Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды

ÓÄÊ 531.1:51-72(075.8)ÁÁÊ 22.25:22.51.5Ä46Ðåöåíçåíòû:àêàäåìèê ÐÀÍ Î. Ì. Áåëîöåðêîâñêèé;àêàäåìèê ÐÀÍ Å. È. Øåìÿêèí;÷ëåí-êîððåñïîíäåíò ÐÀÍ Â. À. Ãóùèí;äîêòîð ôèç.-ìàò. íàóê, ïðîôåññîð Í. Í. ÑìèðíîâÄèìèòðèåíêî Þ. È.Ä46Ìåõàíèêà ñïëîøíîé ñðåäû : ó÷åá. ïîñîáèå : â 4 ò. / Þ. È. Äèìèòðèåíêî. Ì. : Èçä-âî ÌÃÒÓ èì. Í. Ý. Áàóìàíà, 2011.ISBN 978-5-7038-3385-8Ò. 3 : Îñíîâû ìåõàíèêè æèäêîñòè è ãàçà. XXX, [1] ñ. : èë.ISBN 978-5-7038-3437-4Òðåòèé òîì ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ ïîñâÿùåí ñèñòåìàòèçèðîâàííîìó èçëîæåíèþ îñíîâ ìåõàíèêè æèäêîñòåé è ãàçîâ. Ðàññìîòðåíû êëàññè÷åñêèå ìîäåëèè çàäà÷è ìåõàíèêè èäåàëüíîé æèäêîñòè: òåîðèÿ àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ,òåîðèÿ ïîòåíöèàëüíûõ òå÷åíèé, ìîäåëü êâàçèñòàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ, ìîäåëüóñòàíîâèâøèõñÿ ïðîöåññîâ, òåîðèÿ âèõðåâûõ äâèæåíèé, ìîäåëü èäåàëüíîãîãàçà ñ ìàëûìè âîçìóùåíèÿìè, ìîäåëü ïîòåíöèàëüíûõ äâèæåíèé íåñæèìàåìîé èäåàëüíîé æèäêîñòè, ìîäåëü ìàãíèòíîé ãèäðîäèíàìèêè.

Èçëîæåíû òàêæåêëàññè÷åñêèå ìîäåëè è çàäà÷è ëèíåéíî-âÿçêèõ æèäêîñòåé: ìîäåëü óñòàíîâèâøèõñÿ ïðîöåññîâ â âÿçêîé æèäêîñòè, ìîäåëü êâàçèñòàòè÷åñêèõ ïðîöåññîââ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè, òåîðèÿ íåóñòàíîâèâøèõñÿ äâèæåíèé íåñæèìàåìîéâÿçêîé æèäêîñòè, ìîäåëü ëàìèíàðíîãî ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ. Èçëîæåíà òåîðèÿñîîòíîøåíèé íà ïîâåðõíîñòÿõ ðàçðûâà â âÿçêèõ æèäêîñòÿõ, ðàññìîòðåíû áåçðàçìåðíûå óðàâíåíèÿ âÿçêîé æèäêîñòè, à òàêæå ìîäåëè òóðáóëåíòíîãî äâèæåíèÿ æèäêîñòè.Ñîäåðæàíèå ó÷åáíîãî ïîñîáèÿ ñîîòâåòñòâóåò êóðñàì ëåêöèé, ÷èòàåìûõ âÌÃÒÓ èì. Í.

Ý. Áàóìàíà.Äëÿ ñòóäåíòîâ ñòàðøèõ êóðñîâ è àñïèðàíòîâ ìàòåìàòè÷åñêèõ, ôèçè÷åñêèõ,åñòåñòâåííî-íàó÷íûõ êàôåäð óíèâåðñèòåòîâ è òåõíè÷åñêèõ âóçîâ. Áóäåò ïîëåçíî ñïåöèàëèñòàì, çàíèìàþùèìñÿ ðàçëè÷íûìè âîïðîñàìè ìåõàíèêè ñïëîøíûõñðåä.ÓÄÊ 531.1:51-72(075.8)ÁÁÊ 22.25:22.51.5ISBN 978-5-7038-3437-4 (ò. 3)ISBN 978-5-7038-3385-8c°c°Äèìèòðèåíêî Þ. È., 2011Îôîðìëåíèå. Èçäàòåëüñòâî ÌÃÒÓèì. Í.

Ý. Áàóìàíà, 2011ÎÃËÀÂËÅÍÈÅà ë à â à 1.Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6Ÿ 1.1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6Ÿ 1.2. Ñîîòíîøåíèÿ íà ïîâåðõíîñòÿõ ðàçðûâà â èäåàëüíûõ æèäêîñòÿõ . . . . . .18Ÿ 1.3. Ìîäåëü àäèàáàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â æèäêîñòÿõ è ãàçàõ . . . .

