Димитриенко Ю.И. - Тензорное исчисление, страница 2

ГЛбылиаппаратаРиччи".используется1886-1901диффенциальнымсистемамисозданное"исчислениемдифференциальныхдифференциальнойвгеометриюитензоровпомощьюИсчисление,абсолютнымпроиз-сматематикуработахсвоихимконтравариантнымикомпонентырезультатывсистемынаитальянскомурешитьназванныйаппарат,исчислением,исчислениявекторногоиндексоввековтеорииотноситель-но-важ-рольвек-Истокидоностиабсолютногоаппаратудобнымвесьмаэтогоисчисленияфизическихосновэтойсовместноксуммыотеорииисчилениеэтопорпропоидетдваж-сталоправилоназывается1916вапростоты"суммированиетехвремяширокоЭйнштей-соглашениемвсегопреждеввел"tensus"-Фойгтнапряжений.компонентнапряженный)изоднимвтороготиповневоспринятобозначениядлядалматричноеигода,Дальнейшееразвитиеосуществлялоськоторыеспециализированныеучебникиназывалась"ИсчислениепоследующихРиччи"книгахиндексовКнигаЯ.СхоутенаВнейправилаупорядочилтакжеатензоров,уобразычастности,вон,предложилко-специали-Ricci-Kalkul).(Derупоми-первыегг.исчислению.тензорномупоосу-ужеЯ.Схоутена,1924вивеканазовемматематика1927на-термин.XXначалевголландскоговфизике,Так,этоткоторыхсредиактивноигеометриииспользуетисчислениясоответственновыпустиливсистем.Эйнштейнучеными,Т.Леви-Чивита,упоминавшегосяибылконтравариантныхтензорногомногимифизические"тензор"ноработахсвоихвком-задающихТерминупругости,теориинапря-представлениерангов,ковариантных1913сначинаяпервыхкристаллов.втолько(отко-латинскогомеханическихописаниячетвертогоВ.Фойгта,ученогодлятео-кристаллов."тензор"терминименноиразличныхнемецкогосамгг.вприменятьсвойствописанияназвать-1903началивремядляследует1898втензоровсвойстватожекристаллофизикеиивпримерноупругостиЗдеськоторыйивпо-расстановкинекоторыегеометрическиетензоров.ТемнебезформулфизическихаппаратомподходрольквФ.Мурнаган,1913длягодуосновеширококоторый,известныйвчастности,тензорнымсним.математи-немецкогоО.Вебленомсразвилспособввелпод-квадратичныхтензо-введенияБ.Вильсон,тензоровучебникиныхвыска-овладениерассмотрениятеорииилииногдаработе"алгебраический"развитиятехкритиканавыдающегосянаоформивсделалитакаядальнейшейвместетензорныханализепризатратыпритензорасамымтемОднакоработыкоторыйсыгралиопределениюМного(заметим,исчисления,расшифровкачтотому,чтоокупаютсяA885-1955),форм,тензоров.выпустившийлихвойГ.Вейлякобходилосьнетензорногоусилийпор).сиханализа,векторногопоявивишегосядополнительныхсВажнуюслучаесводившейсядоивкритикисоотношенийвысказываетсяматематикаикакменее,определеннойобразомтребуетглавныманализу,Снастоящеевгравитации,"радикогдафи-A879-1955)дифференциальноетеориипредлагаетслучаях,разработкойссуммировании.Новоеитехиндексам.иприменятьсяЭйнштейнаонстатьевповторяющимсядваждыисвоейоказалсядальнейшеевремяА.Эйнштейнгодуабсолютноеприменяеткзнакпропускать1913вотносительноститеориижетовсовместнопроисходилоТактеории.замечанияхвисчисленияиМ.Гроссманомсисчислениегодудифференциальногомногообещающим,иразвитиеисчислениятензорногопообобщенныевыпусана-векторномусимволыИстокиЭ.