Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды, страница 16

Òîãäà ìîæíî24πðàññìîòðåòü ôîðìàëüíóþ çàäà÷ó (1.6.44), (1.6.45) äëÿ ïîëÿ v, åäèíñòâåííûìÄåéñòâèòåëüíî, åñëè èìååòñÿ óêàçàííîå ïîëå1ðåøåíèåì êîòîðîé, ñîãëàñíî òåîðåìå 1.6.7, ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíîå ïîëå âèäà(1.6.46), â êîòîðîìϕèbîïðåäåëÿþòñÿ ïî (1.6.30) è (1.6.43), àóêàçàííûì âûøå îáðàçîì:Zϕ=1ξdV = −r4πZ∇·vdV ,rb=2πV∞V∞Z1Zω1dV =r4πV∞ωèξ∇×vdV ,rV∞(1.6.47å)÷òî è îçíà÷àåò âûïîëíåíèå ñîîòíîøåíèÿ (1.6.47â).Óñëîâèÿ (1.6.47á) îáåñïå÷èâàþò ñõîäèìîñòü èíòåãðàëîâ (1.6.47å), à òàêæåèõ óáûâàíèå íà áåñêîíå÷íîñòè (1.6.47ä) (ñì. òåîðåìó ***3.7 èç ò. 1).Õîòÿàbϕèbîïðåäåëÿþòñÿ íåîäíîçíà÷íî (ϕ ñ òî÷íîñòüþ äî êîíñòàíòû ñ òî÷íîñòüþ äî ãðàäèåíòàïðè ñîîòâåòñòâóþùåì âûáîðå(1.6.47ä).ϕ0èϕ0 ,∇ϕ0 ãàðìîíè÷åñêîé ôóíêöèè ϕ0 ), îäíàêîϕ0 âñåãäà ìîæíî óäîâëåòâîðèòü óñëîâèÿìN1.6.6.

Ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòåé âî âíåøíîñòè îãðàíè÷åííîé îáëàñòèÐàññìîòðèì ñëó÷àé, êîãäà ïîëå èñòî÷íèêîâω 1 (x, t) çàäàíî= E3a \ V (ðèñ. 1.6.4).âèõðÿξ1 (x, t)è ñîëåíîèäàëüíîå ïîëåâî âíåøíîñòè îãðàíè÷åííîé îáëàñòèÒðåáóåòñÿ íàéòè ïîëå ñêîðîñòåév1 (x, t)âV1 ,V,ò. å. âV1 =óäî-âëåòâîðÿþùåå çàäà÷å:∇ × v1 = 2ω 1 ,∇ · v1 = −4πξ1âV1(1.6.48)Ðèñ.

1.6.4. Îïðåäåëåíèåïîëÿ ñêîðîñòåé âî âíåøíîñòè îãðàíè÷åííîé îáëàñòè104Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûè ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ íà ïîâåðõíîñòèv1 · n = v1nãäåv1níàΣîáëàñòèΣ,(1.6.48à) çàäàííàÿ ôóíêöèÿ.Ïîñòðîèì ïðîäîëæåíèå ïîëåé èñòî÷íèêîââèõðÿV1 :ω(x, t)ξ(x, t) =â îáëàñòè(V:ξ1 (x, t), x ∈ V1 ,ω(x, t) =x∈V,0,ξ(x, t)è(ω 1 (x, t),x ∈ V1 ,(1.6.49)∇ϕ1 (x, t), x ∈ V ,ϕ1 (x, t) ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ, ÿâëÿþùàÿñÿîáëàñòè V , ò. å. â V ýòà ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåòãäåðåøåíèåì çàäà÷è Íåéìàíà âóñëîâèþ∆ϕ1 = 0è ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ íà ïîâåðõíîñòèãäåω1n¯= ω 1 ¯Σ · nΣ:îáëàñòèV:n · ∇ϕ1 = ω1n ,(1.6.51) èçâåñòíîå çíà÷åíèå. ÷àñòíîñòè, åñëèîáëàñòèΣ(1.6.50)ω1n =0 íàΣ,ϕ1 =òîconst è∇ϕ1 ≡0 âî âñåéV.ω ÿâëÿåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì âî âñåì ïðîE3a , òàê êàê â V : ∇ · ω = ∇ · ω 1 = 0 ïî óñëîâèþ, à â V1 :∇ · ω = ∆ϕ1 = 0 â ñèëó âûáîðà ôóíêöèè ϕ1 .

