Алексеев В.М., Галеев Э.М., Тихомиров В.М. - Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи), страница 2

.,fi(x)=сзадачконечномерных••0,•IJmy^J>Т*1( )I—Qи»\3)—задаетсясистемойФункционалбудем/оравенстввсе/ьфункцииипредполагатьчтотакими,говоря,решатьследующийнекоторойминимуммеждуIпредлагалвысказатьилимаксимумусловии,задачотысканиюкзадачинепрерывноихчастныепроиз-непрерывны).порядка«Можнокритичес-нет.исследованияограничениег(иначеПосмотрим,ЛуЬ)Здесьдифференцируемымипишет:ели,связипервоговRn)=Р~УТ"Г*/1f=0,уравненияпроизводныедоказав,функционаларешенияправилопервоначальнойнекоторойЛагранжа,(X. .,хп).| fi(x)RnеI Т*(например,точекравенств.задачу0vx/{хэлементарными).называемзначениячтокритическиххре-дляпростейшихнекоторыхкритическихэто—сведенияпутемг,=действийпланэкстремума.перебравпоказать,ЛагранжаРассмотримгдесредиисуществует,ограничениямиСТакимточки.решенияисследованиюслу-1.2.1.)п.решение.далееусловиякритические4.Отыскатьограничениямимызадачиподобныхдалееналичиипридажеминимумзадачу.3.Найтичемирода2.Выписатькритическихее(з\)задачесуществования»см.наметитьповодограничений(такогоограничений1.Формализоватьестьвмогут«теоремыбольшинствев—хдаетзадаччтоирешенавышесказанноерешенияиВейерштрассатеоремызадачаВсекакосуществляется,нечтодоказать,(Доказательствосуществует.существубытьминимумточкидругиех;МожноCi)врешенияабсолютныйеслиточкалишьминимумами.действительновчтовытекает,бытьможетимэтимипеременнымиэтусамзадачуобщийфункцииЕслимногихимеетсяищетсяпеременныхсвязь,ОнЛагранж.принцип.призадаваемая)14Введениеоднойилифункции,экстремумфункциями,несколькимикоторойнаумноженныеилинезависимы.связи,послужатчтофункции,экстремумкоторойнаумноженныемаксимумбылипеременныек(несколькоЛагранжу,функции,ищется,его).уточнив«прибавитьэтозадающиеПерфунк-ксвязи,уравненияСоставиммножители».неопределенныеуравнениямнеизвестных».Лагранжасогласносвязи,затембыприсоединенныевсехправиломискатьеслиуравнения,функ-куравненияикакопределениясделатьнужнозадающиесуммы,дляВоспользуемсяПервое,прибавитьнужномножители,неопределенныепостроеннойПолученныеминимумтофункции,ищется,функциют&S?(x,=А)^=хгп(х),А(Ао,=Аш),.

.,г=0будемкоторуюЛагранжа.функция,экстремумЕслимножитель.можетсделатьэтогоВторое,АонеобходимочтоиливАоэто«искатьЛагранжу,каксуммы,Лагранжа,быеслизадачебрать0.<переменныенадоследовательно,рас-(зэ)Задачакклассу(ибоминимумыимеютчемпроще,относится2).точкинеобходимоетойсамойудовлетворятьсяилимаксимума,этойСогласноимаксимумынеминимумызадачибудемэлементарнойдлянет.ееисходнойнапишемФерма.теоремеискатьмаксимумыиначе,т.е.минимумаискатьсм.—стационар-(зэ)задачивсевыражающеесядолжнытеоремевудовлет-уравненияSfx(x,A)=0^J^(xbнекоторыхуравнений,всевсехобстоятельство,отличноечемчтоотВдляподобныхопределениявможномыстационарныхПолученные«послужат(х,надобудемтоучестьуравненийточек.Надочисло,равнооговоритьА)обстоя-любоенаумножатьчислопопре-длянеизвестныхноэтогосилуслучаяхихотяделе,уравнений,именнонулю).равнысвязи,ЛагранжаИАш)=0,.

