Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды, страница 10

Ìîäåëü êâàçèñòàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â æèäêîñòè1.4.1. Îïðåäåëåíèå êâàçèñòàòè÷åñêîãî ïðîöåññàÐàññìîòðèì íàèáîëåå ïðîñòóþ ñ òî÷êè çðåíèÿ âû÷èñëåíèé ìîäåëü ìîäåëü êâàçèñòàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â æèäêîñòè.Îïðåäåëåíèå 1.4.1.Åñëè â ñèñòåìå óðàâíåíèé (1.1.1)(1.1.3) äëÿ èäåàëüíîéñæèìàåìîé æèäêîñòè èëè â ñèñòåìå (1.1.73)(1.1.75) äëÿ íåñæèìàåìîéæèäêîñòè ïðåíåáðåãàþò ÷ëåíàìè, ñîäåðæàùèìè ñêîðîñòüv,ò. å. ïîëàãà-þòv ≡ 0,(1.4.1)òî ãîâîðÿò, ÷òî ïðèíÿòà ìîäåëü ê â à ç è ñ ò à ò è ÷ å ñ ê è õ ï ð î ö å ñ ñ î â âæèäêîñòè.66Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûÏîíÿòèå êâàçèñòàòè÷íîñòè îçíà÷àåò, ÷òî äîïóñêàåòñÿ äâèæåíèå æèäêîñòè,îäíàêî îíî îñóùåñòâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íî ìåäëåííî: òàê ÷òî âëèÿíèåì ñêîðîñòèäâèæåíèÿvâ óðàâíåíèÿõ íåðàçðûâíîñòè, äâèæåíèÿ è ýíåðãèè ìîæíî ïðåíå-áðå÷ü.

×àñòíûì ñëó÷àåì ÿâëÿåòñÿ ïîëíîå îòñóòñòâèå äâèæåíèÿ ðàâíîâåñèåæèäêîñòè, íàçûâàåìîå ãèäðîñòàòèêîé.Äëÿ ñæèìàåìîé æèäêîñòè â ñëó÷àå êâàçèñòàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ ñèñòåìàóðàâíåíèé (1.1.1)(1.1.3) èìååò âèä∂ρ/∂t = 0,(1.4.2)∇p = ρf ,(1.4.3)ρ (∂e/∂t) + ∇ · q = ρqm ,(1.4.4)ê êîòîðîé ñëåäóåò ïðèñîåäèíèòü ñîîòíîøåíèÿ (1.1.5)(1.1.9).Èç (1.4.2) ñëåäóåò, ÷òî â ïðîñòðàíñòâåííîì îïèñàíèè ïëîòíîñòüêâàçèñòàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ íå çàâèñèò îòîòëè÷àòüñÿ îò◦t: ρ = ρ(x),ρäëÿîäíàêî îíà ìîæåòρ.1.4.2.

Çàêîí ÏàñêàëÿÈç óðàâíåíèÿ (1.4.3), êîòîðîå íàçûâàþò óðàâíåíèåì ðàâíîâåñèÿ æèäêîñòè, ñëåäóåò, ÷òî åñëè âíåøíèå ìàññîâûå ñèëû îòñóòñòâóþò:f = 0,òî∇p = 0èëèp = p(t),äàâëåíèå íå çàâèñèò îò êîîðäèíàò, ò. å. îíî îäèíàêîâî âî âñåõ ìàòåðèàëüíûõòî÷êàõ æèäêîñòè íåçàâèñèìî îò ôîðìû îáëàñòèVâK.Ýòîò âûâîä íàçûâàþòçàêîíîì Ïàñêàëÿ.Äàâëåíèåp(t)ìîæåò òåì íå ìåíåå èçìåíÿòüñÿ âî âðåìåíè, îäíàêî ýòî èç-ìåíåíèå ïðîèñõîäèò îòíîñèòåëüíî ìåäëåííî, ïîñêîëüêó äîëæíî ñîáëþäàòüñÿóñëîâèå êâàçèñòàòè÷íîñòè (1.4.1).1.4.3. Óñëîâèå íà ïëîòíîñòü âíåøíèõ ìàññîâûõ ñèëÅñëèf 6=0, òî óðàâíåíèå ðàâíîâåñèÿ (1.4.2) èìååò ðåøåíèå íå âñåãäà, àòîëüêî ïðè íåêîòîðûõ óñëîâèÿõ íàÒåîðåìà 1.4.1.f.Äëÿ ñæèìàåìîé æèäêîñòè íåîáõîäèìûì óñëîâèåì ñóùå-ñòâîâàíèÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ (1.4.3) îòíîñèòåëüíî äâóõ ôóíêöèéρèpÿâëÿåòñÿ âûïîëíåíèå ñëåäóþùåãî óñëîâèÿ íàf · ∇ × f = 0.f:(1.4.5)67Ÿ 1.4.