Картан,Р.Вайценбек,Кронекера,форм,дифференциальныхиЯ.СхоутеноматензоровзадачдлялюэнупотеорииЗначительныйчин,Н.Е.Ефимов,другие.Такразвилпомеханикедекснаяформа,записатьспециальнымвведеннаяисчислениеиТеориятеориейалгебраическихнастоящеегрупп,активновгрупп,егогруппы,соответствующих1890-1894Вимя.независимогруппразработанной,теориягруппВбурнорешеткамкристаллов,ученымбылинастоящееразвивающихсяпредставлений,которыесозданияфундаментальноетеориявремяразделовиспользуемыепредставленийA849-1918),былоустановлено,значениепредставленийматематики.приописаниинеза-ипространственныхтеорииA852-1927),У.БернсайдомимеетполучилиГ.Фробениусомобразом,кристал-трансляционныхЕ.С.Федоровым230XIXв3214нашелвыведеныПослефизике.свойствустановленыБравэгодуглавныхA885-1955),физики.помощьюввеке,иописаниядлянаукахбылиXIXвмеханикеA811-1832),Э.Галуароссийскимкристаллов.симметрииИ.Шуромтеориигг.ее1848А.Шенфлисомнегоотгрупп,изСввстоялестественныхкристаллов.теориейещеприменениеширокоедругимистензоров.возникшаякоторойистоковсвязаноинвариантов,индифферентныхинвариантов,применяласькристаллографическиеиспользуеткомпонентную,теориейстеориейнаходитусимметриивыборафизи-оттесновремячастности,представлений,времяТеориязазаконызаслоняют"соотношений:записинастоящееввматематики,группБезинпозволиламатричную.иТензорноеВ.Нолла,исчислениетензорноеформыбезиндекснуюнезависящей"неиндексыСовременноеупоминавшиесяобластямикоторойвисследова-вфизическиевсе(т.е.объективнойформе,законов.сутитриязыкомикоординат)всевекторовтензор-векаДж.Эриксена,А.И.Лурье.Гиббсом,ещематематическимкомпактнойпростой,системычтодлясуществензаписиXXсерединеР.Ривлина,К.Трусделла,Дж.Смита,основеегоформывсредА.Грина,Б.Е.Победряанафункций.появиласьсплошныхДж.Адкинса,идру-дифференци-безиндекснойвведениемногиеикоординатах,тензорныхкотораярос-Н.Е.Ко-ковариантноготензоровсталошагомсоотношений,внеслиВ.В.ЛохинтеориюпредставлениенелинейныхтеориюфизическойЛ.Брил-обязаныВ.Ф.Каган,криволинейныхкомплексныхвспектральноеВажнымвпримененииисчислениятензорногоразработалИ.Н.ВекуадифференцированияисследованияхпревмногомвоА.П.Широков,Б.Е.Победря,П.К.Рашевский,И.Н.Векуа,ученые:тензорныхнаписавшиемыразвитиеввкладроссийскиесущественноЛ.Витерн-Успехаманализу.упругостипарал-Л.Эйзенхарт,А.Ляву.иввелтензорномуЭ.КартаномсабсолютногоЗ.Аппель,А.Дж.Мак.-Коннел,иучебникинарядупространстваТ.Томас,И.С.Сокольниковтакжекоторыетеориюдифференци-внешнихтеориюД.Витали,Дж.Л.Синдж,превосходныеисчисленияразработавшийразработалипараллелизма,бен,тензорногодляявляетсяквантовойоднимНекоторыеметодысвойствиндеффе-Истоки12изложенытензоров,рентныхТеориясимметриейрасширение,теплопроводность,электропроводностьработамироссийскиеН.В.Белов,С.Г.Лехницкий,внеслиученыетин,И.С.Желудев,других)былаважныегг.Примерносвосходятописыватькопластичности,намагниченности,нелинейныеэтойВ.В.Лохиным,пятаязаключениеразличныхилисиммет-группнатензор-построенииЮ.И.Сиротиным,В.Л.