Димитриенко Ю.И. - Механика сплошной среды, страница 14

Ïðè îïðåäåëåííîì çíà÷åíèè y2 : y1 > y2 > yêð , çíà÷åíèþS = Sêð áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ìèíèìóì v = vêð íà ãðàôèêå v(S , Q). Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ñêîðîñòü òå÷åíèÿ v ïðè òàêîì çíà÷åíèè y2 â êðèòè÷åñêîì ñå÷åíèèxêð ñòàíåò çâóêîâîé. Îäíàêî ïðè Sêð 6 S 6 Sâûõ çíà÷åíèÿ v íà ãðàôèêå v(S , Q)Ïðè ìåíüøèõ çíà÷åíèÿõñíîâà ïîéäóò ïî ëåâîé (äîçâóêîâîé) ÷àñòè ðåøåíèÿ, è â ðàñøèðÿþùåéñÿ ÷àñòèñîïëà ñêîðîñòüvñíîâà áóäåò óìåíüøàòüñÿ ê âûõîäíîìó ñå÷åíèþ.Åñëè çíà÷åíèåyñòàíîâèòñÿ ìåíüøå, ÷åìèç çàäàííîãî äèàïàçîíà çíà÷åíèéíà ãðàôèêåv(S , Q(y))S0 > S > Sêðy2 ,èñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿòî óæå íå äëÿ âñåõSêð 6 S 6 Sâûõñêîðîñòè v . ÝòîSíàéäóòñÿîçíà÷àåò,÷òî òå÷åíèÿ ãàçà â ðàìêàõ ñäåëàííûõ äîïóùåíèé ïðè òàêîì çíà÷åíèèyíåò.

Òå÷åíèå ãàçà â ñîïëå ñòàíîâèòñÿ íåóñòàíîâèâøèìñÿ è íåîäíîìåðíûì.Òàêàÿ ñèòóàöèÿ èìååò ìåñòî äëÿ âñåõyèç äèàïàçîíày3 < y < y2 ,y3 y < yêð ,ãäåy3 < yêð . Ïðè çíà÷åíèÿõv(S , Q(y)) íà÷èíàåò ñíîâà ñìåùàòüñÿâíèç ïî îñè OS , è ïðè îïðåäåëåííîì çíà÷åíèè y = y3 ñíîâà áóäåò ñóùåñòâîâàòü ðåøåíèå v äëÿ âñåõ S èç äèàïàçîíà S0 > S > Sêð è Sêð 6 S 6 Sâûõ .Ïðè÷åì, åñëè ïðè S0 > S > Sêð çíà÷åíèÿ v íà ýòîì ãðàôèêå v(S , Q3 ) áóäóòíà äîçâóêîâîé âåòâè, òî ïðè Sêð 6 S 6 Sâûõ ñîîòâåòñòâóþùèå çíà÷åíèÿ víåêîòîðîå çíà÷åíèå, ìåíüøåå êðèòè÷åñêîãîêàê îòìå÷àëîñü âûøå, ãðàôèêè ôóíêöèéðàñïîëàãàþòñÿ óæå íà ïðàâîé (ñâåðõçâóêîâîé) âåòâè.

Ýòî îçíà÷àåò, ÷òî ïðèy = y3â ñóæàþùåéñÿ ÷àñòè ñîïëà Ëàâàëÿ òå÷åíèå ÿâëÿåòñÿ äîçâóêîâûì, âêðèòè÷åñêîì ñå÷åíèè ïðèx > xêðx = xêð çâóêîâûì, à â ðàñøèðÿþùåéñÿ ÷àñòè ïðè ñâåðõçâóêîâûì (ðèñ. 1.5.15).92Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûy ñòàíîâèòñÿ ìåíüøå, ÷åì y4 , òî â çàäàííîì äèàïàçîíåS : S0 > S > Sêð è Sêð 6 S 6 Sâûõ íåïðåðûâíîå ðàñïðåäåëåíèåñêîðîñòè v(x, y) ìîæåò áûòü òîëüêî ïîëíîñòüþ äîçâóêîâûì èëè ïîëíîñòüþñâåðõçâóêîâûì (ïðàâàÿ âåòâü íà ãðàôèêå v(S , Q)).Åñëè çíà÷åíèåçíà÷åíèéÏîëíîñòüþíèå äëÿ âñåõ 0ñâåðõçâóêîâîå6 x 6 xâûõòå÷å-íå óäîâëå-òâîðÿåò ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì (****)èïîýòîìóíåâîçìîæíî,àxñòüþ äîçâóêîâîå äëÿ âñåõíèåv(x, y)ïîëíîðåøå-íå óäîâëåòâîðÿåò óñëî-âèþ íåïðåðûâíîé çàâèñèìîñòè ðåøå-y,íèÿ îò âõîäíûõ äàííûõ, ò.

