Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды, страница 17

1, (2.4.16)) äèôôåðåíöèðîâàíèÿ ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ, ïîëó÷àåìZΓ∇ϕ(x) = − ∇4πΣω=−Γ4πrΓn · 3 dΣ = −4πrZÏîñêîëüêór30=−∂∂x0i³r´r∇ (r/r ) ≡ 0,3Z4π³´r òn · ∇0 ⊗ 3dΣ.rΣω∇ ⊗ n = ēi³r´rΣωrÇäåñü ó÷òåíî, ÷òî∂∂xi³´r∇ n · 3 dΣ =³´r òΓn· ∇⊗ 3dΣ =Σωà òàêæåZ,∂⊗ n(x0i ) = 0,∂xiãäår = x − x0 ,∇0 ≡ ēi∇ϕ ìîæíî çàïèñàòü òàêæåZ ³ ³´´Γr∇ϕ(x) =n · ∇0 ⊗ 3dΣ.3(1.6.65)òî4π∂.∂x0iâ âèäå(1.6.66)rΣωÂîñïîëüçóåìñÿ âåêòîðíîé ôîðìóëîé Ñòîêñà (ò. 1, (3.4.23)), çàïèñàâ åå âôîðìå, ïðåäñòàâëåííîé â ò.

1, óïð. 1 ê Ÿ 3.4, äëÿ ïðîèçâîëüíîãî âåêòîðàZI(n · (∇ ⊗ a) ò − n ⊗ (∇ · a)) dΣ = dx0 × a,Σωa:(1.6.67)Lòîãäà èç (1.6.66) ïîëó÷àåì â òî÷íîñòè ôîðìóëó (1.6.60).Èñïîëüçóÿ îáîçíà÷åíèå (ò. 1, (3.5.19)) äëÿ íîðìàëüíîé ïðîèçâîäíîé, ôîðìóëó (1.6.63) äëÿ ïîòåíöèàëà ìîæíî çàïèñàòü â âèäåϕ(x) = −Γ4πZ∂∂n³1´rdΣ.(1.6.68)Σω2. Ïóñòü âèõðåâàÿ íèòüLω ,ðàññìîòðåííàÿ â ñëó÷àå 1, ñîâïàäàåò ñ îäíîéèç îñåé äåêàðòîâîé ñèñòåìû êîîðäèíàòOxi ,íàïðèìåð, ñOx3(ðèñ. 1.6.6).109Ÿ 1.6. Âèõðåâûå äâèæåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòèÒîãäà âñå ïðåäûäóùèå ïîñòðîåíèÿ äëÿ ïîëÿ(1.6.60) ïðèìåò âèä+∞ZΓv(x) =4π−∞Îòñþäàv(x)ñëåäóåò,â ëþáîé òî÷êå÷òîMâåêòîðv(x)îñòàíóòñÿ â ñèëå, à ôîðìóëàē3 × rdx03 .r3(1.6.69)ñêîðîñòèâñåãäà îðòîãîíàëåíē3 (ñâîéñòâî âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåē3 × r): v · ē3 = 0, ò. å. äâèæåíèå æèä-âåêòîðóíèÿêîñòè ïðîèñõîäèò âñå âðåìÿ â îäíîé ïëîñ-Ox3 ,à çíà÷èò= (x1 − x01 )ē2 − (x2 − x02 )ē1 ,(1.6.70)êîñòè, îðòîãîíàëüíîé ê îñèv̄3 = v · ē3 = 0.Ïîñêîëüêóē3 × r = ē3 × (xi − x0i )ēi =òî, ââîäÿ îáîçíà÷åíèåÐèñ.

