У. Аналогично определяется локальный максимум. ь) В теории зкстремальиык задач числовые функции часто иазывают фунлциололал и. 1.2.2.

Простейшие примеры формализации экстремальных задач. Приведем формализацию некоторых задач 3 1.1. Начнем с задачи Евклида (см. п. 1.1.2, рис. 6). Из подобия треугольников РВЕ и АВС получаем: Ь (хуН= = х(Ь. Здесь х — сторона ~ АЕ~ параллелограмма АРВЕ, Н вЂ” высота ~АВС, Ь (х) — высота 1~,ВРЕ, Ь = ~ АС ~— длина стороны АС. Площадь параллелограмма АРВЕ равна (Н вЂ” Ь(х))х= Н(Ь вЂ” х)х(Ь.

Теперь получаем следующую формализацию задачи Евклида: — зпр, 0(~х(~Ь, еэ х(х — Ь) — 1п(, х Е [О, Ь]. (1) Х=- 1с )= Н(Ь вЂ” х)х!Ь, С [О, Ь). Формализуем з а д а ч у А р к и м е д а об изопифаннык сегментах шаров ~см„п. 1.1.2). Пусть й — высота шарового сегмента, Н вЂ” радиус шара. Объем шарового сегмента, как известно из геометрии, равен пй'(Я вЂ” Ь(3), а площадь поверхности 2пЯЬ, Отсюда видно„что задачу Архимеда можно формализовать двояко: пд'(Я вЂ” ) зпр, 2пЦт=а, Н)0, 2Н~~Ь)0, (2) или, исключая Я из функционала в (2), паз Я вЂ” — — — зпр, О =Ь ° у— 2 3 ~/ (2') (последнее неравенство проистекает из-за того, что й(2Я =о а~пИ').

В первом случае Х= К.'„)=лй'(Я вЂ” ЫЗ), С = ((Я, 6) ~ 2пЯЬ = а, 2И =з 6); во втором, полагая Х = [О, г' а/я~, имеем задачу без ограничений с функционалом 1= Ьа(2 — гй'13, 3 а д а ч а К е п л е р а о максимальном по объему цилиндре, вписанном в шар (см. п. 1.1.2), допускает такую очевидную формализацию: 2пх(1 — х')- зпр; 0(х(1 (Х=(1, С=[0, 11). (3) 31 Три элемента, из которых состоит всякая формализация, здесь суть: Здесь шар имрет единичный радиус, а х — длина половины высоты цилиндра. Вопрос о преломлении света на границе двух однородных сред, решаемый с помощью вариационного г принципа Ферма (см. и.

1.1.3 д рис. 19), сводится к такой задаче. Пусть две однородные среды разделены плоскостью Ж г = О, причем скорость распро- С странения света в верхнем полул пространстве равна о„а в ниж- нем и,. Мы ищем траекторию лур а ча, идущего из точки А = =(О, О, и), а>0, в точку В=($, О, — ~), ~ > О. По соображениям симметрии луч будет Ряс 19. лежать в плоскости у=О. Пусть С=(х, О, 0) — точка преломления луча. 'Гогда время распространения луча из А в В равно 8 соответствии с принципом Ферма координата искомой точки х, где происходит преломление, находится из решения задачи Заметим, что получилась задача без ограничений. Аналогично следующая задача без ограничений (х — $~(+(х — $,(+)х — 9,(- 1п1, (б) где Х =С= Р*, $„, 4„$,— три заданные точки плоскости К', ~х~=)~ х,'+х'„является формализацией задачи Н1тейнера (см.

п. 1.1.2). Отметим важную особенность функционала задачи (5) — ои является выпуклой, но не всюду диффереицируемой функцией. 3 ада ч а А п ол л о н и я о кратчайшем расстоянии от точки $=($„$,) до эллипса, задаваемого уравнением За причем в силу симметрии компоненты импульса, ортогональные оси вращения, в-сумме дают нуль, а осевая компонента суммарного приращения импульса равна 2рнг дг о ЛГ Лггп2осовгрсов<р= ' т2осова~р= = 4рппаг г(г гИ сов' ф. В силу второго закона Ньютона это выражение равно с(гЖ, откуда Фг=лгг(гсова~р, й=4рпое, а общая сила сопротивления равна и г и'г 1+(дх1лг)а ' Таким образом, заменив г на 1 и )с на Т, мы приходим к экстремальной задачет — гп1, х(0) =О, х(Т) =$, (2) гй 1+ ле Легко сообразить, не решая задачи (2) (впервые это отметил Лежандр в 1788 г.), что нижняя грань в задаче равна нулю.