Êðîìå òîãî â V è V1 ïîëåω 1 ÿâëÿåòñÿ êóñî÷íî-íåïðåðûâíûì âìåñòå ñî ñâîèìè ïðîèçâîäíûìè, åñëèïîëå ω ÿâëÿåòñÿ òàêîâûì â îáëàñòè V1 , à íîðìàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ω1n ¯íåïðåðûâíà íà Σ, òàê êàê ωn = n · ∇ϕ1 ¯ = ω1n . Òîãäà, åñëè â îáëàñòè V1Σïîëÿ ω 1 è ξ1 óäîâëåòâîðÿþò óñëîâèÿì, àíàëîãè÷íûì (1.6.23) è (1.6.33), èñóùåñòâóþò k > 0, r0 > 0 è λ > 0 òàêèå, ÷òî ∀r > r0 è ∀x ∈ Urr (0) ∩ V1 :Ïðè òàêîì ïîñòðîåíèè ïîëÿñòðàíñòâå0|ω 1 (x, t)| <òî ïîëÿω(x, t)èξ(x, t)k1,|x|λ+2|ξ1 (x, t)| <k,|x|λ+2(1.6.52)áóäóò óäîâëåòâîðÿòü âñåì óñëîâèÿì òåîðåìû 1.6.7,è, ñëåäîâàòåëüíî, ñóùåñòâóåò ïîëå ñêîðîñòèv(x, t)âî âñåì ïðîñòðàíñòâåE3a ,óäîâëåòâîðÿþùåå çàäà÷å (1.6.44), (1.6.45) è âû÷èñëÿåìîå ïî ôîðìóëå (1.6.46),â êîòîðóþ ñëåäóåò ïîäñòàâèòü (1.6.49).Äëÿ òîãî, ÷òîáû íàéòè ïîëå ñêîðîñòè â îáëàñòèV1 ,ïðåäñòàâèì åãî â âèäåe,v1 = v − vãäåev(1.6.53) íåêîòîðîå äîáàâî÷íîå ïîëå.Ïîäñòàâëÿÿ (1.6.53) â (1.6.44), (1.6.45) è âû÷èòàÿ èç íåãî ñîîòâåòñòâóþùååóðàâíåíèå ñèñòåìû (1.6.48), ïîëó÷àåì äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîëÿçàäà÷ó:e = 0,∇×ve=0∇·vâV1 ,¯e ¯∞ = 0,vevñëåäóþùóþ(1.6.54)105Ÿ 1.6.

Âèõðåâûå äâèæåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòèñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì íà ïîâåðõíîñòèΣ:e · n = v · n − v1n ,vv1nãäåΣ çàäàíà íàïî óñëîâèþ;çàäà÷è âî âñåì ïðîñòðàíñòâåÏîñêîëüêó ïîëåevvíàΣ(1.6.55)âû÷èñëÿåì ïî (1.6.46) èç ðåøåíèÿE3a . áåçâèõðåâîå, òî åãî ðåøåíèå èùåì â âèäå ïîòåíöè-àëüíîãî ïîëÿ:e = ∇ϕve,äëÿϕe(1.6.56)ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ çàäà÷ó:(∆ϕe = 0 â V1 ,¯∂ϕ ¯¯∇ϕe¯∞ = 0,= v1n ,Σ(1.6.57)nêîòîðàÿ èìååò ðåøåíèå.Òàêèì îáðàçîì, îêîí÷àòåëüíîå ðåøåíèå çàäà÷è îïðåäåëåíèÿ ïîëÿ ñêîðîñòåévâ îáëàñòèV1ïî çàäàííîìó ðàñïðåäåëåíèþ ñêîðîñòåév1níàΣèìååòâèä (1.6.53) è (1.6.56).1.6.7.

Çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ïîëÿ ñêîðîñòåé ïî çàäàííûì ðàñïðåäåëåíèÿìâèõðåé è èñòî÷íèêîâ â îãðàíè÷åííîé îáëàñòèÐàññìîòðèì ñëó÷àé îãðàíè÷åííîé îáëàñòèÒåîðåìà 1.6.8.V.Ïóñòü â îãðàíè÷åííîé îáëàñòèV ⊂ E3açàäàíû:ïîëåξ(x) è ñîëåíîèäàëüíîå âåêòîðíîå ïîëå ω(x)(∇ · ω = 0), êîòîðûå ÿâëÿþòñÿ íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìûìèâñþäó â V , êðîìå êîíå÷íîãî ÷èñëà íåïåðåñåêàþùèõñÿ ïîâåðõíîñòåéΣ0i , íà êàæäîé èç êîòîðûõ òîëüêî ñêà÷îê íîðìàëüíîé ñîñòàâëÿþùåéâåêòîðà ω ðàâåí íóëþ: [ωn ] = 0;ñêàëÿðíîå ïîëå h(x) íà ïîâåðõíîñòè Σ îáëàñòè V , óäîâëåòâîðÿþùååóñëîâèþZZh(x) dΣ = ξ(x) dV ,1) ñêàëÿðíîå2)ΣVòîãäà ðåøåíèå çàäà÷è∇ · v = ξ(x) x ∈ V ,∇ × v = ω(x) x ∈ V ,èìååò ñëåäóþùèé âèä:v(x) = ∇ϕ + ∇ × ω + ∇ψ.1.6.8.

