Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление, страница 11

Если же 1, лежит между $о и 1«, то [ хо — 1« ! < [ хо $« [(из двух поклонных тз меньше, основание которой лежит ближе косновзнню перпендикуляра) С другой стороны, Н проходит через точку О, ибо иначе луч, исходящий из О в нзпрзвлеиии точки 4« и целиком лежащий в оо (почему«), обязательно имел бы общие точки с Й. й 1.4. Простейшая задача классического вариационного исчисления н ее обобщения 1.4.1. Уравнение Эйлера. Вскоре после работы И. Бернулли о брахистохроне стали появляться (и решаться) многие задачи того же типа. И. Бернулли поставил перед своим учеником Л. Эйлером проблему найти общий путь их решения. В 1744 г. вышел труд Эйлера «Ме![тойцз 1пчепгепгП Ппеаз спгчаз шах[ш! ш!п!ш[че ргорпе1а!е йапг[еп1ез з[че зо1ц![о ргоЫеша1!з Ьорег[ше1г[с! !а![зз[шозепзц ассер1Ь, «Метод нахождения кривых линий, обладающих свойствами максимума или минимума, или решение изопериметрической задачи, взятой в самом широком смысле», в котором были заложены теоретические основы нового раздела математического анализа.

В частности, аппроксимируя кривые ломаными, Эйлер вывел дифференциальное уравнение второго порядка, которому должны были удовлетворять экстремали. Впоследствии Лагранж назвал его уравнением Эйлера. В 1759 г. появляется первая работа Лагранжа и с ней новые методы исследования. Лагранж «варьирует» кривую, подозреваемую на экстре'- мум, вЬ«деляет из прираигрний функционалов главные линейные части, которые называет вариациями, и пользуется тем, что в точке экстремума вариация должна обращаться- Ы в нуль, Метод Лагранжа становится впоследствии общрпринятым. Этим методом и мы выведем далее уравнение Эйлера. Отметим еще,.что носле работ Лагранжа по предложению Эйлера весь раздел математики, к которому применялся метод Лагранжа, стали называть вариационным исчислением. Перейдем к выводу уравнения Эйлера для простейшей злдачи классического вариационного исчисления. В п.1.2.6 этим именем была названа экстремальная задача у (х( )) = ~ Е(1, х, х) й( ех(г, х((,) = х„х((,)=хо (1) рассматриваемая в пространстве непрерывно дифференцируемых функций С'([(„г,]), — оо < Г, < г, < ьо.

Пространство С'([1„1,1) является банаховым; т. е. полным нормированным, относительно нормы: ~!х( )1,=шах( шах !х(г) ~, шах 1х(К)~). ~е Ги гд тгц, ц1 Будем предполагать, что функция Ь (ее называют интегрантом или лагранжианом задачи) непрерывна по совокупности переменных вместе со своими частными производными Ь„ и Ь,. Теорема. (Необходимое условие экстремума в простейшей задаче классического в а р и а ц и о к н о г о и с ч и с л е н и я.) Пусть функция х ( ) Е С' ([Г„(Д) доставляет локальный экстремум в задаче (1). Тогда она удовлетворяет уравнению — ~~ 1.З(1, х(Г), х(Г))+Е„(Г, х(Г), х(Г)) =О.

(2) Уравнение (2) называется уравнением Эйлера. Допустимая функция х( ), для которой оно выполнено, называется стационарной точкой задачи (1) или вкстремалью. Таким образом, локальные экстремумы задачи являются экстремалями; обратное, вообще говоря, неверно. Локальный экстремум в пространстве С'([г'„111) в вариационном исчислении называют слабым. В соответствии с общими определениями функция х( ) доставляет локальный минимум (максимум) в задаче (1) в пространстве С'([1„ г',1), если .найдется такое е > О, что для всякой функции х( )ЕО([Г„(11), для которой х(Г,)=х(Г,) =О 55 и 1х(.)1г(а выполнЯетсЯ иеРавенство ,7(х( )+х( ))Ъй(х( )) (-=Й(х( ))). Доказательство теоремы проведем дважды. Сначала воспользуемся рассуждением Лагранжа.

Правда, при этом придется дополнительно предположить, что функция гс-ьЦ(1, х(1), х(1)) непрерывно дифференцируема. Затем докажем важную лемму Дюбуа-Реймона, из которой наша теорема вытекает и без дополнительного допущения. Обоб- щение конструкции Дюбуа-Реймона окажется существен- ным в гл. 1Ъ'. Д о к а з а т е л ь с т в о теоремы складывается из трех этапов. А) Определение первой вариации по Ла- г р а нж у. Пусть х( ° ) ~С'(11„1с)). Рассмотрим функцию Х ср (Х) = Ю (х ( )+ Хх ( )).

