Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. - Оптимальное управление, страница 13

В частно- гЕ-Р ге сти, для достаточно малых б эти о!гренки не перекрываются, хь(уе) = = х(Е!) х„1=0,1, и ~хь(1) — х(1) ~» шах! о!~6/4, ! хь (1) — хе (Е) ! < шах ! Ь„)Е2, ибо согласно (б) ] а (1) ) «» 1Е4, )а(Е) ! ~ 1/2. Поэтому при 6 < 6, 7 (ха ( )) — й (х ( )) = т, с, =*] Е(Е, хь(Е), хь(1))йг — ]Е(Е, х(Е), х(Е))йг= Са тт+Ь вЂ” (Е(1, хь(1), хь(Е)) — Е(Е, х(1), х(Е)))йг ! 1 и, следовательно, й(хь( ))~(й(х( ))+4тбМ < < 1п(Р(х( ° )) — т)+4тбМ < 1п1 Р(х( )), с с если б достаточно мало.

Так, как хь( ) рСт([г„гт]), мы пришли к противоречию. При малых б функция хь( ) будет удовлетворять неравенствам (3), если х( ° ) им удовлетворяет. Отсюда следует второе утверждение лем- мы. Третье утверждение очевидно. ° Сл едет в и е. Если 'функция х( ) Е С'([г„гт]) достав- ляет в задаче (2) абсолютный или сильный минимум (мак- симум) в пространстве С'([Ее, Ет]), то она обладает тем же свойством и в пространстве КСт([Е„Е,]).

Проведенное нами расширение иа самом деле не всегда оказывается достаточным. Кроме того, пространство КСт([у„гт]) не является полным (относительно метрики, определяемой левой частью (3)). Более естественным было бы расширение задачи на класс йрт„([г„гт]) функ- ций, удовлетворяющих условию Липшица ). Но это по- !) Отметим, однако, что и при этом расширении мм ие получим существования в примере Гильберта! функция Ев-ь Еч.

условию Лип- шица ие удовлетворяет. ув требовало бы некоторых сведений из теории функций. Есть н еще одна важная конструкция расн1ирения простейшей задачи, которую мы здесь обсудим на примере. Пример Больца. Рассмотрим задачу 1 л(х( ))=)((1 — х')'+х')сИ- 1п1, х(0)=0, х(1)=$. е Допустим, что $ = О.

Тогда ясно, что решение задачи не существует. Действительно, нижняя грань функционала равна здесь иу .Д бы нять это, достаточно рассмотреть минимизирую- ~ щую последовательность Рис. 23. функций из КС'([О, 11): х„(1)=~э)дпз(п2ппМт, п=1,2, ... (рис. 23), о Функции х,( ) равномерно стремятся к нулю и х'„(1) =-е1, за исключением конечного числа точек, т.

е. 2(х„(-)) = 1 = ~х'„(1)Ж- О. С другой стороны, если х,( ° ) О, то а 3 7(х,( ))=1, а если х( )НЬО, то Я(х( ))) ~хЧт>0. о Дело в том, что функционал 2 не полунепрерывеи снизу — мы устаног~м вили, что в любой близо- сти от функции х,( ) = О, где функционал принима- ет значение единица, есть -1 Р У и функции, где значение функционала значительно меньше(з (х„( ) — О). Так вот, возможно «полу- непрерывное снизу» расширение задачи, когда функционал з заменяется функционйлом ~(х( ))= !ип Я(х( )), и й(ч 71 а сам запас первоначальных функций (скажем, С»([(„(»1) или КС'([(„(»1)) остается прежним. Предельный переход у( )- х(.) понимается здесь в пространстве С([(„г»1) (т.

е. в смысле равномерной сходимости). Оказывается, что функционал ~ допускает простое описание. В примере Больца Я (х (. )) = ~ (((х' — 1)+)'+ х') й(, о где [ О, 1х!«1, В общем случае, когда и б(х( ))=~ Е((, х, х)йг, и У (х ( )) = ) Е ((, х, х) й(, и где Š— «овыпукление» Б по х, т. е. функция х — 1. (1, х, х) есть наибольшая выпуклая д»ункция, не превосходящая функции х — Б((. х, х). Это утверждение называетср теоремой Боголюбова Этот же пример Больцз можно использовать для по- строения задачи (2) в которой минимум достигается на кривой с изломом.

Однако по чисто техническим сообра- жениям мы рассмотрим несколько иную задачу: б(х( ° )) = ! (7(х)+х»)йг 1п(, х((») =х„х(() =х„(6) 1 ° где функция (и — 1)', и в1, ) (и) = ((~ и ~ — 1)+)' = О, ~ и / «1, (и+ 1)', и — 1 непрерывно дифференцируема и выпукла (рис. 24). В частности, график 1(и) лежит не ниже любой своей касательной, т. е. всегда ) (о) = '! (и)+1'(и) (о — и).