.,п. .,уравнениямиВ самомколичествомножителинуля.неизвестных.условийтнеизвестных».больше,1,=ЛагранжамножителидополненныеопределенияАо,. .,жп,годноееограниченийздесьбудемминимумунесколько(зэ),условиежечтоиПоступимкакНемаксимумузадачевтакисходная,оказаться,кпримерстационарныех)(зэ)(поextr—>элементарных.можетотношениядалееА)А).зафиксировавОнанабораэтоммаксимумсогласнозамыслуПризадачу(мысленно(вназадачепостроеннойПо??(х,ивсделатьминимумнезависимы».рассмотреть0,иЛагранжарецепт1).чтотом,неопределенныйтопримерназываютсявнауточнения,далее>А^состоитдомножена(см.братьследуетминимуммаксимумбылиищется,невернымЧислаЛагранжа.уточнениекоторойнеоказатьсянафункциейПервоеназыватьмножителямичислунабо-полнотеиметьввиду,наПринципЛагранжанаибольшийчто0=связанными{J?XiуравненийобразуюттеограниченийнесовокупностьТакимО,=г1,=образом,Составить2.Выписатьибоизбавиться)Решенияfj(x)0,=jполученных1,==некоторуюлегкозачастуюЛоприналишьуказываютга).

.,образу-иточек.стационарных1.ф О,Локогдаслучаи,n,. .,задач15экстремальныхЛагранжа(от которойсфункционалом.принципаоказываютсятеорииимеютинтерессоотношениявырожденностьив(з)задачирешениядляследует:Лагранжа:функциюг=0необходимыеусловияэкстремума:г=0Xj3.НайтиуравненийрешениямиПринулю.т^Аоибываетэтом0-Вомаксимумотрицательной константе.Описаннаявнезадачеравныга,. .,АослучаиминимумАовконстанте,любойдругой0=положитьзадачеотрицатель-точекстационарныхилидоказать,(з),задаченоБольшинствоэтогопомощьюиоченькиззадачНопринципа.ЭтотЛагранжа.принципомкзадач.срешитьширокомуэтогозадачникаэтомприважноиметьследующее:видуЛагранжа3,примерекИногдаточкам,некоторымвыделитьноЛагранжапринципаприменить(примененныйЛагранжаВвсегда.существует,при-принципприводит.нельзязадаченеговоря,задачирешениеприменимостикпринципненемуб)Сферавообщеприменим,ниже,приведенномЛагранжадостаточноимеющуюсябезобоснования)наподозрительнымширока.однакотеорему,темнеизэкстремум,прин-менееприводитможнокоторыхрешение.Решим1.теперьспомощьюРассмотримфункционалеЛагранжапринципаболее(з^)формализациюпростуюфункциюЛагранжа:—>sup;х2+у2—г22задачуотброшен):хуСоставимнаназываетсятолькоэкстремальныхпри1,отдельноиливсехипроцедураа)Принципк0,=положительнойсредиприменимможногнет.принципкругуА^,всеединицеминусрешениярешенийвдругойравным—4.Отыскатьчтоможноявляющиесяточки,допустимыенекоторыхрассмотретьслучаелюбойилинавполезновторомединицеравным2,п.е.т.точки,стационарные=0.(гдеп.множитель0.1.416Введение2.Выпишемнеобходимые3.Найдемж20=+нулю)равныне=стационарныхв(г/л/2,Обепоступитьх2у2-\-=жу=(ж,т.е.а2а)(г/л/2(г/л/2,г/л/2)параметризованныхсу*гдеВ—=г2/2,<рассуж-так:У^,Gг^иЕщенормированные—прост-равенств,можнопараметризочтосказать,задачаэтовключений.