Имеем с, ср(Х)= ~ Р(У, Х)Ж=$ Е(М, х(М)+Хх((), х(Г)+Хх(Ю))Н. с, се Допущения, наложенные на Е, позволяют дифферен- цировать функцию Р под знаком интеграла (для этого достаточно, чтобы функции (1, Х) — г" (1, Х) и (1, Х)- — — ((, Х) были непрерывными 114, т, 2, с. бб11, [9, т. 2, спс с. 107]).

Дифференцируя и подставляя Х=О, получаем ср'(0)=~(д(()х(1)+р(М)х(Ю))й(, (3) где р(с) Е,Ь(М, х(Г), х(с)), о (с) =с.„(с, х(с), х(с)). Итак, 11щ(с(х( )+Хх ( ° )) — У (х( ))сХ) существует с о длЯ любого х( )ЕСс(1с„гс)). Обозначим этот пРедел бу(х( ° ), х( )). Функция х( ) с 6,'У(х( ), х( )) называется первой вариацией по Лагранжу функциинава Ю. В) Преобразование первой вариации с помощью интегрирования по частям.

Пусть х(с,)=х(сс)=О и функция р( ) непрерывно дифферен- 60 цируема. Следуя Лагранжу, имеем 65 (х( ), х ( )) = ~ (о (1) х (1) + р(1) х(1)) а( * ц ц = ~ а (1) х (1) й, (4) с где а (1) = — р Я+у (1) (произведение р (1) х(1) обращается в нуль на концах промежутка интегрирования). Нам известно, что х( ) доставляетлокальный экстремум, для определенности пусть это будет минимум, в задаче (1). Отсюда следует, что функция 1~-н ~р(Х) имеет локальный минимум в нуле. Вследствие теоремы Ферма (см. п.

1.3.1) ~р'(0) = 67 (х( ), х( )) =О. Сопоставляя это с (4) мы получаем, что для произвольной функции х( ) Е ЕС'(11„11)) такой„что х(1,)=х(1,)=0, имеет место равенство ~ а(1)х(1)й1=0. и В) Основная лемма классического вариац и о н н о г о и с ч и с л е н и я. (Л е м м а Л а г р а н ж а.) Пусть непрерывная функция 1 ~а(1), 1Е11„111 обладает тем свойством, что ~ а(1)х(1)Й=Одлялюбойнепрерывно дифференци руемой функции х (. ), у которой х (1,) = х (1,) =О. Тогда а(1)=0.

Доказательство. Допустим, что, а(т)-ьО в некоторой точке т Е '11„1Д. Тогда вследствие непрерывности а(.) найдется отрезок а = '1т„т,1 ~" (1„1,), на котором а( ° ) не обращается в нуль. Пусть для определенности а(1) ~ ~т > О, 1Ей. Построим функцию Нетрудно проверить, что х( )ЕС'(11„11)); кроме того, х(1,)=-х(1,)=0. По условию леммы ~а(Г) х(1)йг =О.

и С другой стороны, по теореме о среднем 114, т. 2, с. 1161, 61 ~9, т, 1, с. 344~ ~ а([) х([)с[[ =а($) ~ х([) с[[ > О, н это св св противоречие доказывает лемму. ф Сопоставляя полученное в А) н В), убеждаемся, что — р(()[-с[(г) — О, а это н требовалось доказать. Г) Лемма Дюбуа-Рея мона. Пусть ма [Се, Св[ функции а () и Ь ( ) ивпререюнм, и луста ~ (а(С) х(С)+Ь(С) х(С)) йС =0 (б) с, для любой х( )ЕСс([Се, Сс)) такой, что х(Св) =х(гг)=0. Товдафуик- ция а( ) непрерывно диффврвицируема и да [СУ/йС=Ь(С).

Доказательство. Интегрируя в (5) второе слагаемое в по- дынтегральном выражении по частям, 'получаем 0 = ~ (а (С) $ Ь (в) Нз) х (С) йС+ $ Ь (в) сЬ х (С) ~ ' = с, ср с, св с = ~ (а (С) — ~ б (в) йв) х (С) йС. (6) св св Докажем, что ф(О=а(С) — ) Ь(в) сЬ=сопвн Если зто не так, св то найдутся такиетв и та, что ф(тв) т ф (тв).

