Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды, страница 15

Èç (1.6.19) ñëåäóåò, ÷òî ω = 0 â îáëàñòè V (t) äëÿ òåõ æå çíà÷åíèé t.Äåéñòâèòåëüíî, åñëè áû â ìîìåíò t íàøëàñü òàêàÿ òî÷êà x0 ïðîñòðàíñòâà,â êîòîðîé ω 6= 0, òî, â ñèëó íåïðåðûâíîñòè, ñóùåñòâîâàëà áû íåêîòîðàÿîêðåñòíîñòü Vx ýòîé òî÷êè, â êîòîðîé ω 6= 0. Òîãäà ìîæíî áûëî áû âûáðàòüïîâåðõíîñòü Σx , ïðèíàäëåæàùóþ Vx , â êîòîðîé âåêòîð ω ïî ïðåäïîëîæåíèþíå ìåíÿåò çíàêà, è, ñëåäîâàòåëüíî, åãî ïîòîê ÷åðåç Σx îòëè÷åí îò íóëÿ, íîýòî ïðîòèâîðå÷èò ñîîòíîøåíèþ (1.6.19), ÷òî è äîêàçûâàåò òåîðåìó.

Nâî âñå ìîìåíòû âðåìåíè00001.6.3. Òåîðåìà ÃåëüìãîëüöàÒåîðåìà 1.6.4 (Ãåëüìãîëüöà).Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû Òîìñî-íà, òîãäà:1) ìàòåðèàëüíûå ÷àñòèöû, îáðàçóþùèå â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíèt0ââèõðåâóþëþáîéëèíèþ,ìîìåíòâèõðåâóþâðåìåíètïîâåðõíîñòüäâèæåíèÿèëèòàêæåâèõðåâóþîáðàçóþòòðóáêó,âèõðåâóþëèíèþ, âèõðåâóþ ïîâåðõíîñòü èëè âèõðåâóþ òðóáêó ñîîòâåòñòâåííî;2) èíòåíñèâíîñòü âèõðåâîé òðóáêè, îïðåäåëÿåìàÿ êàêLΓ=HLvdx,ãäå ëþáîé êîíòóð, îõâàòûâàþùèé îäèí ðàç âèõðåâóþ òðóáêó, îñòà-åòñÿ ïîñòîÿííîé âî âñå âðåìÿ äâèæåíèÿ.HÂòîðîå óòâåðæäåíèå ÿâëÿåòñÿ ïðîñòûì ñëåäñòâèåì òåîðåìû Òîìñîíà.Äîêàæåì ïåðâîå óòâåðæäåíèå. Ïóñòü â ìîìåíòâåðõíîñòüΣω (t0 )t0äåëèòü âåêòîð íîðìàëèn,à âåêòîð âèõðÿëåæèò â êàñàòåëüíîé ïëîñêîñòè êΣω ,ωâ ýòîé òî÷êå, ïî îïðåäåëåíèþ,ò.

å. âûïîëíÿåòñÿ óñëîâèåÒîãäà, åñëè âûáðàòü ïðîèçâîëüíûé çàìêíóòûé êîíòóðïîâåðõíîñòèèìååòñÿ âèõðåâàÿ ïî-(ñì. ò. 2, ï. 1.4.12), òîãäà â êàæäîé åå òî÷êå ìîæíî îïðå-Σω (t0 ),L(t0 ),ω·n=0.ïðèíàäëåæàùèéòîIΓ(t0 ) =Zvdx = 2L(t0 )ω · n dΣ = 0.Σω (t0 )(1.6.20)98Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûÍî, â ñèëó ñëåäñòâèÿ (1.6.18) èç òåîðåìû Òîìñîíà,Γ(t0 ) = Γ(t) è ñîîòíîøåíèå(1.6.20) ñîõðàíÿåòñÿ â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíè:Zω · n dΣ = 0,(1.6.21)Σω (t)Σω (t) ïîâåðõíîñòü, îáðàçîâàííàÿ òåìè æå ìàòåðèàëüíûìè ÷àñòèöàìè,Σω (t0 ).