. . . . . . . .31Ÿ 1.4. Ìîäåëü êâàçèñòàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â æèäêîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . .65Ÿ 1.5. Óñòàíîâèâøèåñÿ ïðîöåññû â æèäêîñòÿõ è ãàçàõ . . . . . . . . . . . . . . . . . .74Ÿ 1.6. Âèõðåâûå äâèæåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè. .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92Ÿ 1.7. Ïîòåíöèàëüíûå äâèæåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . .110Ÿ 1.8. Ìîäåëü èäåàëüíîãî ãàçà ñ ìàëûìè âîçìóùåíèÿìè . . . . . . . . . . . . . . . .119. . . . . . .132Ÿ 1.10. Ìîäåëè èäåàëüíûõ ýëåêòðîìàãíèòíûõ æèäêîñòåé . . . .

. . . . . . . . . . . .Ÿ 1.9. Ïîòåíöèàëüíûå äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé èäåàëüíîé æèäêîñòè161Âÿçêèå æèäêîñòè è ãàçû . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185Ÿ 2.1. Ìîäåëè âÿçêèõ æèäêîñòåé . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .185Ÿ 2.2. Ñîîòíîøåíèÿ íà ïîâåðõíîñòÿõ ðàçðûâà â âÿçêèõ æèäêîñòÿõ .

. . . . . . . .198Ÿ 2.3. Áåçðàçìåðíûå óðàâíåíèÿ âÿçêîé æèäêîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .205Ÿ 2.4. Óñòàíîâèâøèåñÿ ïðîöåññû â âÿçêîé æèäêîñòè . . . . . . . . . . . . . . . . . . .220Ÿ 2.5. Êâàçèñòàòè÷åñêèå ïðîöåññû â íåñæèìàåìîé æèäêîñòè . . . . . . . . . . . . .224Ÿ 2.6. Íåóñòàíîâèâøèåñÿ äâèæåíèÿ íåñæèìàåìîé âÿçêîé æèäêîñòè . .

. . . . . .235Ÿ 2.7. Ìîäåëü ëàìèíàðíîãî ïîãðàíè÷íîãî ñëîÿ251à ë à â à 2.. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ãëàâà1ÈÄÅÀËÜÍÛÅ ÆÈÄÊÎÑÒÈ È ÃÀÇÛÐàññìîòðèì çàìêíóòûå ñèñòåìû óðàâíåíèé äëÿ êëàññè÷åñêèõ ìîäåëåéèäåàëüíûõ ñïëîøíûõ ñðåä: æèäêîñòåé è ãàçîâ.Ÿ 1.1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçû1.1.1. Ñèñòåìà óðàâíåíèé èäåàëüíîé ñæèìàåìîé æèäêîñòèâ ïðîñòðàíñòâåííîì îïèñàíèè ò. 2, ï. 3.8.13 áûëè óñòàíîâëåíû îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ èäåàëüíîéæèäêîñòè áûëî ïîêàçàíî, ÷òî âñå ìîäåëèAnèCnýêâèâàëåíòíû èäîïóñêàþò åäèíñòâåííîå îáùåå ïðåäñòàâëåíèå (ò. 2, (3.8.168)), ñâÿçûâàþùååàêòèâíûå ïåðåìåííûåΛ = {T, p, η , ψ}ñ ïëîòíîñòüþρè òåìïåðàòóðîéθ:R = {ρ, θ}.Ïîäñòàâëÿÿ îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ æèäêîñòè (ò.