å. îòv(x, y4 )òàê êàê ðåøåíèåíå ÿâëÿåòñÿïîëíîñòüþ äîçâóêîâûì.Òàêèìîáðàçîì,äîêàçàíî,ïðè çíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðày3ïàçîíå îò 1 äîy÷òîâ äèà-â ñîïëå Ëàâàëÿðåàëèçóþòñÿ ïîëíîñòüþ äîçâóêîâûåòå÷åíèÿ, à ïðè åäèíñòâåííîì çíà÷åíèèÐèñ. 1.5.16. ÔóíêöèÿS(x)äëÿ ñîïëà Ëàâàëÿ(à) è ðàñïðåäåëåíèå ñêîðîñòèäàâëåíèÿp(x, y)v(x, y)(á) è(â) â ñîïëå ïðè ðàçëè÷íûõçíà÷åíèÿõ ïàðàìåòðàyy = y4ïðîèñõîäèò ñâåðõçâóêî-âîå òå÷åíèå â ðàñøèðÿþùåéñÿ ÷àñòèñîïëà.

Ïðè äðóãèõ çíà÷åíèÿõäèàïàçîíà[0, 1]Ëàâàëÿäëÿðàçëè÷íûõèçîäíîìåðíûõ óñòàíî-âèâøèõñÿ òå÷åíèé íåò.Ðàñïðåäåëåíèå äàâëåíèÿñîïëåyçíà÷åíèéyíàõîäèìèçôîðìóëûp(x, y)â(1.5.37),p(xâûõ ) = p0 ïðè ýòîì áóäåò âñåãäà âûïîëíåíî, òàê êàê0ñêîðîñòü v(xâûõ , y) = v óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ (1.5.61) ïðè y2 < y < 1. Íàïîëíîñòüþ äîçâóêîâûõ ðåæèìàõ äàâëåíèå p(x, y) â ñóæàþùåéñÿ ÷àñòè ñîïëàãðàíè÷íîå óñëîâèåóáûâàåò, à â ðàñøèðÿþùåéñÿ âîçðàñòàåò. Äëÿ ñâåðõçâóêîâîãî ðåæèìà ïðèy = y4äàâëåíèåp(x, y4 )óáûâàåò âî âñåì ñîïëå (ðèñ. 1.5.16).Ïðèìåð 1.5.4 (ðàêåòíûé äâèãàòåëü). Ðàññìîòðè줤*******8Ÿ 1.6.