 ñèëó ïðîèçâîëüíîñòè êîíòóðà L, èç (1.6.21) ïîëó÷àåì, ÷òîω · n = 0 äëÿ âñÿêîé òî÷êè ïîâåðõíîñòè Σω (t). Ýòî è îçíà÷àåò, ÷òî Σω (t) ãäå÷òî èòîæå âèõðåâàÿ ïîâåðõíîñòü.ÅñëèΣω (t0 ) çàìêíóòàÿ ïîâåðõíîñòü, òî, ïî îïðåäåëåíèþ, îíà ÿâëÿåòñÿâèõðåâîé òðóáêîé, çíà÷èò äëÿ âèõðåâûõ òðóáîê òåîðåìà òîæå äîêàçàíà.Ðàññìîòðèì â ìîìåíò âðåìåíèt0âèõðåâóþ ëèíèþLω (t0 ).íèþ, îíà âñåãäà ïðèíàäëåæèò íåêîòîðîé âèõðåâîé ïîâåðõíîñòèÏî îïðåäåëå-Σω (t0 ).ìîæíî ðàññìîòðåòü, ïî êðàéíåé ìåðå, åùå îäíó âèõðåâóþ ïîâåðõíîñòüòàêæå ñîäåðæàùóþΣω (t0 ) è Σ0ω (t0 ).Σω (t) è Σ0ω (t), àLω (t0 ).ÒîãäàLω (t0 ) åñòü ïåðåñå÷åíèå ïîâåðõíîñòåéÏðè íåïðåðûâíîì äâèæåíèèèõ ëèíèÿ ïåðåñå÷åíèÿLω (t)Σω (t0 )äîêàçûâàåò òåîðåìó.Lω (t)èΣ0ω (t0 )ïåðåéäóò âáóäåò ïðîõîäèòü ÷åðåç òå æåñàìûå ìàòåðèàëüíûå òî÷êè, ÷òî ïðèíàäëåæàò ëèíèè0è Σω (t) âèõðåâûå ïîâåðõíîñòè, òî èÂñåãäàΣ0ω (t0 ),Lω (t0 ).ÏîñêîëüêóΣω (t)áóäåò âèõðåâîé ëèíèåé, ÷òî èN1.6.4.

Îïðåäåëåíèå áåçâèõðåâîãî ïîëÿ ñêîðîñòåéïî çàäàííîìó ðàñïðåäåëåíèþ èñòî÷íèêîâÄëÿ ìíîãèõ çàäà÷ ìåõàíèêè æèäêîñòåé âàæíóþ ðîëü èãðàåò ïðîáëåìàv(x, t) â ïðîñòðàíñòâå ïî çàäàííûì ïîëÿì âåêω(x, t) = (1/2)∇ × v è äèâåðãåíöèè ñêîðîñòè div v = −4πξ(x, t)(ïîëå ξ(x, t) ÷àñòî íàçûâàþò èñòî÷íèêîì).1. Ðàññìîòðèì âíà÷àëå ÷àñòíûé ñëó÷àé ýòîé çàäà÷è, êîãäà ξ 6= 0, à ω = 0.Òîãäà äëÿ ïîëÿ v(x, t) èìååì ñëåäóþùóþ ñèñòåìó ñîîòíîøåíèé:âîññòàíîâëåíèÿ ïîëÿ ñêîðîñòåéòîðà âèõðÿ∇ × v = 0,Òåîðåìà 1.6.5.ξ(x, t),∇ · v = −4πξ.(1.6.22)E3a × R0+ çàäàíà ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿi è óäîâëåòâîðÿþùàÿïðîèçâîäíûå ∂ξ/∂xÏóñòü â ïðîñòðàíñòâåèìåþùàÿ îãðàíè÷åííûåñëåäóþùåìó óñëîâèþ íà áåñêîíå÷íîñòè:|ξ(x, t)| <äëÿ âñåõx, t,òàêèõ, ÷òîk|x|2+λ|x| > r0 , t > 0, à r0 , k , λ < λ < 1, òîãäà ðåøåíèåìùåñòâåííûå ÷èñëà, ïðè÷åì 0(1.6.23)ïîëîæèòåëüíûå âåñèñòåìû óðàâíåíèé99Ÿ 1.6.

Âèõðåâûå äâèæåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè(1.6.22) ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì¯v¯∞ = 0∀t > 0(1.6.24)ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíîå ïîëåv = ∇ϕ,ãäåϕ(x, t)(1.6.25) ñêàëÿðíàÿ ôóíêöèÿ ñëåäóþùåãî âèäà:Zϕ(x, t) =ξ(x0 , t)dV.|x − x0 |(1.6.26)V∞Çäåñüx0 ïåðåìåííàÿ èíòåãðèðîâàíèÿ â íåñîáñòâåííîì èíòåãðàëå òðåòüåãîðîäà.Óñëîâèå (1.6.24) íà áåñêîíå÷íîñòè ïîíèìàåòñÿ êàê|v(x, t)| <ïðè âñåõx, t,òàêèõ, ÷òî|x| > r0 , t > 0,k1|x|λãäåk1 > 0(1.6.27) íåêîòîðàÿ âåùåñòâåííàÿêîíñòàíòà.H1. Ïîêàæåì âíà÷àëå, ÷òî âåêòîðíîå ïîëå (1.6.25), (1.6.26) ÿâëÿåòñÿðåøåíèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé (1.6.22).Ïîäñòàâëÿÿ (1.6.25) â ïåðâîå óðàâíåíèå (1.6.22), óáåæäàåìñÿ, ÷òî îíîóäîâëåòâîðÿåòñÿ òîæäåñòâåííî:∇ × v = 2∇ × ∇ϕ = 0,(1.6.28)â ñèëó ôîðìóëû (ò.