Поэтому для любых двух функций х(.), х( ) е КС' ([1„(Д), удовлетворяющих заданным граничным условиям х(1,) = =х(8,)=х„(=0, 1, имеем Ю(х( )) — 7 (х(.)) = 1 (Р (х(г)) — ((х (г))+х~(г) — «х (г))пгв и ~ ~ ()- (х(()) (х(г) — х(1))+ с, + 2х(1) (х(() — х(1))+(х(() — х(1))') й и с, ) $ ([' (х (1)) (х (Ф) — х (Г)) + 2х(1) (х(() — х (1))) сЫ. с Предположим теперь, что х( ) во всех точках диффен- цируемости удовлетворяет уравнению Эйлера — 1' (х (1))'= 2х (1).

(7) Интегрируя по частям на каждом отрезке непрерывности х( ), получаем й (х( )) — 7(х( )).. ))( — г~ (щ.~-2 я)( з) — 2д))ю~4. +,'Е~[~'(х(т, +0) — )'(х(т,— 0)) (х (т,) — х(т,)) =О, если в дополнение к (7) функция р(() =('(х(()) (импульс) непрерывна. Таким образом, функция х( ), удовлетворяющая уравнению Эйлера, условию непрерывности р ( ° ) Н краевым условиям, является решением задачи (Б). Например, х(()=е1'1 с изломом в точке (=О является решением этой задачи для 1,= — 1, 1,=1, х,=х,=е. Действительно, (е', 1= О, 73 откуда (х(1) ~ ) 1 и, значит, ( 2(е« вЂ” 1), 1)0, ( 2( — е-'+1), 1< О, скачка в точке 1= О не имеет: р (+0) = р ( — 0) = О.

Кроме того, — р(Ф) =2е1' !=2х(1), так что уравнение Эйлера удовлетворяется. 1.4.4. Игольчатые вариации. Условие Вейерштрасаг. Понятие сильного экстремума ввел в вариационное исчисление Вейерштрасс. Для доказательства необходимого Рис. 25. условия сильного минимума Вейерштрасс, употребил специальные вариации такого вида (рис. 25, а) ( Р+(1 — т)$, гб~т — 1.

Ю й (г) ~ (~' * ~) ( ~х — (1 — )Ц~)., г~~т, +Р').1, (1) х. (1) =х(1)+йх(1). Производная вариации йх( ) имеет вид, изображенный на рис. 25, б. Эта производная несколько напоминает иголку, в связи с чем подобные вариации называют «игольчатымик Игольчатые вариации приспособлены к исследованию задач на сильный экстремум.

Перейдем к выводу необходимого условия Вейер- штрасса, Рассмотрим простейшую задачу классического вариационного исчисления и Ю(х( ))им ~Е($, х, х)Ж (п(, х((,) хю х(уг)=хз (2) ь на классе КС'((г„(г1) кусочно-гладких функций. Пусть х( ° ) — экстремаль, подозреваемая на сильный минимум; -для простоты будем считать ее гладкой. Следуя общему замыслу метода вариаций, рассмот- рим функцию (Л) =~(хь(.)) =~( ( ° )+йь( )), (З)' где Йь определено формулами (1), т — внутренняя точка 1(„Ц, $ — произвольное число.

Для достаточно малых Л ) О функция хь ( ) допустима в задаче (2), т. е. хд((,)=х((г)+)гь((,) х„(=О, 1. Функция ф() определена при неотрицательных Л. Докажем, что она днфференцнруема справа в точке нуль Из определения (1) сразу видно, что а) 1ЬЬ (.) 3 е — — 1пах (й Ь Я ( = О (Л), гепа г г (4) а) ~йд(Г)) =с уЛ =О()уТ), ГЕ(т, к+У'Л). Отсюда т ф(Л) — <Р(0)=* ~ (Е(Г, «Ь(Г), х(Г)+й) — Е(Г, «(Г), х(Г)))ШЛ- т ~ХГ + ~ (Е (Г, х „(Г), хх (Г)) — Е (Г, х (Г), х (Г))) о( 'Лег+ Лье.

(о) Интеграл лат в (5) можно оценить так: 'лед Л(Е(т. х(т), х(т)+ч) — Е(г, х(т), х (т)))+о(Л) (6) (надо воспользоваться теоремой о среднем нз дифференциального исчисления, см, п. 2.2.3, и оценкой (4а)). Для оценки второго интеграла Льз представим разность Ь=Е(Е х(М)+йд(Г), хЯ+йх(Г)) — Е((, х(Г), х(Г)) а виде Ь=Е«(Г, х(Г), хЯ)йд(Г)+Е.