Ïðèìåðû âèõðåâûõ äâèæåíèé¯vn ¯Σ = h(x)106Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûÐàññìîòðèì âàæíåéøèå ïðèìåðû âèõðåâûõ äâèæåíèé èäåàëüíîé æèäêîñòè âî âñåì ïðîñòðàíñòâåE3a .1. Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâåE3açàäàíà îäíà èçîëèðîâàííàÿ çàìêíóòàÿ âèõ-ðåâàÿ òðóáêà, èìåþùàÿ îäèíàêîâîå âî âñåõ òî÷êàõ êðóãîâîå íîðìàëüíîåïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå, ðàäèóñ êîòîðîãîr0óñòðåìëÿåòñÿ ê íóëþ:Lωω(x),r0 →0, ò. å.òðóáêà, ñòÿãèâàåìàÿ ê âèõðåâîé ëèíèè(ðèñ.

1.6.5). Ïðåäïîëàãàåì, ÷òîçàäàíî ñîëåíîèäàëüíîå âèõðåâîå ïîëåîòëè÷íîå îò íóëÿ è ÿâëÿþùååñÿãëàäêîé ôóíêöèåé òîëüêî âíóòðè âèõðåâîé òðóáêè, à âî âñåì îñòàëüíîìïðîñòðàíñòâåEa3îíî ðàâíî íóëþ. Ïîñòàâèì çàäà÷ó: íàéòè ïîëå ñêîðîñòåév(x)aâî âñåì ïðîñòðàíñòâå E , èíäóöèðîâàííîå òàêèì âèõðåâûì ïîëåì.3Ðàññìîòðèì ýëåìåíòàðíûé îáúåìdVòàêîé òðóáêè, ïðåäñòàâëÿþùèé ñîáîéöèëèíäð, îãðàíè÷åííûé äâóìÿ ïîïåðå÷íûìè ñå÷åíèÿìè òðóáêè0áîêîâîé ïîâåðõíîñòè òðóáêè Σ . Ñå÷åíèåL,dΣdΣè ÷àñòüþîãðàíè÷åíî çàìêíóòûì êîíòóðîìîõâàòûâàþùèì îäèí ðàç âèõðåâóþ òðóáêó. Îáîçíà÷èìdx0 ýëåìåíòàðíûéðàäèóñ-âåêòîð, íàïðàâëåííûé ïî êàñàòåëüíîé ê âèõðåâîé ëèíèè, ò.

å.= tds,ãäåt0 åäèíè÷íûé êàñàòåëüíûé âåêòîð ê Lω ; |dx |öèëèíäðè÷åñêîãî ýëåìåíòàðíîãî îáúåìàÐèñ. 1.6.5. Íàõîæäåíèå ïîëÿ ñêîðîñòåé= dsdx0 = âûñîòàdV .v(x),èíäóöèðîâàííîå âèõðåâûì ïîëåìÏî îïðåäåëåíèþ âèõðåâîé òðóáêè, âåêòîð âèõðÿωt,ω(x)â òî÷êàõ íà áîêîâîéω = ωt.  ñèëóñòÿãèâàíèÿ òðóáêè ê ëèíèè è ïðåäïîëîæåíèÿ î ãëàäêîñòè ïîëÿ ω(x) âíóòðèâèõðåâîé òðóáêè, ïîëó÷àåì, ÷òî íà âñÿêîì ïîïåðå÷íîì ñå÷åíèè dΣ òðóáêèâåêòîð ω òàêæå îñòàåòñÿ êîëëèíåàðíûì âåêòîðó t è âåêòîðó íîðìàëè n íàdΣ (ðèñ. 1.6.5), ò. å.