1, (2.5.9)) äëÿ ëþáîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿϕ.Ïîäñòàâëÿÿ (1.6.25) âî âòîðîå óðàâíåíèå (1.6.22), ïîëó÷àåì äëÿ ôóíêöèèϕñëåäóþùåå äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå âòîðîãî ïîðÿäêà:∆ϕ = ξ ,(1.6.29)íàçûâàåìîå óðàâíåíèåì Ïóàññîíà.Èç òåîðèè ïîòåíöèàëà (ñì. ò. 1, òåîðåìû 3.6.4 è 3.6.15) èçâåñòíî, ÷òîóðàâíåíèå Ïóàññîíà (1.6.29) ñ óñëîâèåì (1.6.27) íà áåñêîíå÷íîñòè è óñëîâèåì(1.6.23) íà ïîëå èñòî÷íèêàξ(x)èìååò åäèíñòâåííîå ðåøåíèå îáúåìíûéïîòåíöèàë (ò. 1, (3.6.42)), êîòîðûé â òî÷íîñòè ñîâïàäàåò ñ (1.6.26). Êðîìåòîãî, òåîðåìà 3.6.11 èç ò.

1 ãàðàíòèðóåò ñóùåñòâîâàíèå ãðàäèåíòà∇ϕ = v,ò. å. ïîëÿ ñêîðîñòè (ñì. ò. 1, ôîðìóëó (3.6.88)):Zv = ∇ϕ(x) = −V∞x − x0ξ(x) dV.|x − x0 |3N(1.6.30)100Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçû2. Ðàññìîòðèì âòîðîé ñëó÷àé îïðåäåëåíèÿ ïîëÿ âåêòîðà ñêîðîñòè ïî çàäàííîìó ïîëþ âèõðåé:ω(x) 6=0,ξ=0. Òîãäà äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîëÿv(x, t)èìååì ñèñòåìó∇ · v = 0,Îòìåòèì, ÷òî âåêòîð âèõðÿω,óðàâíåíèþ∇ × v = 2ω.(1.6.31)â ñèëó åãî îïðåäåëåíèÿ, óäîâëåòâîðÿåò1∇ · ω = ∇ · ∇ × v = 0.(1.6.32)2Íàïîìíèì, ÷òî ïîëå âåêòîðà, äèâåðãåíöèÿ êîòîðîãî ðàâíà íóëþ, íàçûâàþòñîëåíîèäàëüíûì.Òåîðåìà 1.6.6.Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâåE3a × R0+ω(x, t), óäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:• ñóùåñòâóþò òàêèå òðè ÷èñëà k > 0, r0 >r > r0 èìååò ìåñòî íåðàâåíñòâî|ω(x, t) <• ω(x, t)0 èλ>0, ÷òî äëÿ âñåõ∀x ∈ Ur (0), ∀t > 0;(1.6.33) íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìàÿ ôóíêöèÿ â çàìûêàíèè âñÿ-êîãî øàðà• ω(x, t)k|x|λ+2çàäàíî âåêòîðíîå ïîëåUr (0); ñîëåíîèäàëüíîå ïîëå, ò.

å. óäîâëåòâîðÿþùåå (1.6.32),òîãäà ðåøåíèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé (1.6.31) îòíîñèòåëüíî ïîëÿv(x, t)ñãðàíè÷íûì óñëîâèåì íà áåñêîíå÷íîñòè¯v¯∞ = 0,îçíà÷àþùåì, ÷òî ñóùåñòâóþò òàêèå|v(x)| <k1|x|1+λk1 > 0(1.6.34)ère1 > 0,÷òî∀r > re1∀x ∈ Ur (0),(1.6.34à)ÿâëÿåòñÿ ñëåäóþùåå âåêòîðíîå ïîëå:v = rot b,ãäåb(x, t)(1.6.35) âåêòîðíûé ïîòåíöèàë âèäàb(x, t) =1Z2πω(x0 )dV.|x − x0 |(1.6.36)∞Îïðåäåëåíèå íåñîáñòâåííîãî èíòåãðàëà ïî âñåìó ïðîñòðàíñòâóE3a èí-òåãðàëà òðåòüåãî ðîäà îò âåêòîðíîãî ïîëÿ äàíî â ò. 1, ï.