(б «(Г), х(Г))йа(Г)+о(.~Г) (опять-такн надо прнмеянть теорему о среднем н оценку (4б)), проннтегрнруем второй член по частям н воспользуемся тем, что — — Е +Е„~ „=О б к (нбо х( )-вкстремаль). В итоге получаем 3га. -4ЛЕ„(т, х(т), х(т))+ ~ о(3/Л)й т .= — $ЛЕ. (т, х(т), х(т))+о(Л). (7) Сопоставляя (6) н (7), находам ф(Л) — ф(О)=Л(Е(т. х(т), х(т)+с)— — Е(т, х(т), х(т)) — сЕ. (т, х(т), х(т)))+о4Л). (6) Такам образом, функцня ф( ) имеет в точке Л О правую производную ю'(~.о)= н '"' '"'- =Е(т, х(т), х(т)+с) — Е(т, х(т), х(т)) — сЕ. (т, х(т), х(т)).

Но если х( ) доставляет сильный минимум,то б(хл( ));ге ~Я(х(.)) и, значит, юр' (+О) = 1(щ (~р (Х) — ю (0)) 7Х,В О, ьге т. е. выполнено соотношение 8(т, х(т), х(т), х(т)+$)= =Е(т, х(т), х(т)+$) — Е(т,х(т), х(т))— — $Е„(т, х(т), х(т)) ) О (9) для люботя ь с К. Функция 8((, х, у, г)=Е((, х, г) — Е((, х, у) — (г — у) Е„((, х, у) называется функцией Вейер трасса. Таким образом, доказана следующая Теорема (необходимое условие Вейерштрасса для сильного минимума).

Для того чтобы экстремаль х ( ) ~ Сз ([(„(Д) просгпейигей задачи классического еариационного исчисления (2) достаеляла сильный минимум, необходимо, чтобы для 76 любого тЕ[1„1,1 и любого $ е К было выполнено нера- 8(т, х(с), х(т), х(т)+ ~) =1. (т, х(т), х(т)+$)— — 1,(т, х(т), х(с)) — К„(т, х(т), х(т)) ) О. 1.4.5. Изопериметрическая задача к задача со старшими производнымн. Изопериметрической задачей (с закрепленными концами) в вариационном исчислении называют обычно такую задачу: Р, (х( )) = ~ 1, (1, х, х)й1 — ех1г, ы Ю, (х( )) = ) 1, (1, х, х) й( = ы„( = 1, ..., т, ы х(1,) = х„х(1,) =х,.

Предполагается, что функции 1, удовлетворяют тем же условиям, что и Ь в и. 1.4 1 они сами и их част- ные производные по х и х нейрерывны по совокупности переменных. Для простоты ограничимся случаем т=1. Теорема (необходнмое условие экстре- мума в нзопериметрической задаче) Пусть функция х( ) доставляет локальный (относительно про- странства О(11„1,1)) экстремум в задаче 7,(х(.))=~1,(1, х, х)Н- ех1г, Ю,(х( ))=~~,(1, х, х)Ж=-ао х(1)=хо 1=0, 1 (1') н и при этом функции Ф ь (,„(1, х(1), х(Е)) и (м1 „(1, х (1), х(1)) принадлежат С'(~1„1Д). Тогда найдутся числа Й„Л„, не равные нулю одновременно и такие, что для интегранта Е = Х,1, + ьй' „выполнено уравнение Эйлера — — Ц (1, х((), х(1))+Е„(1, х(1), х(1)) = О.

(2) Доказательство. А) Аналогично тому, как это было проделано в начале доказательства теоремы п. 1.4.1, 77 вычисляем первые вариации функционалов о, и у, по Лагранжу: с, 67с(х( ), х( ))=~(рс(Г)х(Г)+с)с(Г)х(с))йс,(=0,1, (3) сс где рс(г)=с,.;(1, х(г), х(г)), дс(г)=[„(г, х(с), х(г)), Возможно одно из двух: или 67, — = О, Ух( ) ~ Е С'([Г„(с)), х(Г,) = х(Г,) =0 или 63,~ О. В первом случае по теореме п. 1.4.1 — — „", [,„(г, х(1), х(г))+1,„(г, х(г), хг)=(о) предоставив читателю проверить, что они непрерывно дифференцируемы в окрестности нуля, причем =67с(х( ), х( )), -+ — =бйс(х( ), у( )).