Ìîäåëü êâàçèñòàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâÅñëè◦ρ=ρ=const (æèäêîñòü ÿâëÿåòñÿ ñæèìàåìîé), òî íåîáõîäèìûìóñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ óðàâíåíèÿ (1.4.3) îòíîñèòåëüíîâèå ïîòåíöèàëüíîñòèf,pÿâëÿåòñÿ óñëî-ò. å.f = ∇ χ.H(1.4.6)Äåéñòâèòåëüíî, ïóñòü ñóùåñòâóþò äâå ôóíêöèèρ(xi , t)èp(xi , t),óäî-âëåòâîðÿþùèå óðàâíåíèþ (1.4.3). Òîãäà ïðèìåíèì ê ëåâîé è ïðàâîé ÷àñòÿìýòîãî óðàâíåíèÿ îïåðàöèþ rot.  ñèëó òîãî, ÷òî∇ × ∇p ≡ 0,ïîëó÷èì∇ × (ρf ) = 0.(1.4.7)Ðàñêðûâàÿ ñêîáêè è èñïîëüçóÿ ôîðìóëó (ò. 1, (2.4.10)), íàõîäèìρ∇ × f + ∇ρ × f = 0.Óìíîæàÿ ýòî ñîîòíîøåíèå ñêàëÿðíî íàèçâåäåíèÿ, ïîëó÷àåì, ÷òîf · (∇ρ × f ) ≡f,(1.4.8)â ñèëó ñâîéñòâ ñìåøàííîãî ïðî-0, è, ñëåäîâàòåëüíî, äåéñòâèòåëüíî,èìååò ìåñòî óñëîâèå (1.4.6).Åñëè æèäêîñòü ÿâëÿåòñÿ íåñæèìàåìîé, òî èç (1.4.3) ñëåäóåò, ÷òî äîëæíîâûïîëíÿòüñÿ óñëîâèå◦◦f = (1/ρ) ∇p = ∇(p/ρ),êîòîðîå è îçíà÷àåò ïîòåíöèàëüíîñòü âåêòîðà(1.4.9)f.

NÏîäñòàâëÿÿ óñëîâèå (1.4.6) â óðàâíåíèå (1.4.3), ïîëó÷àåì, ÷òî äëÿ íåñæèìàåìîé æèäêîñòè, íàõîäÿùåéñÿ â ïîëå ïîòåíöèàëüíûõ ñèë, äàâëåíèåµóäî-(1.4.10)p/ρ = χ + const.(1.4.11)∇èëèp¶−χ =0âëåòâîðÿåò óñëîâèþp◦ρ◦1.4.4. Ïëîòíîñòü ñèë òÿæåñòèÍàèáîëåå øèðîêî èñïîëüçóåìûé ÷àñòíûé ñëó÷àé ïîòåíöèàëüíûõ âíåøíèõìàññîâûõ ñèë ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèëà òÿæåñòè, äëÿ êîòîðîéf ïëîòíîñòüñèë òÿæåñòè, äåéñòâóþùèõ â àòìîñôåðå Çåìëè (èëè èíîé ïëàíåòû):f = −gΣ nΣ ,ãäågΣ =(1.4.12)const óñêîðåíèå ñâîáîäíîãî ïàäåíèÿ íà ðàññìàòðèâàåìîé ÷àñòèïîâåðõíîñòèÂåêòîðfΣÇåìëè;nΣ âåêòîð íîðìàëè, îðòîãîíàëüíûé êΣ.(1.4.12) óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (1.4.9), ïîòåíöèàë ñèë òÿæåñòèèìååò âèäχ = −gΣ s + const,s = |x − xΣ |,(1.4.13)68Ãëàâà 1.

Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûMΣ , ÿâëÿþùåéñÿ ïðîåêöèåé òî÷êè M íà ïînΣ ; s ðàññòîÿíèå ìåæäó M è MΣ (ðèñ. 1.4.1).2Íà ïîâåðõíîñòè Çåìëè gΣ ≈ 9,8 ì/ñ , íà ïîâåðõíîñòè Ìàðñà gΣ ≈ ****22ì/ñ , íà ïîâåðõíîñòè Âåíåðû gΣ ≈ **** ì/ñ .iÅñëè ñèñòåìà êîîðäèíàò Ox âûáðàíà òàêèì îáðàçîì, ÷òî âåêòîð áàçèñà ē3 ñîâïàäàåòñ âåêòîðîì íîðìàëè nΣ ê ïîâåðõíîñòè Σ, òîïîòåíöèàë χ èìååò âèäãäåxΣ ðàäèóñ-âåêòîð òî÷êèâåðõíîñòü Çåìëè ïî íîðìàëèχ = −gΣ x3 +Ïîäñòàâëÿÿconst.(1.4.14)â(1.4.14)(1.4.6),ïîëó÷àåìäëÿ ýòîãî ñëó÷àÿ:f = −gΣ ē3 ,(1.4.15)¯1¯2 ïëîòÐèñ.Ê îïðåäåëåíèþò.å.

1.4.1.f¯3 = −gΣ , f = f = 0.íîñòè ñèë òÿæåñòè1.4.5. Ðàâíîâåñèå æèäêîñòè â ïîëå ñèëû òÿæåñòèÅñëè ðàññìàòðèâàòü íåñæèìàåìóþ îäíîðîäíóþ æèäêîñòüïîëå ñèëû òÿæåñòèfχñ ïîòåíöèàëîì◦(ρ =const) â(1.4.12), òî èç (1.4.11) ïîëó÷àåìñëåäóþùåå âûðàæåíèå äëÿ äàâëåíèÿ:◦p = p(x3 ) = p0 − ρgΣ x3 ,ãäå(1.4.16)p0 = const.Åñëè ðàññìàòðèâàòü ñæèìàåìûé ñîâåðøåííûé ãàç, òî, ïîäñòàâëÿÿ âûðàæå-íèå (1.4.15) è ñîîòíîøåíèå (1.1.66) â (1.4.3), â äåêàðòîâîì áàçèñåóðàâíåíèådpp= −gΣ ,Rθdx3∂p∂p= 2 = 0.1∂x∂xēièìååì(1.4.17)(1.4.18)Èíòåãðèðóÿ óðàâíåíèå (1.4.17), ïîëó÷àåì áàðîìåòðè÷åñêóþ ôîðìóëó:xZ3³p = p0exp−gΣ dxRθ´,(1.4.19)x30ãäåp0 = const äàâëåíèå ïðèx3 = x30 .Ïîäñòàâëÿÿ óðàâíåíèå ñîñòîÿíèÿ (1.1.65) è çàêîí Ôóðüå (1.1.9) â óðàâíåíèå ýíåðãèè (1.4.4), íàõîäèìρcv∂θ= λ∆θ + ρqm∂t(1.4.20)69Ÿ 1.4. Ìîäåëü êâàçèñòàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâ óðàâíåíèå òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ ñîâåðøåííîãî ãàçà â ñîñòîÿíèè ðàâíîâåñèÿ.Åñëè ïðîöåññ ðàñïðîñòðàíåíèÿ òåïëà â ãàçå ÿâëÿåòñÿ ñòàöèîíàðíûì (óñòàíîâèâøèìñÿ), ò.

