Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи), страница 5

.,k.получаем6-i-611| ?n||чтоследует,6+-2-'-^-ж||<треугольника6-I &-6-111=*E)2"il66IK-211^1^х\\.—получаемI\Uh(r\г vx/xlтIl^I zllsi—2НЛ<xlгIlI^—2G11<zo11^ FMII vx/l—-^~~^НРГг^НIkvx/I 'причемC)ОтсюдаизA)изиXПустьF(?n)lim=ф(х),точкеth+e=o(t)ипоэтому/гВекторвекторыкхМобозначается\/tet^называется[0, г]ивх.—hегонекоторое—под-вточкеGхМ,есличтотакие,[0, е);кявляютсявсехмножествоМмножествувточкех,касательнымиодностороннимиМножествоТ%М,X>+0.касательнымh—>0.касательнымМмножествуг:M=одностороннимкпри?n)—Мназываетсяотображениеиr(t)+б)\\r(t)\0>гвекторамиXeвекторомсуществуютFx(O)(^n+ilim—пространство,h(полукасательным)а)x=нормированное—Элементподмножество.точкевнепрерывнаD)F(ij (x))еслиFчтовытекает,касательныхвекквектороводностороннихкасательныхМв32Гл.I.Т~М.векторовОчевидно,Т$Ммножествоинтерестеориибытьдляможетвекторов<%е={хGб{х,| F(x)XX),А)hПустьF(x)г(-)ТхМ,?Таквектора.FкакF(x=ah+aF'(x)[h}+o(a)ОтсюдаcKeiFf(x).Б)hПустьотображение,| г(а)||hт.е.| ^(жeT^M.ah),+где(р—Сотоб-Тогдаr(a))K\\F(xt:T$Mт.е.(p(x=+аЛ)||+o(a).+Ff(x)[h}=0,r(a)ahэпи--касатель-aF'(x)[h]Люстерника.+F'(x)иа+значит,теоремеF(x=F(x)Положимвпостроенноебанаховы—определениямалыхпри=и,KeiFf(x).?изто=0SD(x)eотображениеr(a))+Z,ZX,ТогдаSD(x),?FтеоремыKeiFf(x).=—векизследствияПусть->F(x)}.Т^М<касательныхтакого<%=каса-значительныймножествопространстве).F:мно-называетсяпредставляющихзадач,прионох.ипомощикасательномпространства,касательноготочкеэкстремальных(оэпиморфизм,вчисленайденоЛюстерника.ТеоремаММтомвслучаях,тоЕсликонусы.—X,вкмногихТ~МиподпространствомпространствомВоТ^МчтоявляетсякасательнымсведенияПредварительныеF(x),ah)=+-F(x)\\о(а),=>ЗадачиВ1.1-1.26задачахмостьпоФрешеRn1.1./:1.2.(Р)X/:AeSf(X,Y).пространства,R21.3./:—>f(x)1.5-1.9Нf(x)/(a:)1.5./:H->R,1.6./:H^R,1.7.(P)/:H->R,1.8./:1.9./:линейныйH\{0}^H,Н—>/(ж)R,={a,x),(ж, ж)./(ж)| ж|f{x)=xl\ x\ .{Ах,х),-ЗД>,1])^простx=A,2).пространство.a=Н.6===уД^х).Аоператор./:п.нормированныеx\+x\),(xix2,гильбертово——xmпорядкаY±xl==непрерывный1.10.x2)f(x)случаеX,/Oi,дифференцируедифференцируемости.наматрица—f(x)=Ax,^R2,задачахААх,=Y,1.4./:R-^R,ВвпроизводныеRm,—>отображенияисследоватьнайтииR,f{x{-))=\x{t)y(t)dt,—самосопряженныйлиней-Элементы1.§/:C2([0,1.11функционального33анализаf(x(-))=\x3(t)dt.1])^R,О1.12JS?2([O,/:f(x(-))=(jx(t)dtf.1])^R,0/1.13./:1.14./:/:(P)/:/:/:/:1.15.1.16.1.17.1.18.1.19.1.20.M])C([0,C([0,1])11)R,->¦i])-R,1])1])1])1])----f(x(/(ж(/(ж(i]).R,-^R,R,->->•-^c([o,3\гl\x2(t)dt)=•))=x@).•)) =X2(l).f(x('))=x@)x(l).•))|x@)|.ex(°\•))•)) =sinx(l)./(ж(-))f(x(f(x(-R,-C([0,/:C([0,C([0,C([0,C([0,f(x(-))^R,.==cosx(-).=I/1.21.=1])-C([0,•))=\x(t)\dt,/(ж(-R,0C'([01.23./:/:1.2Б.(P)/:C([*o,1.22..C([0,1])1])-x(i)C([0,C([0,--at=1])1]),*,])->2+bt+c,/(^@)/(ж(-))'6,a,сеR,л/1 +^2@=ip(t,=x(t)),(fR,\L(t,x(t),x(t))dt,гдефункцииL(.)eC'(R3).**0В1.27-1.29задачахпо/f{x)1.27.( Е=точки,указатьдифференцируемып/:R™—>Фреше.4)1/2ч¦/(х)1-28.=max\Xi1.29.г=1Вх*функционала1.30-1.37задачахнаХлинейногонормуX.пространстве(Р)1.30.найти=С([0,1]),1(х\3В.М.Алексеевидр.х(-)}=x@)+3\x(t)dt-4x(l).непрерывногофункцио-Rне34Гл.1.31.X=1.32.Х=С([0,I.сведенияПредварительные1]),(х*,ж(.)>-ж@)=j+1/2С([О,1]),(ж*,Х1.33.ж(-)}С([0,==\x(t)simrtdt-xl^y1]),О <,т,fc=l<?(•)pb..