1.6.6. Îïðåäåëåíèå ïîëÿρ2 = (x1 − x01 )2 + (x2 − x0 2 )2 ,v(x) âLωñëó÷àå ñîâïàäåíèÿ âèõðåâîé íèòèñ îñüþOx3èíòåãðàë (1.6.69) ìîæíî çàïèñàòü ïî êîìïîíåíòàìΓv̄1 = − (x2 − x02 )π+∞Z−∞Γv̄2 = (x1 − x01 )πdx03 =ρ dξ,sin2 ξx03 → ξ ,(ρ2 + (x3 − x03 )2 )3/2+∞Zdx03(ρ + (x3 − x03 )2 )3/22−∞Äåëàÿ çàìåíó ïåðåìåííûõdx03ãäåx3 − x03 = ρctg ξ ,,ñ ó÷åòîì ôîðìóëρ203, |x | < ∞,sin2 ξρ2 + (x3 − x03 )2 =(1.6.71),06 ξ 6 π,ëåãêî âû÷èñëÿåì èíòåãðàë â (1.6.71):+∞Zdx03−∞032 3 /2(ρ + (x ) )2=1Zπsin ξ dξ =ρ22Γρ20è íàõîäèì âûðàæåíèå äëÿ êîìïîíåíò âåêòîðà ñêîðîñòèv̄1 (xi ) = −Γ (x2 − x02 ),2πρ2v̄2 (xi ) =Γ (x1 − x01 ).2πρ2(1.6.72)110Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûÄëèíà âåêòîðà ñêîðîñòè çàâèñèò òîëüêî îòâàåìîé òî÷êèM(xi )äî îñèρ ðàññòîÿíèÿ îò ðàññìàòðè-Ox3 :Γ|v(xi )| = (v̄12 + v̄22 )1/2 =2πρ.(1.6.73)Ñàì âåêòîð ñêîðîñòè èìååò ñëåäóþùèé âèä:³´x2 − x0 2Γx1 − x01−v = v̄1 ē1 + v̄2 ē2 =ē1 +ē2 =2πρρρΓΓ=(− sin φē1 + cos φē2 ) =eφ ,2πρ2πρãäåφ ïîëÿðíûé óãîë â ïëîñêîñòèOx1 x2(1.6.74)eφ îêðóæíîé(ρ, φ, z); z = x3 (ñì.

óïð. 3(ñì. ðèñ. 1.6.6);âåêòîð áàçèñà öèëèíäðè÷åñêîé ñèñòåìû êîîðäèíàòê $ 2.6, ò. 1).Ïîòåíöèàëϕâåêòîðà ñêîðîñòè (1.6.72) èìååò âèäΓϕ(x ) =2πiµarctgx2 − x02x1 − x01¶+ const =Γ2πφ + const.(1.6.75)Ÿ 1.7. Ïîòåíöèàëüíûå äâèæåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè1.7.1. Îïðåäåëåíèå ïîòåíöèàëüíîãî äâèæåíèÿÐàíåå (â ï. 1.5.3) óæå ðàññìàòðèâàëèñü áåçâèõðåâûå äâèæåíèÿ. Ââèäóèõ øèðîêîãî ïðèìåíåíèÿ â ìåõàíèêå æèäêîñòåé, ðàññìîòðèì ýòè äâèæåíèÿîñîáî.Îïðåäåëåíèå 1.7.1.Ãîâîðÿò, ÷òî ðàññìàòðèâàåòñÿ ìîäåëüï î ò å í ö è-à ë ü í î ã î (èëè á å ç â è õ ð å â î ã î) äâèæåíèÿ æèäêîñòè, åñëè äëÿ âñåõ ðàññìàòðèâàåìûõ ìîìåíòîâ âðåìåíèVt>0âî âñåé ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòèèäåàëüíîé æèäêîñòè âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèå ïîòåíöèàëüíîñòè âåêòîðàñêîðîñòè:v(x, t) = ∇ϕ(x, t),ãäåϕ(x, t)(1.7.1) ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ ï î ò å í ö è à ë ñêîðîñòè.Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå (1.1.32) âåêòîðà âèõðÿ(2.5.9)) íàáëà-îïåðàòîðà:∇ × ∇ϕ = 0,ω,à òàêæå ñâîéñòâî (ò.