å.∂θ/∂t = 0,(1.4.21)òî èç (1.4.20) ïîëó÷àåì óðàâíåíèå ñòàöèîíàðíîé òåïëîïðîâîäíîñòèpqm= 0.λRθ∆θ +(1.4.22)1.4.6. Ðàâíîâåñèå ñòàíäàðòíîé àòìîñôåðûÏðèìåð 1.4.1. Ïðèìåíèì ôîðìóëû (1.4.19) è (1.4.22) äëÿ ïðèáëèæåííîãîâû÷èñëåíèÿ ïàðàìåòðîâp, ρèθñòàíäàðòíîé àòìîñôåðû ïëàíåòû ãàçà,íàõîäÿùåãîñÿ â äèàïàçîíå âûñîò 06 z = x3 − x30 6 Hîò ïîâåðõíîñòè ïëà-íåòû (áåç ó÷åòà íåêîòîðûõ äîïîëíèòåëüíûõ ôèçè÷åñêèõ ÿâëåíèé), ãäåHíåêîòîðàÿ êîíñòàíòà (óñëîâíàÿ òîëùèíà àòìîñôåðû).θ ôîðìóëå (1.4.19) òåìïåðàòóðóòèâíîé òåìïåðàòóðå àòìîñôåðûθ̄,ïîëàãàþò ðàâíîé íåêîòîðîé ýôôåê-pòîãäà äëÿèρïîëó÷àåì ñëåäóþùèåïðèáëèæåííûå ôîðìóëû:p = p0 exp (−β0 z),ãäåρ0β0 =gΣ,Rθ̄ρ = ρ0 exp (−β0 z),(1.4.23) ïëîòíîñòü íà ïîâåðõíîñòè ïëàíåòû. Çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòàβ0äëÿàòìîñôåðû ïëàíåò ïðèâåäåíû â òàáë. 10.1*****.Ïðè âû÷èñëåíèè òåìïåðàòóðûθàòìîñôåðû ïðåäïîëàãàþò, ÷òî ïðèòîêòåïëà çà ñ÷åò ìàññîâûõ è ïîâåðõíîñòíûõ èñòî÷íèêîâ çàâèñèò òîëüêî îòêîîðäèíàòûz,òîãäà óðàâíåíèå (1.4.22) èìååò âèäd2 θρq+ m = 0.2λdzÏëîòíîñòü ìàññîâûõ èñòî÷íèêîâ òåïëàqm(1.4.24)äëÿ àòìîñôåðû Çåìëè îòëè÷íà îòíóëÿ, îíà îïðåäåëÿåòñÿ, ãëàâíûì îáðàçîì, ïîãëîùåíèåì èçëó÷åíèÿ àòìîñôåðûíà îïðåäåëåííûõ âûñîòàõz,ïîýòîìóqmÿâëÿåòñÿ ôóíêöèåé îòz.Äëÿ ïîëó-θ äèàïàçîí âûñîòHi 6 z 6 Hi+1 , i = 1, .

. . , n − 1, H0 = 0, Hn = H ,ñ÷èòàòü êîíñòàíòîé: qm = qmi ïðè Hi 6 z 6 Hi+1 .÷åíèÿ ÿâíîãî àíàëèòè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ äëÿ òåìïåðàòóðûHðàçáèâàþò íà ó÷àñòêèíà êîòîðûõÒîãäàθqmìîæíîíà ýòèõ ó÷àñòêàõ èìååò âèäθ = θ(i) ≡ −ρ0 qmiλβ02Hi 6 z 6 Hi+1 ,ãäåai , biòåìïåðàòóðûêîíñòàíòû,θêîòîðûåè òåïëîâîãî ïîòîêàexp(−β0 z) + ai z + bi ,i = 0, 1,... ,îïðåäåëÿþòλ(∂θ/∂z)n − 1,èçóñëîâèé(1.4.25)íåïðåðûâíîñòèíà ãðàíèöàõ ó÷àñòêîâz = Hi70Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçû(iFile `fig10_27.*' not foundÐèñ.