Âèõðåâûå äâèæåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè1.6.1. Óðàâíåíèÿ ÃåëüìãîëüöàÂåðíåìñÿ ñíîâà ê îáùèì óðàâíåíèÿì (1.1.1)(1.1.3) èäåàëüíîé æèäêîñòèè óñòàíîâèì íåêîòîðûå âàæíûå ñâîéñòâà äâèæåíèÿ æèäêîñòåé, ñâÿçàííûåñ âåêòîðîì âèõðÿω.Åñëè ïîëå ýòîãî âåêòîðàω(xi , t)îòëè÷íî îò òîæäå-93Ÿ 1.6. Âèõðåâûå äâèæåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòèñòâåííîãî íóëÿ, òî èíîãäà ãîâîðÿò, ÷òî îñóùåñòâëÿåòñÿ âèõðåâîå äâèæåíèåæèäêîñòè.Ðàññìîòðèì óðàâíåíèå äâèæåíèÿ æèäêîñòè â ôîðìå Ãðîìåêè Ëåìáà(1.1.31).Òåîðåìà 1.6.1.Åñëè äëÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè âûïîëíåíû ñëåäóþùèå óñëî-âèÿ:1) æèäêîñòü ÿâëÿåòñÿ áàðîòðîïíîé â óçêîì ñìûñëå, ò. å.2) ìàññîâûå ñèëû ïîòåíöèàëüíû, ò. å.ωòî âåêòîð âèõðÿρ = ρ(p);f = ∇χ,óäîâëåòâîðÿåò ñëåäóþùèì äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâ-íåíèÿì Ãåëüìãîëüöà äëÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè:∂ω+ ∇ × (ω × v) = 0,∂t∂ω+ ω(∇ · v) = ω · ∇ ⊗ v.∂tH(1.6.1)(1.6.2)Åñëè æèäêîñòü ÿâëÿåòñÿ áàðîòðîïíîé â óçêîì ñìûñëå, òî ìîæíî ââåñòèôóíêöèþ äàâëåíèÿP(p) ïî ôîðìóëå (1.5.9), êîòîðàÿ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ(1.5.8).

Òîãäà ñ ó÷åòîì ïîòåíöèàëüíîñòè ìàññîâûõ ñèë óðàâíåíèå Ãðîìåêè Ëåìáà (1.1.31) ìîæíî çàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:∂v+∇∂tµ|v|22¶+ P(p) − χ + 2ω × v = 0.(1.6.3)Åñëè ê ýòîìó óðàâíåíèþ ïðèìåíèòü îïåðàòîð rot, òî âñëåäñòâèå òîãî, ÷òî äëÿâñÿêîãî ñêàëÿðíîãî ïîëÿϕèìååò ìåñòî òîæäåñòâî rot∇ϕ =0, ïîëó÷àåì âòî÷íîñòè ïåðâîå óðàâíåíèå Ãåëüìãîëüöà (1.6.1).Åñëè èñïîëüçîâàòü ôîðìóëó (ò. 1, (2.4.20)) äëÿ ðîòîðà îò âåêòîðíîãîïðîèçâåäåíèÿ äâóõ âåêòîðîâ:∇ × (ω × v) = ω(∇ · v) + v · ∇ ⊗ ω − v(∇ · ω − ω · ∇ ⊗ v == ω(∇ · v) + v · ∇ ⊗ ω − ω · ∇ ⊗ v.(1.6.4)Çäåñü ó÷òåíî, ÷òî â ñîîòâåòñòâèè ñ ôîðìóëîé (ò. 1, (2.5.19)):1∇ · ω = ∇ · ∇ × v = 0.(1.6.5)2Ïîäñòàâëÿÿ (1.6.4) â (1.6.1), ñ ó÷åòîì îïðåäåëåíèÿ ïîëíîé ïîðèçâîäíîé ïîâðåìåíèdω∂ω+v·∇⊗ω =,∂tdtâ òî÷íîñòè ïîëó÷àåì âòîðîå óðàâíåíèå Ãåëüìãîëüöà (1.6.2).(1.6.6)NÎñîáåííîñòü óðàâíåíèé (1.6.1) è (1.6.2) ñîñòîèò â òîì, ÷òî â íèõ íåâõîäÿò íèêàêèå êîíñòàíòû, õàðàêòåðèçóþùèå ñâîéñòâà æèäêîñòè, à òîëüêîêèíåìàòè÷åñêèå õàðàêòåðèñòèêèvèω.94Ãëàâà 1.

Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçû1.6.2. Òåîðåìû Òîìñîíà è ËàãðàíæàÐàññìîòðèì íåêîòîðóþ çàìêíóòóþ ëèíèþêîîðäèíàòXiLXâ ïðîñòðàíñòâå ëàãðàíæåâûõ(çàìêíóòûé êîíòóð), êîòîðóþ â ïàðàìåòðè÷åñêîì âèäå ìîæíîçàïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:X i = X i (τ ),X i (τ1 ) = X i (τ2 ).τ1 6 τ 6 τ2 ,◦ êîíôèãóðàöèèK◦ýòîìó êîíòóðó ñîîòâåòñòâóåò êîíòóð◦L:à â êîíôèãóðàöèè(1.6.7)K◦◦xj = xj (X i (τ )), êîíòóðτ1 6 τ 6 τ2 ,(1.6.8)L(t):xj = xj (X i (τ ), t),L:L:Î÷åâèäíî, ÷òî â ëþáîé ìîìåíò âðåìåíèτ1 6 τ 6 τ2 .têîíòóðóL(t)(1.6.9)ïðèíàäëåæàò îäíèè òå æå ìàòåðèàëüíûå òî÷êè (ðèñ. 1.6.1).Ðèñ. 1.6.1.

Ìàòåðèàëüíûé êîíòóðÐèñ. 1.6.2. Ïîäâèæíàÿ ïîâåðõíîñòüÒàêîé êîíòóðL(t)Σ(t)è ìàòåðèàëüíûé êîíòóðL(t)áóäåì íàçûâàòü ìàòåðèàëüíûì (èëè ïîäâèæíûì) êîí-òóðîì, ïî àíàëîãèè ñ ïîäâèæíûì îáúåìîìΣ(t),L(t)V (t) è ïîäâèæíîé ïîâåðõíîñòüþêîòîðûì òàêæå ïðèíàäëåæàò îäíè è òå æå ìàòåðèàëüíûå òî÷êè.Âûáåðåì â êà÷åñòâå íåçàìêíóòîé ïîâåðõíîñòèΣ(t),äâèæóùåéñÿ âìåñòåñ ìàòåðèàëüíûìè òî÷êàìè, òàêóþ, êîòîðàÿ èìååò ãðàíèöåé ìàòåðèàëüíûéêîíòóðL(t)(ðèñ. 1.6.2).95Ÿ 1.6. Âèõðåâûå äâèæåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòèÍàçîâåì öèðêóëÿöèåé ñêîðîñòè ïî çàìêíóòîìó êîíòóðóL(t)êðèâîëèíåé-íûé èíòåãðàë âòîðîãî ðîäà (ñì.

ò. 1, (3.3.24)):IΓ(t) =v · dx,(1.6.10)L(t)ãäå âåêòîðíîå ïîëåïàðàìåòðàτêðèâîév(xi , t) âûáèðàåì âäîëü êîíòóðà L(t). Åñëè â êà÷åñòâåL(t) âûáðàòü äëèíó äóãè s, òî ìîæíî ïåðåéòè ê ïîâåðõ-íîñòíîìó èíòåãðàëó ïåðâîãî ðîäà ïî ôîðìóëå (ò. 1, (3.3.30)):ZlΓ(t) = vi (xj (X k (s), t), t)ti (s)ds,dxi.dsti ≡(1.6.11)0Ðàíåå (ñì. ò. 2, ï. 2.9.4) áûëî ââåäåíî ïîíÿòèå ïîòîêà âåêòîðà ÷åðåç íåçàìêíóòóþ ïîäâèæíóþ ïîâåðõíîñòüïîòîê âåêòîðà ñêîðîñòè ÷åðåçΣ(t),Σ(t):â ñîîòâåòñòâèè ñ êîòîðûì îïðåäåëèìZΓΣ (t) =n · ∇ × v dΣ.(1.6.12)Σ(t)Ñîãëàñíî ñêàëÿðíîé ôîðìóëå Ñòîêñà (ò.

1, (3.4.19)), öèðêóëÿöèÿòîðà ñêîðîñòèvïî çàìêíóòîìó ïîäâèæíîìó êîíòóðóñêîðîñòè ÷åðåç ïîäâèæíóþ ïîâåðõíîñòüòóðL(t),ñîâïàäàþò:Σ(t),IΓ(t) = ΓΣ (t) =Γ(t)âåê-è ïîòîê âåêòîðàèìåþùóþ ñâîåé ãðàíèöåé êîí-Zv · dx =L(t)n · ∇ × v dΣ.I(1.6.13)Σ(t)ω,ýòó ôîðìóëó ìîæíîn · ω dΣ.(1.6.14)Èñïîëüçóÿ îïðåäåëåíèå (1.1.32) âåêòîðà âèõðÿïåðåïèñàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì:Γ(t) =L(t)Zv · dx = 2L(t)Σ(t)Âîñïîëüçóåìñÿ òåîðåìîé 2.9.3 èç ò. 2, ï.