иАо)у\и,А0/(ж,=сопряженногои)+(у*,F(x,u)>,У*.пространстваЛагранжафункциюиЛагранжа:J?(x,элемент/32/2-АналогичныетипаравенствфункциюJSfXгде%.типаа2/2гх)=О,ограничениямимножествомнекоторымограничениямиСоставить/3)следовательно,и,-(г/л/2+виду^У,суприменяетсяF(x,Ixfа),Можнозадаче.=квадрат.inf;задача—носослатьсяточки.Лагранжаквзадачи.решениеирешениями,+а/3+являетсяи)->F:Это(г/л/2/3)г/л/2г2/2второйзадачуIx^^R,=+=естьдляпринцип/(ж,2(а/3)задачислучае-г/л/2).г/л/2)можнорешениях—+ипровестиРешениемпространства./З2+1.Формализовать/:=являютсяобоснованиясуществовании=+общемАослучаеусловияявляютсяПусть(г/л/2Ответ.ВоТогдау)всеусло-(-г/л/2,(г/л/2,точкиДляпо-другому.можнорассуждениянетогдапрямоугольникидействительног2.=НоНеобходимыег/л/2),доставляютВейерштрассаи(ибоО0.=точки:(-г/л/2,обосновать.ещетеорему1.—стационарные-г/л/2),точкинеобходимоу2\\у.=Соответствующиеквадратами.нахзначение—г/л/2).это2\\х,=4(г/л/2,4.Максимальное(—г/л/2,^Aiто=в=определяютсяг/л/2),хвидеуравненийэтих0,=Следовательно,АоПоложимнет.уИзАозначит,и,удовлетворяется.точекпереписываютсяЕслиточки.стационарныеЛагранжаг2у2множителиусловиеусловия:включенийтипаограниченияGи%невходят.2.Длязадач??(х,необходимыевыписать3.Найтинулю.ПриэтомАо)inf—>(пож),Аоодновременноусловия.т.точки,критическиеуравненийрешениямиу*,и,п.удобно2,бываетве.рассмотретьявляющиесяточки,допустимыеу*которыхиотдельнонеслучаиравныАо=0ПринципфЛои0.любойЛагранжаВовторомположительнойдругойОтыскать4.чтотеорииможнослучаезадач17экстремальныхЛоположитьединицеравнымиликонстанте.решениявсехсредиточеккритическихилидоказать,нет.решенияВвзаключениетеприведемтриопримера,которыхговорилосьвыше.(показывает,1Примерможновсегдаfo(x\,х2)/о/iизадачирешениесоставить??&ххэти=0,Примербеззадачис0=с(показывает,неЯсно,что&хх=Ло-2\х2с0.=х\функциих\—0.=Лагранжакакисходнойэкстремумом5?Х2т^0,тоЛт^0-Полагаемни^^локального1.ТогдаАA3xf)+\(х\функцияэтаЗх\функция+х\-в=экстремума:0,=1 +х\=Л+??Лагранжа:условие-Ао=R2).=Функцияследовательно,и,Локакихпри@,0).=Необходимое00inf;—>х\—(Xхх\).=х\=задачи+??Однако0,совпадатьнадоуравнениясвязи=xl+x3l=0x2)Х(х\-\-=0,ЛоЗначит,х2)решениех\)—Есличтотоограничениями)./i(xbАо(#2ЪХх\R2).=понять,решать=экстремумможетfo(x\,=далееуравнениемчтоограниченийи1 +^^несовместны2неЛагранжу,следоватьх\)—(X0=Легкопрямо\{х\+J^2уравнениязадачиЕслих\==х\-х\х2)дифференцируемы.@, 0).=Лагранжамножителейправилеf\(x\,непрерывнохсуммув1).=inf;->х\=ФункцииНочтоЛополагать2\0х20==0.противоречие.—Лагранжаприметвидх\).+точкех=@, 0)неимеетдажеминимума.(показывает,3ПримерчтоусловийопределенныхможетЛагранжапринципкприводитьнесоблюденииприрезультатам).невернымПустьXY==f(x)l2,F(x)(xi,=(хРассмотримхони(х\,0=2чтоАлексеевдляидр.F{x).