1,âûïîëíÿþùåãîñÿ äëÿ ëþáîãî ñêàëÿð-íîãî ïîëÿ, ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ ïîòåíöèàëüíûõ äâèæåíèé1122ω = ∇ × v = ∇ × ∇ϕ = 0 âåêòîð âèõðÿ òîæäåñòâåííî ðàâåí íóëþ.1.7.2. Óñëîâèÿ îñóùåñòâèìîñòè ïîòåíöèàëüíûõ äâèæåíèé(1.7.2)111Ÿ 1.7. Ïîòåíöèàëüíûå äâèæåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòèÈç òåîðåìû Ëàãðàíæà (ñì.

ï. 1.6.2) ìîæíî ïîëó÷èòü äîñòàòî÷íûå óñëîâèÿñóùåñòâîâàíèÿ ïîòåíöèàëüíîãî äâèæåíèÿ. Ñôîðìóëèðóåì èõ â âèäå îòäåëüíîé òåîðåìû.Òåîðåìà 1.7.1.Åñëè äëÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèåóñëîâèÿ:1) æèäêîñòü áàðîòðîïíà â óçêîì ñìûñëå;2) ìàññîâûå ñèëû ïîòåíöèàëüíû;3) äâèæåíèåæèäêîñòèíåïðåðûâíûìîáëàñòèV (t)âðàññìàòðèâàåìîéÿâëÿåòñÿt0äâèæåíèå æèäêîñòè ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëü-∀t > 0;4) â íåêîòîðûé ìîìåíòíûì,òîãäà â ëþáîé äðóãîé ìîìåíò âðåìåíèt íåïðåðûâíîãî äâèæåíèÿ æèäêîñòèîíî áóäåò òàêæå ïîòåíöèàëüíûì.Hâûì:Äåéñòâèòåëüíî, ïîñêîëüêó ïîòåíöèàëüíîå äâèæåíèå ÿâëÿåòñÿ áåçâèõðå-ω = 0,òî óòâåðæäåíèå äàííîé òåîðåìû ýòî ïðîñòî ïåðåôîðìóëèðîâêàòåîðåìû Ëàãðàíæà.N1.7.3.

Èíòåãðàë Êîøè ËàãðàíæàÒåîðåìà 1.7.2.Åñëè äëÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè âûïîëíÿþòñÿ ñëåäóþùèåóñëîâèÿ:1) ðàññìàòðèâàåòñÿ ìîäåëü ïîòåíöèàëüíîãî äâèæåíèÿ;2) æèäêîñòü áàðîòðîïíà â óçêîì ñìûñëå;3) ìàññîâûå ñèëû ïîòåíöèàëüíû;òîãäà óðàâíåíèå äâèæåíèÿ (1.1.29) èëè (1.1.31) æèäêîñòè äîïóñêàåò ñëåäóþùåå ðåøåíèå (ïåðâûé èíòåãðàë, íàçûâàåìûé è í ò å ã ð à ë î ì Ê î ø è Ë à ã ð à í æ à:∂ϕv2++ P(p) − χ = f (t),∂t2êîòîðîå èìååò ìåñòîæèäêîñòè, ãäåHf (t)∀t > 0(1.7.3)âî âñåõ òî÷êàõ ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòèV íåêîòîðàÿ ïðîèçâîëüíàÿ ôóíêöèÿ âðåìåíè.Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ â ôîðìå Ãðîìåêè Ëåìáà (1.1.31).

Âñèëó áàðîòðîïíîñòè æèäêîñòè â óçêîì ñìûñëå, âñåãäà ñóùåñòâóåò ôóíêöèÿäàâëåíèÿ P(p) (ñì. ï. 1.5.2), óäîâëåòâîðÿþùàÿ óðàâíåíèþ (1.5.8): ∇P == (1/ρ)∇p, à, â ñèëó ïîòåíöèàëüíîñòè äâèæåíèÿ, âåêòîð âèõðÿ ω ðàâåí íóëþ,è ñêîðîñòü v ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå (1.7.1), òîãäà óðàâíåíèå äâèæåíèÿ(1.1.31) ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:v2∂∇ϕ + ∇ + ∇P = ∇χ.∂t2Çäåñü òàêæå ó÷òåíà ïîòåíöèàëüíîñòü ìàññîâûõ ñèëf = ∇χ.112Ãëàâà 1.

Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûÂûíîñÿ çíàê íàáëà-îïåðàòîðà çà ñêîáêè, ïîëó÷àåìµ∇¶∂ϕv2++P −χ∂t2= 0.Èíòåãðàë ýòîãî óðàâíåíèÿ, äåéñòâèòåëüíî, èìååò âèä (1.7.3).NÂàæíûì ñâîéñòâîì èíòåãðàëà Êîøè Ëàãðàíæà ÿâëÿåòñÿ òî, ÷òî îí ïðèìåíèì è äëÿ íåóñòàíîâèâøèõñÿ ïðîöåññîâ, â îòëè÷èå îò èíòåãðàëà Áåðíóëëè.Ýòî äàåò âîçìîæíîñòü åãî ïðèìåíåíèÿ äëÿ îïèñàíèÿ âîëíîâûõ äâèæåíèéæèäêîñòè, àêóñòè÷åñêèõ (çâóêîâûõ) äâèæåíèé è ìíîãèõ äðóãèõ ïðîöåññîâ.Åñëè ïîòåíöèàëüíîå äâèæåíèå æèäêîñòè ÿâëÿåòñÿ óñòàíîâèâøèìñÿ, ò. å.∂ϕ=∂t0, òî èíòåãðàë Êîøè Ëàãðàíæà (1.7.3) ñîâïàäàåò ñ ÷àñòíûì ñëó÷àåìèíòåãðàëà Áåðíóëëè (1.5.19), â êîòîðîì ôóíêöèÿ äàâëåíèÿi∗ = fP(p)Çàìå÷àíèå 1.7.1.

Ôóíêöèÿf (t)ìîæåò áûòü îïðåäåëåíà, åñëè èçâåñòíî çíà-÷åíèå ëåâîé ÷àñòè óðàâíåíèÿ (1.7.3) â êàêîé-ëèáî òî÷êå æèäêîñòèt > 0,è êîíñòàíòàîäèíàêîâû äëÿ âñåõ òî÷åê ðàññìàòðèâàåìîé æèäêîñòè.x0äëÿ âñåõâ ÷àñòíîñòè, ýòà òî÷êà ìîæåò ïðèíàäëåæàòü ãðàíèöå îáëàñòè. Îòìåòèìîäíàêî, ÷òî ñ ââåäåíèåì ïðåîáðàçîâàíèÿZtϕ(xe , t) = ϕ(x, t) − f (t0 ) dt0(1.7.4)0èíòåãðàë Êîøè Ëàãðàíæà (1.7.3) ìîæíî çàïèñàòü ñ íóëåâîé ïðàâîé ÷àñòüþ:∂ϕev2++ P(p) − χ =∂t20,(1.7.5)e = ∇ϕve = ∇ϕ = v ñêîðîñòü íå çàâèñèò îò ôóíêöèè f (t). Èíà÷åïîòåíöèàë ϕ îïðåäåëÿåòñÿ ñ òî÷íîñòüþ äî ôóíêöèè f (t).