,pn6R,1.34.X=1.35.X=I2,I2,(Р)1.36.Х(ж*,х) =хх/2х)(xi{х*,=1]),=,х2/4+ж3/8(х3+х2)/2-++хп/2п+..ж4)/4. .(Ж2„-1-Ж2„)/2п+-С([О,е+1]).....+..(ж*,1/211.37.Xj?f2([O,=1]),{х\х(-))dt-2\[ x(t)=x(t)dt.(жьЖ2,. .),(жьЖ2,•О1/2I2 ^l2,1.38.Л:Ax(x2,x3,=. .),xn,. .,гдеж/2^/2,1.39.Л:Лж(жь0,=ж2,0,=гдеВк1.40-1.54задачахМмножеству1.40.М=1.41.М=найтиточкев={(жьж2){(хиж2)1.43.М=1.44.М=1.45.М=1.46.М={(жьж2){(жьж2){(жь{(жь|ж==••),Т^Ммножестваилиж.ж?+ж|1},<^<1},GR2ж=eR2ж=ж2)GR2ж=ж2)GR2(жьж=ж=(О,1),@,0),?=1.42.Мхкасательные.

.,г=1Л*=?Л*=?. .),0,ж3,@,0),@,0),@,0),Т^М=?Т%М=?Т^М=1Т~М2.§1M471.48.l—Mт(т\т—{x(-)=задачи35Гладкие)1]) | «(")(*)C"([0,eRn(=#">(*)},=жC7n([0,=1]),l1.49.(P)Mjx(-)=TSM=?°1.50.M{ж(-)=C([0,eC([0,G\sinx(t)dt1])1]) | sinx(O)2/A,=соэжA)=x(t)0},=irt,=x(t)irt/2,=T~XM=?1.51.Mмножество—М={0, 1, i,{0,{} l,^,.

.,^,. .}cR,1.52.(Р)1.53.M=1..54.(М@,=ii11,2.1.Rфункция—некоторойГладкойзадачаобе.т.отысканиисвойствамиэтойвназываетсяфункции:возникаетобладающегоотысканиипринекоторойX.пространствет.е.задачу,необходимоеточки,решениесредиеепривестиf (x)условиестационарные4.Отыскатьт.е.=к(з).виду0.решенияf'(x)уравненияточекстационарныхилидоказать,нет.решения2.1.3.ТеоремаФерма.1.ТеоремавдифференцируемаяПустьнекоторомвинтервале,точкеигладкостьюрешения.2.Выписатьз*дифференцируе-extr.(з)->нормированномнеко-ограниченийограничений/,2.1.2.Правило1.ФормализоватьопределеннаябеззадачафункционалаобладающаябеззадачейR—>/:Пустьзадачи.определеннымиэкстремумовАналогичная3.НайтиT+M=?задачипеременной,f(x)определенногоТ^М=?0,0,=элементарнойэлементарнойэкстремумовжCR,Гладкиегладкойдействительнойоднойгладкостью,дифференцируемое™.CR,=задачи.2.1.1.Постановка—>1, . .t t2.Элементарные.