2, (3.8.168)) â ñèñòåìó çàêîíîâ ñîõðàíåíèÿ ÌÑÑ (ò. 2, (2.12.5)) ïðèα = 1,2 è 3 â ïðîñòðàí-ñòâåííîì îïèñàíèè, ïîëó÷àåì∂ρ+ ∇ · ρv =∂t0,∂ρv+ ∇ · (ρv ⊗ v + pE) = ρf ,∂t∂ρε+ ∇ · (ρv(ε + p/ρ) + q) = ρf · v + qm∂t(1.1.1)(1.1.2)(1.1.3) ñèñòåìó óðàâíåíèé íåðàçðûâíîñòè, äâèæåíèÿ è ýíåðãèè (ïÿòü ñêàëÿðíûõóðàâíåíèé). Çäåñü ââåäåíî îáîçíà÷åíèå äëÿ ïëîòíîñòè ïîëíîé ýíåðãèèε=e+|v|22.(1.1.4)Ïðè çàïèñè óðàâíåíèÿ ýíåðãèè ó÷òåíî, ÷òî äëÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè∇ · (T · v) = −∇ · (pv) = −∇ · (ρv(p/ρ)).(1.1.5)Ê ñèñòåìå (1.1.1)(1.1.3) ïðèñîåäèíÿåì îñòàâøèåñÿ îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ (ò. 2, (3.8.168)):p = p(ρ, θ) = ρ2 (∂ψ/∂ρ),(1.1.6)7Ÿ 1.1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûe = e(ρ, θ) = ψ − θ∂ψ.∂θ(1.1.7)ψ = ψ(ρ, θ),(1.1.8)à òàêæå çàêîí Ôóðüå äëÿ æèäêîñòè (ò. 2, (3.12.29)):q = −λ ∇θ.(1.1.9)Ñîîòíîøåíèå (1.1.6) íàçûâàþò òåðìè÷åñêèì óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ æèäêîñòè, à (1.1.7) êàëîðè÷åñêèì óðàâíåíèåì ñîñòîÿíèÿ.Åñëè ïîäñòàâèòü ñîîòíîøåíèÿ (1.1.6)(1.1.9), à òàêæå (1.1.4) â çàêîíûñîõðàíåíèÿ (1.1.1)(1.1.3), òî ïîëó÷èì ïÿòü ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé (1.1.1)(1.1.3) îòíîñèòåëüíî ïÿòè ñêàëÿðíûõ íåèçâåñòíûõ ôóíêöèé:ρ, θ, v.(1.1.10)Ôèçè÷åñêèå ñâîéñòâà æèäêîñòè (âåëè÷èíû, õàðàêòåðèçóþùèå, ÷åì îäíàæèäêîñòü îòëè÷àåòñÿ îò äðóãîé ïðè îäíèõ è òåõ æå âíåøíèõ âîçäåéñòâèÿõ)îïðåäåëÿþòñÿ òîëüêî âèäîì ïîòåíöèàëà (1.1.8), ò.

å. ñêàëÿðíîé ôóíêöèåé îòäâóõ ñêàëÿðíûõ ïåðåìåííûõϕ(ρ, θ)è êîýôôèöèåíòîì òåïëîïðîâîäíîñòèλ.Óðàâíåíèÿ (1.1.1)(1.1.3) ñ ñîîòíîøåíèÿìè (1.1.4), (1.1.6)(1.1.9) íàçûâàþò ñèñòåìîé óðàâíåíèé èäåàëüíîé ñæèìàåìîé òåïëîïðîâîäíîé æèäêîñòè(ãàçà) â ïðîñòðàíñòâåííîì îïèñàíèè.Òåðìèí ñæèìàåìàÿ æèäêîñòü ïîä÷åðêèâàåò, ÷òî æèäêîñòü íå ÿâëÿåòñÿíåñæèìàåìîé.Êàê îòìå÷àëîñü â ò. 2, ï.***3.10.4, óðàâíåíèå èçìåíåíèÿ ýíòðîïèè (ò.

2,(2.12.5) ïðèα=4) ïîñëå ïîñòðîåíèÿ îïðåäåëÿþùèõ ñîîòíîøåíèé ñëåäóåòèñêëþ÷èòü èç îáùåé ñèñòåìû óðàâíåíèé. Îäíàêî â ýòîé ñèñòåìå êðîìå óðàâíåíèé (1.1.1)(1.1.3) åùå îñòàþòñÿ äèíàìè÷åñêîå óðàâíåíèå ñîâìåñòíîñòè(ò. 2, (2.12.5) ïðèα = 6):∂ρF ò+ ∇ · ρ(v ⊗ F ò − F ò ⊗ v) =∂tè êèíåìàòè÷åñêîå óðàâíåíèå (ò. 2, (2.12.5) ïðè0(1.1.11)α = 5):∂ρu+ ∇ · (ρv ⊗ u) = ρv.∂t(1.1.12)Íåòðóäíî çàìåòèòü, ÷òî ñèñòåìà óðàâíåíèé (1.1.1)(1.1.3) íå çàâèñèò îòèFu, ò. å. åå ìîæíî ðåøèòü îòäåëüíî îò óðàâíåíèé ñîâìåñòíîñòè è êèíåìàòèêè,à óæå ïîñëå íàõîæäåíèÿ ôóíêöèé (1.1.10) ìîæíî îòäåëüíî ðàññìîòðåòü óðàâíåíèå (1.1.11) îòíîñèòåëüíîF(äåâÿòü ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíîäåâÿòè ñêàëÿðíûõ íåèçâåñòíûõ, ôóíêöèèρèvðàññìàòðèâàþòñÿ êàê èçâåñò-íûå) è îòäåëüíî óðàâíåíèå (1.1.12) îòíîñèòåëüíîu (òðè ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèÿîòíîñèòåëüíî òðåõ ñêàëÿðíûõ ôóíêöèé).Ñëåäóåò ñêàçàòü, ÷òî â ìåõàíèêå æèäêîñòåé è ãàçîâ óðàâíåíèÿ (1.1.11)è (1.1.12) ðåøàþò êðàéíå ðåäêî, ïîñêîëüêó èíôîðìàöèÿ î ïåðåìåùåíèÿõ è8Ãëàâà 1.

Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûãðàäèåíòå äåôîðìàöèè æèäêîñòè îáû÷íî íå òàê âàæíà, êàê èíôîðìàöèÿ îãëàâíûõ ôóíêöèÿõ (1.1.10). Òåì íå ìåíåå, â îòäåëüíûõ ñïåöèàëüíûõ çàäà÷àõÌÑÑ ðåøåíèå óðàâíåíèé (1.1.11) è (1.1.12) îêàçûâàåòñÿ ïîëåçíûì.1.1.2. Óðàâíåíèÿ èäåàëüíîé ñæèìàåìîé æèäêîñòè â êîìïîíåíòàõÇàïèøåì ñèñòåìó óðàâíåíèé (1.1.1)(1.1.3) â êîìïîíåíòàõ.

Èñïîëüçîâàíèåäëÿ ýòîé öåëè áàçèñîârièëèriàêòóàëüíîé êîíôèãóðàöèè îêàçûâàåòñÿíåóäà÷íûì, ïîñêîëüêó ýòè áàçèñû çàâèñÿò îò âðåìåíèri (t), ri (t),è ïðè äèô-ôåðåíöèðîâàíèè âåêòîðà ñêîðîñòè âîçíèêàåò äîñòàòî÷íî ñëîæíûé îáúåêò ïðîèçâîäíûåṙièëèṙi ,ò. å.∂v ri∂ri∂v∂v= i = vi+ i ri .∂t∂t∂t∂tÝòîãî ìîæíî èçáåæàòü, åñëè èñïîëüçîâàòü íåïîäâèæíûå áàçèñûri )/∂tò. 2, ï. 1.1.7): ∂(evie= (∂evi/∂t)eri .erièëèeri(ñì.Ïîñêîëüêó, ñîãëàñíî òåîðåìå 1.1.2 èç ò.

2, êîâàðèàíòíûå ïðîèçâîäíûå âêîîðäèíàòàõâ áàçèñåXièeiXñîâïàäàþò, òî óðàâíåíèÿ (1.1.1)(1.1.3) â êîìïîíåíòàõeri èìåþò âèäe j (ρe(∂ρ/∂t) + ∇v j ) = 0,e j (ρe(∂ρev i /∂t) + ∇v j vej + peg ij ) = ρf i ,e j (ρe(∂ρε/∂t) + ∇v j (ε + p/ρ) + qej ) = ρf i vej geij + ρqm .(1.1.13)(1.1.14)(1.1.15)Ñêàëÿðíûå îïðåäåëÿþùèå ñîîòíîøåíèÿ (1.1.6)(1.1.8) îñòàþòñÿ áåç èçìåíåíèÿ, à âåêòîðíîå óðàâíåíèå (1.1.9) â êîìïîíåíòàõ èìååò âèäe j θ.qei = −λeg ij ∇Çäåñü ìàòðèöûêîîðäèíàòe i.Xgeijègeij(1.1.16) èçâåñòíû, õîòÿ îíè è ÿâëÿþòñÿ ôóíêöèÿìèÑèñòåìó óðàâíåíèé (1.1.13)(1.1.16) è (1.1.6)(1.1.8) øèðîêî èñïîëüçóþòïðè ðåøåíèè ìíîãèõ çàäà÷ ìåõàíèêè æèäêîñòåé, ïðè ýòîì â êà÷åñòâå êîîðäèíàòeiX÷àùå âñåãî âûáèðàþò îðòîãîíàëüíûå êðèâîëèíåéíûå êîîðäèíàòû(äåêàðòîâû, öèëèíäðè÷åñêèå èëè ñôåðè÷åñêèå).Äëÿ îðòîãîíàëüíûõ êîîðäèíàòeiXóäîáíî ââåñòè ôèçè÷åñêèå êîìïîíåíòû(ñì. ò.