Фоминым.инаправлениюподчеркнем,необходимымВпосвященанаправленийВкристаллофизике.каксовременности,объединенныхобразомвметодаминовыхфизике,всятензорноготеориинаноструктурквантовойхимии,проблемысо-те-относительности,иисчисления.не-естес-увлекательныеквантовойтеорииявляетсяразвивающихсямеханике,такиечастности,разработкаполей,исчислениетензорноечтобольшинстваинструментоместественнонаучныхтеорииИмискалярныхглава.ВглавнымполученыДж.Адкинсом.образом,учеными:перспективномуребылиГ.Н.Малолеткинымэтомувяз-Основополагающиеоснованныйроссийскимиинамагниченнос-областитензоровБ.Е.Победрей,книгевязкостидр.дляко-теорияэффектыкаксред,А.Грином,подход,примененосновыЭтадиаграммыиглавнымотразработкафункционалов,нелинейнойА.Спенсером,общийбылнастоящейивидуактивнаяразвивающейсятолькофункцийболеебазисов,толькопривестидиагональномусвойствапредставления,алгебраическихтензорныхмно-такначатадиффузии,Ф.Смитом,ИнойименееГамильтона-Кэли.свойстваещеустановленысимметрии.не(крис-удалосьползучести,оптическиеР.Ривлином,Темитеоременелинейныепластичности,нелинейнойбылидревесиныкфункцийтакиеанизотропнойвматериалов,невыясненными,былавекатензорныхзнаменитойкрезультатыдругихсредупругостиXXсерединынелинейныхпозволяетмногихианизотропныхЯ.РыхлевскомумодулейобластьЮ.И.СироН.Г.Ченцов,ученики,завершена.завследэтусвойства.егокоторойегоэтихпорученомувекевП.Бехтерев,сихдорангаэлектропроводвкладистепенипольскомучетвертогоисследоватьтеорииВесомыйУсилиямиосталисьвопросы1983-1984Фойгта.свойствзначительнойрасшире-XXвкомпозиционныхвтен-материальныхэффект,развиватьсялинейныхвнешнейстепловоеначалаМ.П.Шаскольская.монокристаллов,тензортензоровупругость,А.В.ШубниковФ.И.Федоров,описаниятеория(кристаллов,1виначепьезоэлектрическийактивноосновополагающимиученыхиначеещесвойства:другие)многиеиА.В.Шубникову,(илиилифизическиезадающихкниге.тензоровпо-исчисленияданнойвиндифферентныхтензоров,многиетензорногодругие,решаютсяВВЕДЕНИЕА.ГеометрическоеТензорноеисчислениепоэтомупреждеоперацийс(Л<)(рис.0.1).иДлинойаДанноевышедругиеРис.0.1.вектора|а|.действияаточкидругуюаначалом,стрелкамиПрямую,началомегомеждучерезпроходящуювектора.называютвектора,будутдалее.рассмотрены0.2.Рис.опреде-Существуютобъект.которыеонокактакгеометрическим,геометрическийГеометрическоевведе-двеизображаютрасстояниенекоторыйкакопределенияопределениеназываютопределениеавекторназываютвекторыкаклинией(в которойвекторомдр.)»инекоторые(О)точекобозначаюткотороевводитизвектораназываюта,ивекторовугласоединяющийГрафическивектора.концом,исчисления,геометриидлины,отрезок,Однуконцом-векторногоопределенияотрезка,пространства.векторипрямой,направленныйМиразвитиемпростейшиеэлементарнойаксиоматикуточки,называютвектораними.понятияОявляетсянапомнимвсегоИспользуявведеныопределениеГеометрическоепредставлениепредвекто-сложенияоперациивекторовИспользуясуммойсначаломлюбымрольестьф\а.\противоположноеинулевойлежащийинанаправление,aпрямой,жесовпадающеекнему,чтосеслиф<направлением0иавекторахкоторыйЬ,ссложениипри(рис.0.3).