3.6.5.HÏîäñòàâëÿÿ ôîðìóëó (1.6.35) â ïåðâîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (1.6.31),óáåæäàåìñÿ, ÷òî îíî óäîâëåòâîðÿåòñÿ òîæäåñòâåííî:∇ · v = ∇ · ∇ × b = 0.(1.6.37)101Ÿ 1.6. Âèõðåâûå äâèæåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòèÏîäñòàâëÿÿ (1.6.35) âî âòîðîå óðàâíåíèå ñèñòåìû (1.6.31), ñ ó÷åòîì ôîðìóëû (ò. 1, (2.5.18)) ïîëó÷àåì∇ × v = ∇ × ∇ × b = ∇ ⊗ (∇ · b) − ∆b = 2ω ,ò. å.

ïîëåb(1.6.38)äîëæíî óäîâëåòâîðÿòü ñëåäóþùåìó óðàâíåíèþ:∇ ⊗ (∇ · b) − ∆b = 2ω.(1.6.39)Îòìåòèì, ÷òî íå íàðóøàÿ îáùíîñòè, ìîæíî ñ÷èòàòü, ÷òî âåêòîðíûé ïîòåíöèàëbâ (1.6.35) ÿâëÿåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì:∇ · b = 0.(1.6.40)Äåéñòâèòåëüíî, åñëè áû ìû íàøëè òàêîé âåêòîð∇ · b1 6= 0,òî ìîæíî âñåãäà ïîëîæèòüb = b1 + ∇ψ ,v = rot b rot b1 + rot ∇ψ = rot b1 ,Âûáèðàÿψòàêèì îáðàçîì, ÷òîáûb1 ,÷òîv=rotb1 ,íîè òîãäà∇ · b = ∇ · b1 + ∆ψ.∆ψ = −∇ · b1 ,ñíîâà ïðèõîäèì ê óñëîâèþñîëåíîèäàëüíîñòè (1.6.40).Ñ ó÷åòîì (1.6.40) óðàâíåíèå (1.6.39) áóäåò ýêâèâàëåíòíî ñèñòåìå∆b = −2ω ,∇·b=0(1.6.41)â ñëó÷àå, åñëè ðåøåíèå ýòîé ñèñòåìû ñóùåñòâóåò. Îäíàêî, ïîñêîëüêó ïîëåω(x, t)ïî ïðåäïîëîæåíèþ ñîëåíîèäàëüíî è óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (1.6.33)íà áåñêîíå÷íîñòè, òî îêàçûâàþòñÿ âûïîëíåííûìè âñå óñëîâèÿ òåîðåìû 3.11èç ò.

1, ï. 3.6.9. Ñîãëàñíî ýòîé òåîðåìå, ðåøåíèå ñèñòåìû (1.6.41) ñ óñëîâèåì¯∇ × b¯∞ = 0,íà áåñêîíå÷íîñòè(1.6.42)ÿâëÿþùèìñÿ ñëåäñòâèåì (1.6.34) è (1.6.35), äåéñòâèòåëüíî, ñóùåñòâóåò, è èìÿâëÿåòñÿ âåêòîðíîå ïîëå (1.6.35), íàçûâàåìîå âåêòîðíûì îáúåìíûì ïîòåíöèàëîì.NÏîäñòàâëÿÿ (1.6.36) â (1.6.35), ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ ôîðìóëó äëÿ ïîëÿñêîðîñòåé:v(x, t) =1Z2π1ω(x0 , t)dV =∇×2π|x − x0 |∞=1Z2π∞Z∇1|x − x0 |× ω(x0 , t) dV =∞ω×rdV ,r3r = x − x0 , r = |r|.1.6.5. Îáùàÿ çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ïîëÿ ñêîðîñòåéïî çàäàííûì ðàñïðåäåëåíèÿì âèõðåé è èñòî÷íèêîââî âñåì ïðîñòðàíñòâå(1.6.43)102Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûÐàññìîòðèì îáùèé ñëó÷àé, êîãäà âî âñåì ïðîñòðàíñòâå çàäàíî ïîëå èñòî÷íèêîâξ(x, t)è ïîëå âåêòîðà âèõðÿÒåîðåìà 1.6.7.ξ(x, t)ω(x, t).E3a × R0+Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâåè âåêòîðíîå ïîëåω(x, t),çàäàíû ñêàëÿðíîå ïîëåóäîâëåòâîðÿþùèå óñëîâèÿì òåîðåì 1.6.5è 1.6.6, òîãäà åäèíñòâåííûì ðåøåíèåì ñèñòåìû óðàâíåíèé∇ × v = 2ω ,ñ ãðàíè÷íûì óñëîâèåì∇ · v = −4πξ(1.6.44)¯v¯∞ = 0(1.6.45)ÿâëÿåòñÿ âåêòîðíîå ïîëå ñëåäóþùåãî âèäà:v(x, t) = ∇ϕ + rot b,(1.6.46)ãäå ñêàëÿðíûé ïîòåíöèàë îïðåäåëÿåì ïî ôîðìóëå (1.6.26), à âåêòîðíûé ïî (1.6.36).H ñèëó ëèíåéíîñòè çàäà÷è (1.6.44)(1.6.45), åå ðåøåíèå ìîæíî ïðåäñòà-âèòü â âèäå ñóïåðïîçèöèè ðåøåíèé äâóõ çàäà÷ (1.6.22), (1.6.24) è (1.6.31),(1.6.34).