.}x. .,§i,. .,=?Т^Мчисел,рациональныхх.f—функциясодержащемодногопеременного,точкух,иопределендифференци-=0.что36Гл.Тогда,еслиестьхI.Предварительныесведенияточкалокального/'(?)=Допустим,<5такоеТогда<0,чтодляf(xт.>ft)+е.^жЗадав+0 <ft0xG^,locGх?gЕслиlocПользуясь5f(x,имеетfвВточка1теоремы/:обращаютсяпеременных:точкежФрешеПосколькучтоследует,еслиRn—>R,втовсечастные=2.1.4.§4Элементарнаяобразуюткоторыхчтозадачисамаярассмотренаприэкстремума,неотрицательностиеесвозникающимиуже=1.4.1).>локальный/впереэтойдополняющей=o.программирования.частныйподклассЗдесьпрограммирования.этогозадачахОнакласса.познакомимсявиточкеизf'(x)функциизадачами,задачмырассмотрении(п.функции=..выпуклымилинейногоизпростаятонесколькихлинейногозадачапознакомимсямыэтойОтсюдапроизводныедх\дхпВв/,Еслие.т.нуль,тодоставляетххA),extrФрешеточкаточкевlocнулю.поАж).+(Iх).кх,?хравна/(жприходимточкеввариацияж)=соотношениемипроизвольностиэталокальным</?(А;ь->ЛагранжуподифференцируемойэкстремумЛпеременного:силуявляетсянульдифференцируемостиопределенияИз(f'(x)=0).(Iх)почто&(Х),ЛагранжуповариациюGх.Лагранжу.последует,силуимеетVxGlто0.прост-%товариации=max/.>нормированныхдляточкеАна-теорему.locпространство,одноговариациюдоказанноговслучая/ дифференцируемфункционалонextr/,x)\h\/2.•=GхУхеХопределениемполучим|a|ft/2+нормированноефункцииэкстремумомaftФерма5f(x,x)=0<\а\доказываеттеоремыфункционалФреше)extr/,иеслипроизводной<противоречие—поТогда,\r(h)\+дляX(дифференцируемr(h),/(ж)<(аналог^^R/:r(ft)+ПолученноеПустьопреде-дляи,5<доказываетсяIх0определенияполучаемahmin/.изфа=найдем+5<+теоремаТеоремапространств).|ft|<fix)но|а|/2,=h)=f(x)+ahf(x)locгприf(x=Аналогично0.атоо.A)xGlocmin/,чтоопределенности,/,функцииэкстремумасснежесткости.неравенствами,важнымиусловиями—будеттем,интереснаусловиями02.§задачейЭлементарнойзадачи37Гладкиелинейногоназываетсяпрограммированиязадача:следующаяп^aiXi^inf,Xi^O,г=1,(X.

.,nRn).(з)=г=1Д/шТеорема.чтобытогоабсолютныйдоставляламинимумчтобыбылих(з),(#i,=необходиможп). .,доставля-достаточно,ивыполнены:а)условияб)условиядополняющейнежесткостинеотрицательностиэтойДоказательство2.2.точказадачевГладкаяа{Х{теоремы0,^а^г1,г1,=п;. .,п.. .,очевидно.совершенноконечномернаяО,==задачасограничениямиRn—>типара-равенств.2.2.1.ПостановкафункцииКонечномернойпотображающиепеременных,fo(x)Далее~^чтосчитаем,свextr;fi(x)0,=1,Rnга,.

.,R.втипаограничениями0,=fiфункциивсег—Конеч-равенствRn:задачаследующаяR,пространствозадачейэкстремальнойназывается/^:Пустьзадачи.г1,=т.(з). .,обладаютопределеннойгладко-гладкостью.2.2.2.Правилорешения.1.Составитьфункцию2.ВыписатьнеобходимоеЛагранжа:г=0&х{х,А)3.Найтип.2,=0илииПриАо т^любой0-ВонеравенстваАовдругойАоназадачерешениевсехсредииминимумотрицательнойконстантеточекстационарныхВтипаилитипэкстремумаи,отивключения,вообщеможно,равенствотличнойЛагранжамножителейправилеубедившись,знакАочтоДляконстанте.нуляговоря,Аосуществен.длявдоказать,^задач,0,сзадачобращатьнеполагатьгде=единицеравнымнет.решениянаравныслучаиположитьконстантелюбойуравненийAi,. .,Amрассмотретьможноилип.. .,решенияАо,отдельнослучае1,=допустимыеЛагранжаполезноединицеЗамечание.вниманияе.т.jмаксимум.ограничениямилюбой=0,множителивторомположительнойдругойминуснавсебываетэтом4.Отыскатьчто^Аг/^.(х)^^точки,некоторыхравнымзадаче0=стационарныевнулю.условие:внима-Аоприсутствуютравнымогра-38Гл.I.2.2.3.множителейПравилоТеорема.0,=1,т,.