сф:числотойсовпадаю-а.=операциювторуюЬ,+(рис.0.2).О,0-fвещественноенааа=наОточкавекторa:определяютвекторавектор,векторжесновадаетаГеометрическиумножениетаиграетвекторомсО:началаточкупостроенногоявляетсяоперациюввестиобщуюимеющихпараллелограмма,которогоВажнуюЬ,иназываютвекторовдиагональюможноопределение,атакихдвухсовпадающийигеометрическоевекторовдвухсложениявекторомиумно--фа.произведениетакоеа,имеющийноа,еслидлинуф>О,иВведениеv|/<0i|/a3PliC.0.5.ГеометрическоепредставлениеРис.пред-умноженияТретьяосновнаяЬ,идлины(рис.0.4),нимимеждуНенулевыеивекторыапроизведениеbи@.1)@.2)ивекторами90°,рис.0.5.равенпоказанонаВажнуювектороврольвзаимноназываютортогональными,уголпоэтомугеометрическисистемаиграетдействия(рис.базисавекторов0.7).которых(рис.0.6).Этутрехназываютсистемупоставитье,-,всегдаобщееимеющихможнолежаткоторогоначаловпредставитьсоответствиевребрапараллелепипеда,авекто-належатбазисом.векторовПоэтомукактак,ортогональныхдействияможновсегдаасвидесуммынаавекторомвекто-е,-:аЭтовзаимнотрехпрямыхвекторувекто-ортогональнымиизображаютсялиниидлины,прямоугольноголинияхска-@.2)между(р(декартовым)диагональихесли0.=ониперпендикулярныхПроизвольному@.1)нулю:чтоортонормированнымкосинусаикакследует,единичнойехе^езчисло,bвектора|a| fr|cosy>.=равноумножениевещественноедлиныа,а.Ьсоотношениеагег=можно+поЭйнштейна).повторяющимсяа2е2записатьиндексам+а3е3.@.3)иначе:aздесьпредумноженияскалярноекаквектораобозначаютabскалярноеэто-определяюткоторуюпроизведениюуглавекторамисоперацияавекторовпарыравное(правилоГеометрическоескалярноговекторовчислоИз0.4*ставлениенавектора=a*et,происходит@.4)суммирование(прави-Введение@.3),Соотношенияа%числаабазису,@.4)называютразложениемкоординатами-.15бази-повекторабазисевавекторае,-.Je3е2а0.5.PliC.Ортогональные0.6.Рис.векторыЕслиДекартовбазисдругойвыбратьортонор-е(базисмированныйО,точкевначаломотносительно негоможноТогдадиагонали.всвойможноади-предста-суммывидепапоавекторомсна-относитель-топостроитьпараллелепипедпредставитьобщимсба-векторове[:базисаа=а"е;.,а"числагдекомпонентамиРис*0.7.Разложениевектораде-а""@.4)(т.е.Изинвариантностькомпоненты@.5)ивекторовИзображениеИтак,триравнаопределенномдлинубытьмогутдействующаянее,моментэтомпризнавектораизмереннойвописывающийнекоторойотносительноскоростьсилыжедлинарадиус-вектор,веществаточки;имеетвеличины,темивеличины,например:частицынаспособом,МногиеПрифизическойматериальнойгеометрическойвыделеннойкомпо-времявектораминаправление.векторами.Таковымасштабе.положениеинвариант-жехарактеризуютсяизображенызначениючисловомутогеометрическимиобъекты,физическиеиих-ввеличинвышеначала,точкуописывающиепризнакамибазиса),физическихвведенныйвектор,признака:говоря,изменяться.могутБ.ej,базисеф а1'.вектороввыбораотввообщесвойствоважноеследуетнезависимостькомпо-являютсявекторапричем,базисукартовусила,по@.5)этойдвиженияимногиедругие.