Без ограничения общности можно считать, что т„и т,— внутренние точки отрезка [Сз, С,) и ф(тв) > ф(тз). Выберем 6 > Отак, чтобы [тс — 6, тс+6[с '[Сз, Сс), в [, 2, и чтобы ф (в+тд) — ф (в+та).=- а > О при [ з Мб. Теперь возьмем функцию х( ), производная которой имеет специальный вид (С вЂ” тд+6)(С вЂ” ть — 6), С~[т,— 6, т,+61, х(С)=~ +(С вЂ” тз-[-б)(г-т,— б), СЕ[та-б, тз+б). (у) 0 для остальных С. Если положить х(с )=О, то в силу (7) х(с,)= ) хООус О, так чео св для такой х( ) должно иметь место (6), но ' Г т, ч.б т,+б а(с) — ~ ь(в)йв х(с)ус= ~ ч ООх(с)йс+ ~ ср(с) х(с)йс с, т, -б с.-б б б = ~ (ф(т,+в) — ф(та+в))(б — в)(з+б)бвана ~ (б — з)(з+6)йз > О, -б -б 62 г Противоречие показывает, что ф(Г)=а(Г) — ~ Ь(а)па=поп»1, а тогда и а( ) дигрференцнруема н йаlФ=Ь.

° Применив лемму Дюбуа-Реймона к первой вариации (3), полу. чаем, что р( )Ес»((г„е»1) н р(1) =о(г). В только что проведенных рассуждениях заключен зародыш так называемого мепюда вариаций, с помощью которого выводятся различные необходимые условия экстремума. Суть его состоит в следующем. Пусть х — точка, подозреваемая иа минимум в задаче у(х) — !п1, хЕС. Тогда можно попытаться построить непрерывное отображение е.

~х(Х), ХЕК+ так, чтобы х(0)=х и х(Х)ЕС, 0(Х(Х«. Эту кривую естественно назвать вариацией аргумента. Положим ф(Х)=1(х(3)), Допустим, что функция ф оказывается дифференцируемой справа по Х. Если х — действительно точка минимума, то должно выполняться неравенство ф'(+0)=11ш(ф(Х) — ф(0))/) )О, поп»о скольку, очевидно, ф(Х))ф(0)=)(х). Если удается построить достаточно массивное множество вариаций аргумента, то полученный набор неравенств ф' (+0) ) О, относящихся ко всем вариациям, образует некоторое необходимое условие минимума. При выводе уравнения .Эйлера использовались «вариации по направлениям»: х(Х) = х+ Хх, При выводе необходимого условия Вейер- .

штрасса и принципа максимума будут использоваться вариации другого вида †т называемые «игольчатые» (см. пп. 1.4.4 и 1.5.4). В заключение отметим следующие два первых интеграла уравнения Эйлера: 1) Если лагранжиан Е. Не зависит от х, то уравнение Эйлера имеет очевидный интеграл рЯ=1.„(1, х(М))=сопз1.

Этот интеграл называют интегралом импульса. 2) Если лагранжиан Е не зависит от 1, то уравненив Эйлера имеет первый интеграл НЯ=1.„(х(1), х(1))х(1) — Е,(х(1), х(1))=сопз1. Он называется интегралом энергии (оба названия в~ходят к клаСсической механике; мы еще будем иметь' воз- 63 можность к зтому вернуться; см. п.п. 4.4.6 и 4.4.7). Для доказательства вычислим производную: аТьн(. ° (х(1), «(1)) х(1)+ — „г Е„. (х(1), х(1)) х(1)— — 7.„(х(1), х(1))х(1) — Е (х(1), х(1))х(1)= - ( — „", 1;(х(О, х(1)) — 7.(х(1), х(1))~х(1)* О в силу уравнений Эйлера, Следовательно, Н(г) =сопз$.

Заме чан ив. По ходу дела мы использовалн дополнительное предположение о существовании второй производной х(1). Это предположение можно ослабить, но совсем без него обойтись нельзя. Отметим еще, что уравнение Эйлера †э дифференциальное уравнение второго порядка. Его общнй интеграл зависит (вообще говоря) от двух произвольных пос- тоянных. Их значения мы находим из граничных условий. 1.4.2. Необходимые условны в задаче Больца. Условия трансверсальности. Простейшая задача, рассмотренная в предыдущем пункте, †э задача с ограничениями: граничные условия х(1,) =х„ х(1,) =х„ образуют два ограничения типа равенств. Следующая задача †т называемая задача Больца †являет задачей без ограничений.