1.4.2.Çàâèñèìîñòüòåìïåðàòóðûθ(z)ñòàíäàðòíûõ= 1,n − 1),(i−1)∂θ∂z(Hi ) =∂ (i)θ (Hi ),∂zθ(0) (H0 ) = θ0 ,Ãðàôèêè òåìïåðàòóðûíà ðèñ. 1.4.2.è ãðàíè÷íûõ óñëîâèé äëÿ òåìïåðà-z = 0, H :θ(i−1) (Hi ) = θ(i) (Hi ),äëÿàòìîñôåðïëàíåò... ,òóðû íà ãðàíèöàõ àòìîñôåðû ïðèθ(z)i = 1,... ,(1.4.26)n − 1,θ(n) (H) = θH .äëÿ ñòàíäàðòíûõ àòìîñôåð ïëàíåò ïðèâåäåíû¤1.4.7. Çàêîí ÀðõèìåäàÂî ìíîãèõ ïðèëîæåíèÿõ âàæíóþ ðîëü èãðàåò çàäà÷à î ðàâíîâåñèè æèäêîãî òåëà è ïîãðóæåííîãî â íåãî (ïîëíîñòüþ èëè ÷àñòè÷íî) äðóãîãî òåëàBæèäêîãî èëè òâåðäîãî (ðèñ. 1.4.3).Ïóñòüñòè òåëà,V îáëàñòü ïîãðóæåííîé ÷àΣ ïîâåðõíîñòü êîíòàêòà òåëàñ æèäêîñòüþ. Åñëè òåëî ÷àñòè÷íî ïîãðóæåíî, òîΣÿâëÿåòñÿ íåçàìêíóòîé.B,Ïîñêîëüêó òåëîêàê è æèäêîñòü,íàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè, òî â îáëàñòèVâûïîëíåíî óðàâíåíèå ðàâíîâåñèÿ∇ · TB − ρB gΣ ē3 = 0,Ðèñ. 1.4.3.

Ðàâíîâåñèå òåëà, ïîëíîñòüþïîãðóæåííîãî â æèäêîñòüèíòåãðèðóÿ êîòîðîå ïî îáëàñòèFmBïîëó-÷àåìFmB + FΣB = 0.ÇäåñüV,(1.4.27) ñóììàðíûé âåêòîð ìàññîâûõ ñèë;ïîâåðõíîñòíûõ ñèë, äåéñòâóþùèõ íà òåëîZFΣB ñóììàðíûé âåêòîðB:FmB = − ρB gΣ ē3 dV = −mB gΣ ē3 ,V(1.4.28)ZmB = − ρB dV ,(1.4.29)VZFΣB = − tnB dΣ,(1.4.30)ΣãäåmB ìàññà òåëàB; ρB åãî ïëîòíîñòü. Çäåñü èñïîëüçîâàíà ôîðìóëàÃàóññà Îñòðîãðàäñêîãî (ò. 1, (3.5.13)) è îáîçíà÷åíèÿíàïðÿæåíèé Êîøè è âåêòîð íàïðÿæåíèé â òåëåB.TBètnB òåíçîð71Ÿ 1.4. Ìîäåëü êâàçèñòàòè÷åñêèõ ïðîöåññîâÏîñêîëüêó òåëî B è æèäêîñòü íàõîäÿòñÿ â ðàâíîâåñèè, òîΣ èìååò ìåñòî óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè âåêòîðà íàïðÿæåíèétnB = tn , è, ñëåäîâàòåëüíî,ZFΣ = FΣB = tn dΣ.íà ïîâåðõíîñòè(ò. 2, (2.2.14)):(1.4.31)ΣÎòìåòèì, ÷òî óðàâíåíèå ðàâíîâåñèÿ (1.4.27) ñ ó÷åòîì âûðàæåíèé (1.4.28)è (1.4.31) äëÿFmèFΣíå èçìåíÿåòñÿ, åñëè òåëîBÿâëÿåòñÿ, â ÷àñòíîñòè, òîéæå æèäêîñòüþ, â êîòîðóþ îíî ïîãðóæåíî, è åãî ìàññàñmB(ïëîòíîñòüm=RVρdVñîâïàäàåòρ ïðè ýòîì ìîæåò íå ñîâïàäàòü ñ ρB ), ò.