частицы;Говорят,опре-Введение16всехмножествочтообразуетвеличину,векторов,изображающихвекторноепространство,сложенияоперацииразрешеныразрешенаоперацияитакжеВ.Векторы,наЕслиоднойнеонинеихточкуфизическиеначаласовпадающейспереноситьпараллельнымматериальнуюматериальнойточкиВвекторы.изображаютвекторыточки,толькоО и др.дальнейшемвнапример,моментмыданнойвекторсилы,материальнойположениеточкуфизичеспрямой,величины.скользящиеДляосущестможновекторывдольвекторлинииихдейст-действующейсилы,наточку.определенныеявляются,Такиминапример,О.любуювна-базиса:векторныепереходетолькопереносомточкидекартоваточкуумноженияявляется,Закрепленныевеличины,иихё,физическойсложенияСкользящимдействия.принаправлениемоперацийсовместитьизображаютвекторовдажепредварительно,произвольнуюизменяющиесянесвободнымумножать,инадовекторыизпереходеприэтоговекторов,выбратьможноразделитьописываетсяскладыватьнапример,скользящихпомощьювеличины,осуществленияэтихявляются,меняетсяонаДляначала.направленийиСвободнымиСможновекторыбудутопределениязакрепленные.нетодругую,разрешемножествотакоеможноивеличинаобщегоимеютдлинменяяначала.величины,вСвободныевектором.физическиескользящиепространстваЕсличисло.строгиевекторовмножествеэтомвтокатегориисвободные,физическаяточкиеслизаТриизображающиекатегории:векторнаятрина(болеепространстводалее).физическуюеслиумноженияпроизведения,искалярногоевклидовообразуетданыкакую-либофизическиевекторныеконкретнойточкедвижущейсяскоростих,радиус-векторточкиотносительнобудемрассматриватьнекоторойвосновномвели-пространства.матери-описывающийполо-геометрическойсвободныевек-ГЛАВА1ТЕНЗОРНАЯ§АЛГЕБРАЛокальные1.1.Координаты1.1.1.ВведемсистемуивAiпространствавектортакойВыберемскоординат.соотношениюСогласноё,:базисуххгдебазис@.4),радиус-векторточкикоординатыТрехмерноеточекВведемфункциямиВыбе-действияОточкойдекартовойСо-декартовым.всегдаразложитьможнох%,=A.1)декартовойвс-называтьхвкриволинейныерадиус-линиикоторогоначалоасистемекоординат.которомсуществуетединаясистемакоординат,называютдекартоваевклидовым.трехмернымточке(рис.1.1).МточкеубудемМ.пространство,прямоугольнаяё,,Ож1,осямиТакойх-вконцомибазисскаждойтогдасоответствоватьОточкесис-декартовуО,точкевзаимнооднозначновсовпадаютвектороввначаломортонормированныйсистемыпопрямоугольную1, 2, 3—будетначаломсхгбазисавекторыпространствех\иматрицылокальныетрехмерномкоординатЯкобиевыбазиса.векторыметрическиеXх,координатыдлясвязаныкоторыевсехтрехсххфунк-вида:х*Тогдаточкирадиус-вектор=М.х*{Х>).A.2)бытьможетпредставленкакфункцияX*:координатхБудемдифференцируемыпредполагать,далееи=чтовзаимнооднозначны,х(Х*).A.3)A.2)функциитогдаихможнонепрерывнодиффе-обратить:Х*=Х*{х{).ВвидудифференцируемостифункцийA.4)A.3)можноввестипроизвод-производные:Rj=dx/dXj,A.5)Глава18.Тензорная1.алгебраXX1.1.Рис.ПоложениеМ.пространствавточкиРис.про-декартовойбазисасистемеЛокальные1,2.криволинейнойвба-векторысистемекоор-координаткоординатобразуютсновакоторые(рис.базисавекторамиотличиеотМточкичтоможноихconst=локальныминаправленыR,-векторакасательнымпоМточкевбазисавекторысменяютсякA.3).