1, ï. 2.6.2 è ò. 2, ï. 1.1.4) âåêòîðà ñêîðîñòåéqôαè âåêòîðàfôαvôα = v α Hα ,v ôα ,âåêòîðà ïîòîêà òåïëàïî ôîðìóëàì (ò. 1, (2.6.13)):qôα = q α Hα ,fôα = f α Hα ,Hα =eiXìàòðèöàÍàïîìíèì, ÷òî äëÿ îðòîãîíàëüíûõ êîîðäèíàòíàëüíîé (ñì. ò. 1, (2.6.2)).pgeαα .geij(1.1.17)ÿâëÿåòñÿ äèàãî-9Ÿ 1.1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûÒîãäà, çàïèñûâàÿ â óðàâíåíèÿõ íåðàçðûâíîñòè (1.1.1) è ýíåðãèè (1.1.3)îïåðàòîðû äèâåðãåíöèè âåêòîðà â ôèçè÷åñêîì áàçèñåeαñîãëàñíî ôîðìóëå(ò. 1, (2.6.33)), à â óðàâíåíèè äâèæåíèÿ (1.1.2) àíàëîãè÷íî çàïèñûâàÿ îïåðàòîð äèâåðãåíöèè òåíçîðà ïî ôîðìóëå (ò. 1, (2.6.39)), ïîëó÷àåì ñèñòåìóóðàâíåíèé èäåàëüíîé ñæèìàåìîé æèäêîñòè â ôèçè÷åñêèõ êîìïîíåíòàõ:3∂ρ1 P∂ +p(ρvôα Hβ Hγ ) = 0,eα∂tge α=1 ∂ Xp3 ³∂ρvôγ1 P∂ge b+p(Tαγ )+αe ∂tge α=1 ∂ X Hαp´ge b ∂Hγbαα ∂Hα ) = ρfôγ ,+(Tγα−TeαeγHα Hγ∂X∂X³´3∂∂ρε1 P(ρvôα (ε + p/ρ) + qôα )Hβ Hγ = ∂t + pgeeαα=1 ∂ X3P=ρfôγ veôγ + ρqm ,α=1α 6= β 6= γ 6= α.(1.1.18)(1.1.19)(1.1.20)Çäåñü îáîçíà÷åíû ôèçè÷åñêèå êîìïîíåíòû òåíçîðà äèíàìè÷åñêèõ íàïðÿæåíèé â ãàçå:Tbαγ = ρvôα vôγ + pδαγ ,b=T3XTαγ eα ⊗ eγ .(1.1.21)α,γ=1Çàêîí Ôóðüå (1.1.9) â ôèçè÷åñêèõ êîìïîíåíòàõ èìååò âèäe α ),qôα = −λ (∂θ/∂ X(1.1.22)pàge = H1 H2 H3 .Ïðè âûâîäå ñîîòíîøåíèé (1.1.18)(1.1.20) ó÷òåíî, ÷òî ôèçè÷åñêèé áàçèñeαÿâëÿåòñÿ íåïîäâèæíûì, ïîýòîìó3X∂ρvôγ∂ρveγ .=∂t∂tγ=1Îòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå äâèæåíèÿ â ôîðìå (1.1.19) íå ÿâëÿåòñÿ äèâåðãåíòíûì, ò.

å. íå âñå ñëàãàåìûå ñëåâà ñòîÿò ïîä ïðîèçâîäíûìè (ñì. ò. 1,ï. 2.6.11). Äèâåðãåíòíîñòü ìîæíî îáåñïå÷èòü, åñëè îñóùåñòâèòü ïåðåõîä â(1.1.2) îò ôèçè÷åñêîãî áàçèñàv=ei3Xγ=1ê äåêàðòîâóvôγ eγ =3Xγ ,β=1ēiïî ôîðìóëå (ò. 1, (2.6.42)):e βγ )ēβ .(vôγ Q10Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûÒîãäà, èñïîëüçóÿ ôîðìó (ò. 1, (2.6.43)) äëÿ äèâåðãåíöèè òåíçîðàe ·Tb,∇ïîëó-÷àåì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ â äèâåðãåíòíîé ôîðìå:Ã∂∂t3p Xv ôγ e βQγρ geγ=1!Hγ+3X∂α=1eα∂XÃ!3p XpTbαγβge= ge ρfôβ .α γ Q̄γγ=1H H1.1.3. Çàïèñü óðàâíåíèé èäåàëüíîé ñæèìàåìîé æèäêîñòèâ ïîëíûõ äèôôåðåíöèàëàõÑèñòåìà óðàâíåíèé (1.1.1)(1.1.3), ñîãëàñíî òåðìèíîëîãèè ò. 2, ï.