ω = ωt = ωn. Òîãäà äëÿ ýëåìåíòàðíîãî îáúåìà dV òàêîéïîâåðõíîñòè âèõðåâîé òðóáêè êîëëèíåàðåí âåêòîðóò. å.òðóáêè èìååìω dV = ω dΣ |dx| = ω dΣ ds = ωt ds dΣ = ω dΣ dx0 =Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî öèðêóëÿöèþΓïî êîíòóðóL,Γ2dx0 .(1.6.58)ñîãëàñíî ôîðìóëå (1.6.14),äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé âèõðåâîé òðóáêè ìîæíî çàïèñàòü â âèäåΓ = 2n · ω dΣ = 2ω dΣ,ω = ω · n.(1.6.58à)107Ÿ 1.6. Âèõðåâûå äâèæåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòèÄëÿ íàõîæäåíèÿ ïîëÿ ñêîðîñòåév(x)âE3aìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ òåî-ðåìîé 1.6.7 (ï. 1.6.5) è ôîðìóëîé (1.6.46), ïîñêîëüêó óñëîâèÿ ýòîé òåîðåìûâûïîëíåíû. Äåéñòâèòåëüíî, ïîëåω(x) íóëåâîå âíå òðóáêè, ïîýòîìó, î÷å-ω(x) ÿâëÿåòñÿE3a , íî íà ïîâåðõíîñòè ðàçðûâà, ñîâïàäàþùåé ñ áîêîâîé ïîâåðõ0òðóáêè Σ , íîðìàëüíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ ýòîãî ïîëÿ ðàâíà íóëþ:âèäíî, óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (1.6.33).

Êðîìå òîãî, õîòÿ ïîëåðàçðûâíûì âíîñòüþωn = ω · n0 = ωt · n0 = 0,ò. å.ωnîñòàåòñÿ íåïðåðûâíîé.Ïðèìåíèì ôîðìóëó (1.6.46) äëÿ äàííîé çàäà÷è. Ïîñêîëüêó ïîëåîòëè÷íî îò íóëÿ òîëüêî âíóòðè îáëàñòè1v(x) =Z2πVVω(x)âèõðåâîé òðóáêè, òîω×rdV ,r3r = x − x0 .(1.6.59)Ïîäñòàâëÿÿ â (1.6.59) âûðàæåíèå (1.6.58) è ñòÿãèâàÿ òðóáêó ê âèõðåâîéëèíèèLωïðèr0 → 0,ïîëó÷àåì ôîðìóëóΓv(x) =4πZLωãäår = x − x0 ,dx0 × r,r3(1.6.60)íàçûâàåìóþ çàêîíîì Áèî Ñàâàðà.Ôîðìóëó (1.6.60) ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäåZv(x) =dv,dv(x) =Γdx0 × r.4π(1.6.61)LωÒîãäà çàêîí Áèî Ñàâàðà çâó÷èò ñëåäóþùèì îáðàçîì: ýëåìåíòàðíàÿ ñêîðîñòüdvæèäêîñòè â òî÷êåx,èíäóöèðóåìàÿ ýëåìåíòîìdx0âèõðåâîé ëèíèè â0òî÷êå x , ïðîïîðöèîíàëüíà âåêòîðíîìó ïðîèçâåäåíèþ âåêòîðîâÊîýôôèöèåíò ïðîïîðöèîíàëüíîñòè Γ = const.αèx − x0 . ïîñòîÿííàÿ âåëè÷èíà, ãäåÂåëè÷èíà ñêîðîñòè|dv| =ãäåΓ/(4π)dx0 óãîë ìåæäóÏîñêîëüêóω=0dx0èrΓ ds | sin α|,4πr2(1.6.62)(ñì. ðèñ.

1.6.5).âî âñåì ïðîñòðàíñòâåaïîëå ñêîðîñòè (1.6.60) â E3E3aêðîìå âèõðåâîé òðóáêèV,òî è\ V áóäåò áåçâèõðåâûì, ò. å. ïîòåíöèàëüíûì.ϕ ïîëÿ (1.6.60) èìååò âèäZ³1´Γϕ(x) = −dΣ, r = |x − x0 |,(1.6.63)n·∇Ïîêàæåì, ÷òî ïîòåíöèàë4πrΣω108ãäåÃëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûΣω íåçàìêíóòàÿ ïîâåðõíîñòü, íàòÿíóòàÿ íà êîíòóðLΣ .Äëÿ ýòîãîâû÷èñëèì ãðàäèåíò îò èíòåãðàëà (1.6.63), èñïîëüçóÿ ôîðìóëû äèôôåðåíöèðîâàíèÿ (ò. 1, (2.2.15â) è (2.5.7á)) ôóíêöèè 1/r :³1´0∇r∆0∂= ē 0i∂xµ³1´r¶1i|x − x0 |= ∇0 · ∇01rrx − x0= 3,|x − x0 |3r== ∇0 ·³r´r3(1.6.64)= 0.Òîãäà, ïðèìåíÿÿ ïðàâèëî (ò.