координатойприотпереходеоднойМ!.другойкЗаметим,точках,ё,-,RjвекторыXjлиниямкоординатнымВназываемыевекторы,Эти1.2).ё,формальнохотяпривестикоднойиR,-определялиськактакточке,ввекторыточ-разныхё,являютсясвободными.Якобиевы1.1.2.МожноИзматрицысвязатьA.5)A.1)ивекторыбазисовнаходимвыражение:R,-иё,-.A.6)гдевведенобъектсдвумяиндексамиС?.Такиеупорядоченнойобъектывсегдатаблицыможно3x3:=дх>/дх\записатьA.7)ввидематрицы,т.е.упо-A.7')Локальные§1.1.A.7)Матрицуматрицей.Заметим,чтопервыйоднойотQ3{удругой,кякобиевойилиэлементовиндексстроки19преобразованиярасположенияпорядоквездепереходеприматрицейназываютдалеесущественен:базисавекторывбудемавторойматрицесущест-полагатьменяющимсяот-столбцаодногодругому.кОпределениеQJ{матрицыA.7')=-ВвзаимнойсилуQ\Q\Q\Q\Q\Q\Q\Q\Q\Q\Q\Q\-+матрицыQ22Q\Q\Q\Q\Q\.-+A.4),функцийоднозначностиякобиевойдетерминантчислоназывают(Q\)det(детерминантом)Определителем1.1.отличенвсегда{ЩлюбойвотXхточкенуля:A.8')0.ТакиеОпределениеPlj,невырожденными.называютматрицы1.2.ОбратнойkQ%jудовлетворяеткотораяn#fcгде6%к-смешанныйназываюттакуюматрицусоотношениям:QV,PW'b=A-9)Кронекера:символAЛО)*ОбратнуюРх.=матрицу(О1^)=обратная.существуетВведемантныйтакжесимвол(Q"I^.будемДляковариантныйКронекератакжевсякойзначениякаквсегдаматрицыSkiКронекерасимвол6кг,обозначатьиногданевырожденнойиконтравари-совпадаюткоторыхс?;!=*:Дляимеетвид:якобиевойматрицыQXjA.7)обратная8хк:<iu'>якобиеваматрицаиме-A.11)Глава20X*гдефункциямиявляютсябазисадекартовавекторыТензорная1.ё*алгебраA.4).СчерезR,-.P%jпомощьювыразитьможноA.6)ДомножаянаР*к,полу-получаемё*Метрические1.1.3.Вматрицывекторовё,-,символовКронекера:ортонормированностисилузаписатьможнопроизведениеA.12)Р\Щ.=помощьюсихпроизведе-скалярноеA.13)ё*.ё,-=4у.ТогдаA.6)произведениескалярноеA.13)иR,-R,•Определение1.3.•МатрицаметрическойQ\ QljSki==введеннаяA.14)дц.A.Ц),формулепофундаментальной.илиОпределителье,дц,метрическойназываетсяуравненийпомощьюсвиде:вЯ\ Qljek=R,-векторовпредставитьможнообозначимматрицына-обра-следующимобразом:O*,)J.индексамМетрическаяг, j;матрица,ее(gij)detВ=A.8')силу0110220330^0,всегдачерезпоэтомувтом,обратную-длядцA.16)2012013023-+033012явнымвсегдаоб-существуетgkl:подстановкойубедитьсявыражается022013~матрицаНепосредственнойможно011023-индек-покомпонентычерезA.8)):метрическаяобратнаязаписатьможно(согласнообразомсимметричнойявляетсяочевидно,определительA.15)чтовыраженияобратнаядцметрическая=Qki QlматрицаЯкоби:матрицу-8к\вд%*A.17)выра-A.18)Векторы1.1.4.Спомощьювзаимногоg%iопределяембазисавекторылокальноговзаимногобазисаR1:R'=0'*R*.A.19)Локальные§1.1.Очевидно,чтообратныеверныR,Правила1.1.5.В9к1дцКк=исчислениисуществуютобъектов,различныхguR1.=A.19')индексоврасстановкитензорномуиндексов21соотношения:SfRt=базисавекторыиндек-расстановкиправилаизнекоторыенихиспользовалисьужевы-выше.А.Объектыиметьмогутвариантные)иобъектов(контравариантные),верхниесмешанныеизвведенныхужеобладают:индексаминижними(ко-нижниеНапример,индексы.