 ýòîì ñëó÷àå îáùåå ðåøåíèå, î÷åâèäíî, áóäåò ïðåäñòàâëåíî ôîðìóëîé (1.6.46). Åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ ÿâëÿåòñÿ ñëåäñòâèåì òåîðåì 3.6.15 è3.6.16 èç ò. 1.NÑ ó÷åòîì (1.6.30) è (1.6.43), ðåøåíèå (1.6.46) ìîæíî çàïèñàòü â âèäåZv(x, t) = −V∞1rξdV +32πrZ∞ω×rdV , r = x − x0 , r = |r|.r3(1.6.46à)Çàìå÷àíèå 1.6.2. Èç ôîðìóëû (1.6.46à) íåïîñðåäñòâåííî âûòåêàåò ñëåäóþùåå óòâåðæäåíèå: ðåøåíèåì çàäà÷è∇ × v = 0,∇·v =0â¯E3a , v¯∞ = 0ÿâëÿåòñÿ òîëüêî òîæäåñòâåííî íóëåâîå âåêòîðíîå ïîëå(1.6.46á)v(x) ≡ 0âî âñåìE3a .Ñ ïîìîùüþ òåîðåìû 1.6.7 ìîæíî ñôîðìóëèðîâàòü åùå îäíî óòâåðæäåíèå,øèðîêî ïðèìåíÿåìîå â ÌÑÑ.Òåîðåìà 1.6.7à (Ãåëüìãîëüöà).âåêòîðíîå ïîëå•v(x, t),Ïóñòü â ïðîñòðàíñòâåE3a × R0+çàäàíîóäîâëåòâîðÿþùåå ñëåäóþùèì óñëîâèÿì:ÿâëÿåòñÿ íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìûì â çàìûêàíèè âñÿêîãî øàðàUr (0);•ðàâíî íóëþ íà áåñêîíå÷íîñòè (â ñìûñëå (1.6.34)):¯v¯∞ = 0;•(1.6.47à)äèâåðãåíöèÿ è ðîòîð ýòîãî ïîëÿ ðàâíû íóëþ íà áåñêîíå÷íîñòè, ò.

å.äëÿ íèõ ñóùåñòâóþò òàêèå ÷èñëàk , k1 , λèr1 (k > 0, k1 > 0,2<λ<103Ÿ 1.6. Âèõðåâûå äâèæåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè< 3),÷òî∀r > r1|∇ · v| 6k,|x|λk1|x|λ|∇ × v| 6òîãäà âñåãäà ñóùåñòâóþò ñêàëÿðíûéϕ(x, t)∀x ∈ Ur (0),b(x, t)è âåêòîðíûéàëû, íåïðåðûâíî-äèôôåðåíöèðóåìûå âî âñÿêîìŪr (0),(1.6.47á)ïîòåíöè-òàêèå, ÷òî âûïîëíÿ-åòñÿ ñîîòíîøåíèåv = ∇ϕ + rot b,ïðè÷åì ïîëåb(1.6.47â)ÿâëÿåòñÿ ñîëåíîèäàëüíûì:∇ · b = 0,àϕèbâñåãäà ìîæíî ñ÷èòàòü ðàâíûìè íóëþ íà áåñêîíå÷íîñòè â ñìûñëå(1.6.34):H(1.6.47ã)¯ϕ¯∞ = 0,¯b¯∞ = 0.(1.6.47ä)v, òî ïî íåìó âñåãäà1ìîæíî îáðàçîâàòü âåêòîð ω =∇ × v è ñêàëÿð ξ = − ∇ · v.