å. èç (1.4.27) ñëåäóåòóðàâíåíèåãäåFΣ + Fm = 0,(1.4.32)ZFm = − ρgΣ ē3 dV = −mgΣ ē3 .(1.4.33)VmÌàññóíàçûâàþò ìàññîé âûòåñíåííîé æèäêîñòè, è â ñîîòâåòñòâèè ñâûâîäîì óðàâíåíèÿ ðàâíîâåñèÿ îíà ñîâïàäàåò ñZm=Zρ dV =VÂåêòîðFΣ ,mB :ρB dV = mB .(1.4.34)Vîïðåäåëåííûé ôîðìóëîé (1.4.30), íàçûâàþò ãëàâíûì âåêòî-ðîì ñèë, äåéñòâóþùèõ íà òåëî ñî ñòîðîíû æèäêîñòè.Èç (1.4.32) è (1.4.33) ïîëó÷àåì âûðàæåíèå äëÿFΣ :FΣ = mgΣ ē3 ,â ýòîé ôîðìåFΣ(1.4.35)íàçûâàþò àðõèìåäîâîé ñèëîé. ñîîòâåòñòâèè ñ (1.4.27), (1.4.31) è (1.4.35) ïîëó÷àåì ñëåäóþùóþ òåîðåìó.Òåîðåìà 1.4.2 (çàêîí Àðõèìåäà).äåéñòâóåòàðõèìåäîâàñèëàFΣ ,Íà òåëî÷èñëåííîB,ïîãðóæåííîå â æèäêîñòü,ðàâíàÿâåñógΣ mæèäêîñòè,âûòåñíåííîé ýòèì òåëîì.Àðõèìåäîâà ñèëàFΣñòðåìèòñÿ âûòîëêíóòü òåëîB,à ñèëà òÿæåñòèFmBïðîòèâîäåéñòâóåò åé (ðèñ.

1.4.3), ïðè÷åìFΣ + FmB = 0.ÑèëàöåíòðîìFΣïðèëîæåíà ê íåêîòîðîé òî÷êåòÿæåñòèñèñòåìå êîîðäèíàòâûòåñíåííîéOēi ,à ñèëàMCìàññûFm(1.4.36)âíóòðè îáëàñòèV , íàçûâàåìîéxC âè èìåþùåé ðàäèóñ-âåêòîðïðèëîæåíà, âîîáùå ãîâîðÿ, ê äðóãîé72Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûòî÷êåMB , íàçûâàåìîé öåíòðîì òÿæåñòè âûòåñíåííîãî îáúåìà è èìåþùåéxB , ãäåZZ11xC =xρ dV ,xB =xρB dV.(1.4.37)ðàäèóñ-âåêòîðmmBVÏîñêîëüêó òåëîBVíàõîäèòñÿ â ðàâíîâåñèè, òî äëÿ íåãî äîëæíî âûïîëíÿòüñÿòàêæå è óðàâíåíèå ìîìåíòîâ (1.3.52), êîòîðîå â äàííîì ñëó÷àå èìååò âèäµmB + µΣB = 0,ãäåZ(1.4.38)ZµmB = − x × ρB gΣ ē3 dV = −gΣ ( xρB dV ) × ē3 =VVZµΣB == −gΣ mB xB × ē3 = xB × FmB ,(1.4.39)x × tnB dV.(1.4.40)ΣÅñëè òåëîBÿâëÿåòñÿ òîé æå æèäêîñòüþ, â êîòîðóþ îíî ïîãðóæåíî, òîóðàâíåíèå ìîìåíòîâ (1.4.38) ñîõðàíÿåò ñâîé âèäµm + µΣ = 0,(1.4.41)Zãäåµm = − x × ρgΣ ē3 dV = −gΣ mxC × ē3 = xC × Fm ,V(1.4.42)ZµΣ =x × tn dV.(1.4.43)ΣÏîñêîëüêótnB = tnµm = µmB ,ò.