верхними:Ski,gij,R\Пк.PiЛ*.смешанными:ЧислоУобъектовгдальнейшем,в(илитодругим",Складывать,операцийиндексамиQ*/»иливторой-смешаннымисоQ*t-значения,Б.показанобыть,можетвлюбым.обозначениеабудеткакиндексов,принципе,чтобы-Q'k%.)>наоборотвычитатьсот.е.ижедолжнызаписямиправильнымидействиючисло,у объектов.бытьдру-объектыобозначе-толькосовпадать:можетнадподвергатьможноимеетне"одининдексовиндексоврасположенияиндекс,индексов(т.е.=")(верхний-нижний)расположениепервый-индексов"и""+","—индексами,обозначениепорядокприравниватьизнакамиодинаковымиПорядокЕсли8\.например,кчтозаписьтакжеприменяетсяобо-используютиногдаподчеркнуть,сПоряНапример,различным.являются:неправильнымиВпервомрасположение,В.ВовсехнеодинаковымииRjслучаедругихиндексами,обозначенияобозначениенарушеновтретьем-операцияхичисломогутвиндексовразные,второмрас--расположение.объектыучаствоватьнапример,воиндексов,скалярномсиихчислонеодинако-A.14)произведенииукаждогоуобъектаR,-Глава22несогласованыу"",=Б.правиломсалгебраиндексовоперациейсвязаныужеgijчисломссовпадаетТензорная1.ВОднакод^.(R,-объектыпоэтомуиндексыдальнейшембудутRy)•ибытьдолжныихивведеныдругиеоперации.Г.Воперациях(атакжеиобразом:одинвверхудругойпричемПовторятьсяобъекта,Вэтомбудет1отимогутПовторяющиесятогожесум-идетмногоиндексногоЬ\повторяющиесяуничтожаются"Умножениена(см.Б),ст.е.пра-А1"*,=а{Р/иначеещеV+с\=называютанемыми,не-индексами.метрическиематрицы"опусканию""жонглированиемд^илиgij"подниманию"илисоответ-приводит,Этоиндексов.индексов",воно,локальныхопределенииприформулахвправилозаписи:(ур*свободными-это-(свертки).умноженияиндексынеповторяющиесякс/,=объектаодногоуприравниванияследующиеДалеесуммирование.идетиндексов"взаимноинапример,+аназываетсяииндексаминдексыбудут,использованоэтимскалярногосложениясоответственно,одногоусуммированиеоперацииоперациямиД.индексыпочтослучайпоэтомуиндексампространстве).iтакжеправильнымиповторяющимсятрехмерномнапримерслучаепоказано,частный(в3дообра-=этимпочтосчитается,ниже),следующимнапример:ж'е,-суммированиескалярноговведенырасполагатьсявнизу,ибудуткоторыедолжны-такчислового,тензорного,индексыповторяющиесяобычногокакумножения,векторногоисполь-частности,A.19),базисавекторовсвойствовообщежеЕ.ОсобыйслучайпредставляетЕсликоординат.A.13)основаниидекартоваяA.14)введиничнойметрическаяжевзятьR,-ё,-,=тонаос-получим:9ijт.е.системапрямоугольнаяR,-качествематрицабудетиобратнаяв=декартовомметрическаяSij,базисематрица:-единичная,д1*еди=6**.§1.1.ТогдаЛокальныебазиса,векторывзаимногоA.19):ё1тогочтобы<Jljej=этихдекартовомуправиламсогласноэтогоотЭтимобъясняетсяжеэтомунеобходимость51* и<J,j,риантныеможноправилуякобиевычисленныеТогдаQ\=A.17)ПодставляяR,-предполагается,A.6)вA.19),=даетA.14)контрава-собой(QuA.17)можнои=связьpi.yyeiпичтодр.).индексвэтомA.5),пробегаетпопроизводнаяиндексомаиобратное-икA.17)).малыееслизначенияосновногоотноситсянапример,случае,A.2i)векторовнижнимссё1:Qi.