Äàëåå áóäåìïîñêîëüêóãîâîðÿ,ðàññìàòðèâàòü èíòåãðàë Êîøè Ëàãðàíæà òîëüêî â ôîðìå (1.7.5), îïóñêàÿâîëíó íàäϕ. ¤1.7.4. Çàìêíóòàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé áàðîòðîïíîé æèäêîñòèâ ñëó÷àå ïîòåíöèàëüíûõ äâèæåíèéÅñëè äâèæåíèå æèäêîñòè ÿâëÿåòñÿ ïîòåíöèàëüíûì, à ñàìà æèäêîñòü áàðîòðîïíîé â óçêîì ñìûñëå, òî çàìêíóòàÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé ãàçîâîé äèíàìèêè (1.1.28)(1.1.30) ðàñïàäàåòñÿ íà äâå íåçàâèñèìûå ÷àñòè: 1) ñèñòåìóóðàâíåíèé íåðàçðûâíîñòè (1.1.28), (1.1.29), êîòîðóþ â äàííîì ñëó÷àå ñ ó÷åòîì(1.7.1) è èíòåãðàëà Êîøè Ëàãðàíæà (1.7.3) ìîæíî çàïèñàòü â âèäå1 dρ+ ∆ϕ = 0,ρ dt∂ϕ+∂t12(∇ϕ)2 + P(p) − χ = 0,(1.7.6)(1.7.7)113Ÿ 1.7. Ïîòåíöèàëüíûå äâèæåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòèè 2) óðàâíåíèå ýíåðãèè (1.1.3), êîòîðîå â äàííîì ñëó÷àå ïðèíèìàåò âèä∂ep1+ ∇ϕ · ∇e = − ∆ϕ − ∇ · q + qm .∂tρρ(1.7.8) ï.

1.5.2 áûëî ïîêàçàíî, ÷òî åñëè æèäêîñòü ÿâëÿåòñÿ áàðîòðîïíîé âP(p) ìîæíîZpdp0P(p) =0 .óçêîì ñìûñëå, òî ôóíêöèþ äàâëåíèÿïðåäñòàâèòü â âèäå (1.5.10):(1.7.9)ρ(p )píÄèôôåðåíöèàë ýòîé ôóíêöèè ìîæíî ïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:dP =ãäåba=dpba2=dρ,ρρ(1.7.10)pdp/dρ(1.7.11) ñêîðîñòü çâóêà â áàðîòðîïíîé æèäêîñòè.Çàìå÷àíèå 1.7.2. Ñêîðîñòü çâóêàba (1.7.11)â áàðîòðîïíîé æèäêîñòè, âîîáùåãîâîðÿ, íå ñîâïàäàåò ñ àäèàáàòè÷åñêîé ñêîðîñòüþ çâóêàaâ ãàçå, îïðåäå-ëåííîé ïî ôîðìóëå (1.3.24), ïîñêîëüêó ôîðìóëà (1.3.24) îïðåäåëåíà äëÿèçýíòðîïè÷åñêèõ, ò. å.

àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, êîòîðûå, êàê áûëî îòìå÷åíîâ ï. 1.3.4, ÿâëÿþòñÿ áàðîòðîïíûìè òîëüêî â øèðîêîì ñìûñëå. ÈíòåãðàëÊîøè Ëàãðàíæà, êàê è ôîðìóëû (1.7.10), (1.7.11), óñòàíîâëåíû òîëüêî äëÿáàðîòðîïíûõ â óçêîì ñìûñëå æèäêîñòåé. Íàïðèìåð, äëÿ ñîâåðøåííîãî ãàçàñêîðîñòü çâóêàbaâû÷èñëÿþò äëÿ èçîòåðìè÷åñêèõ ïðîöåññîâ (θqba=òàê êàê◦= θ = const):◦Rθ = ba0 = const,p = ρRθ0 .Ñêîðîñòü çâóêàaâ ñîâåðøåííîì ãàçå âû÷èñëÿþò äëÿ àäèàáàòè÷åñêèõïðîöåññîâ ñëåäóþùèì îáðàçîì (ñì. (1.3.25)):a = a0 (ρ/ρ0 )(k−1)/2 ,a0 =p◦Òàêèì îáðàçîì, äàæå ïðèîòëè÷àòüñÿ:kA0 Rθ0 .θ = θ0 è ρ = ρ0 , çíà÷åíèÿ ba=pa.

¤a0 = kA0 bèa0ìîãóòρèìîæåò, ñîãëàñíî óñëîâèþ áàðîòðîïèè, ðàññìàòðèâàòüñÿ è êàê ôóíêöèÿ îòp îáùåì ñëó÷àå, ñêîðîñòü çâóêàèëè, ñîãëàñíî (1.7.9), êàê ôóíêöèÿba√Rθ0ÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé ïëîòíîñòèba=ba(P).Òîãäà âûðàæåíèå (1.7.10) ìîæíîïðåäñòàâèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:dPdρ1= 2.ρ dtba (P) dt1(1.7.12)114Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûÏîäñòàâëÿÿ (1.7.12) â (1.7.6), (1.7.7), ýòó ñèñòåìó ìîæíî ïðåäñòàâèòüâ âèäå äâóõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî äâóõ ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé èP(x, t):1dP+ ∆ϕ =dtba ∂ϕ +∂t212ϕ(x, t)(1.7.13)0,(|∇ϕ|)2 + P − χ = 0,(1.7.14)Ñèñòåìà óðàâíåíèé (1.7.13), (1.7.14) ÿâëÿåòñÿ ñâÿçàííîé, ò. å. íåèçâåñòíûåôóíêöèèPèϕâõîäÿò â îáà óðàâíåíèÿ ýòîé ñèñòåìû. Îäíàêî ýòè óðàâíåíèÿìîæíî ðàçâÿçàòü.

Äëÿ ýòîé öåëè ñíîâà ðàññìîòðèì ñèñòåìó (1.7.6), (1.7.7),îòäåëüíî âû÷èñëèì ïðîèçâîäíóþ ïîãðàäèåíò∇.tîò óðàâíåíèÿ (1.7.14) è îòäåëüíî  ðåçóëüòàòå, ïîëó÷èì âûðàæåíèÿ äëÿ∂P/∂tè∇P :∂∇ϕ∂P∂2ϕ∂χ= − 2 − ∇ϕ ·+,(1.7.15)∂t∂t∂t∂t∂∇ϕ1∂∇ϕ∇P = −− ∇(∇ϕ · ∇ϕ) + ∇χ = −− (∇ ⊗ ∇ϕ) · ∇ϕ + ∇χ.∂t2∂t(1.7.16)Çäåñü èñïîëüçîâàíî ñâîéñòâî (ò.

1, (2.4.16)).Ïåðåõîäÿ â (1.7.13) îò ïîëíîé ïðîèçâîäíîédP/dtê ÷àñòíîé∂P/∂tèèñïîëüçóÿ ïîëó÷åííûå âûðàæåíèÿ (1.7.15), (1.7.16), óðàâíåíèå (1.7.13) ìîæíîçàïèñàòü â âèäå1³ ∂Pba∂t2´+ ∇ϕ · ∇P − ∆ϕ = −1³ ∂2ϕba∂t22+ 2∇ϕ ·´+ ∇ϕ · (∇ ⊗ ∇ϕ) · ∇ϕ −Ïîñêîëüêó ñêîðîñòü çâóêàba(P)∂∇ϕ+∂t∂χ− ∇ϕ · ∇χ + ∆ϕ = 0.∂tÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îòP,àP,(1.7.17)ñîãëàñíîèíòåãðàëó Êîøè Ëàãðàíæà (1.7.14), ìîæíî âûðàçèòü ÷åðåç ïðîèçâîäíûå îòϕ,òî èbaϕ:µ¶2∂ϕ|∇ϕ|22ba (P) = ba χ−−.ìîæíî âñåãäà âûðàçèòü ÷åðåç ïîòåíöèàë∂t2(1.7.18)Òîãäà óðàâíåíèå (1.7.17) ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé îäíî ñêàëÿðíîå óðàâíåíèåîòíîñèòåëüíî îäíîé ôóíêöèèϕè ìîæåò áûòü çàïèñàíî ñëåäóþùèì îáðàçîì:³´∂∇ϕ∂ϕ∂ ϕe,+ 2∇ϕ ·=A, ∇ϕ · · ∇ ⊗ ∇ϕ + ψ2∂t∂t∂t2ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèå(1.7.19)∂χψe =+ ∇ϕ · ∇χ,∂tà òàêæå ñèììåòðè÷íûé òåíçîð âòîðîãî ðàíãàA³ ∂ϕ∂t´, ∇ϕ=ba2 E − ∇ϕ ⊗ ∇ϕ.(1.7.20)115Ÿ 1.7.