2.9.4, èç êîòîðîé ñëåäóåò âûðàæåíèåäëÿ ïðîèçâîäíîé îò ïîòîêà âåêòîðíîãî ïîëÿ, â òîì ÷èñëå èíóþ ïîâåðõíîñòüddtIΣ(t)Z³n · ω dΣ =Σ(t)ω,÷åðåç ïîäâèæ-dΣ.(1.6.15)(ñì. ò. 2, (2.9.35)):´∂ω+ v(∇ · ω) + ∇ × (ω × v)∂tΣÎòìåòèì, ÷òî äëÿ âåêòîðàωâòîðîå ñëàãàåìîå â ïðàâîé ÷àñòè âûðàæåíèÿ(1.6.15) â ñèëó (1.6.5) ðàâíî íóëþ.96Ãëàâà 1. Èäåàëüíûå æèäêîñòè è ãàçûÅñëè ïðîäèôôåðåíöèðîâàòü ïîïîëó÷àåìIdΓd=dtdtt ñîîòíîøåíèå (1.6.14), òî ñ ó÷åòîì (1.6.15)Z³v · dx = 2´∂ω+ ∇ × (ω × v)∂tdΣ.(1.6.16)ΣL(t)Îäíàêî, â ñèëó óðàâíåíèÿ Ãåëüìãîëüöà (1.6.1), ïîäûíòåãðàëüíîå âûðàæåíèåâ ïîâåðõíîñòíîì èíòåãðàëå â (1.6.16) òîæäåñòâåííî îáðàùàåòñÿ â íóëü. ðåçóëüòàòå ïðèõîäèì ê ñëåäóþùåé òåîðåìå.Òåîðåìà 1.6.2 (Òîìñîíà).Åñëè äëÿ èäåàëüíîé æèäêîñòè âûïîëíåíû ñëå-äóþùèå óñëîâèÿ:1) æèäêîñòü ÿâëÿåòñÿ áàðîòðîïíîé â óçêîì ñìûñëå;2) ìàññîâûå ñèëû ïîòåíöèàëüíû,òî öèðêóëÿöèÿ ñêîðîñòè ïî ëþáîìó çàìêíóòîìó ïîäâèæíîìó êîíòóðóíå çàâèñèò îò âðåìåíè:dΓ(t) =dtL(t)(1.6.17)0,Iò.

å.v · dx = const,Γ=∀t > 0.(1.6.17à)L(t)Çàìå÷àíèå 1.6.1. Óòâåðæäåíèå òåîðåìû ñïðàâåäëèâî òîëüêî äëÿ ñëó÷àÿ◦íåïðåðûâíûõ äâèæåíèé æèäêîñòè, â ñëó÷àå æå ðàçðûâíûõ äâèæåíèé èçâK,Kíàïðèìåð ïðè íàëè÷èè ñêà÷êîâ, öèðêóëÿöèÿ ñêîðîñòè ìîæåò ìåíÿòüñÿ.Íàïðèìåð, åñëè çàìêíóòûé êîíòóðòî÷êåML(t)ïåðåñåêàåò ïîâåðõíîñòü ðàçðûâà(ðèñ.

1.6.3) è â ýòîé òî÷êå ñêîðîñòèt0çàìêíóòûé â ìîìåíò âðåìåíèêîíòóðL(t0 )v(M+ )èv(M− )Σ0âðàçëè÷íû, òîìîæåò îêàçàòüñÿ íåçàìêíóòûìâ äðóãîé ìîìåíò âðåìåíèt 6= t0 .Ê íåçàìêíóòûì êîíòóðàì òåîðåìàÒîìñîíà íå ìîæåò áûòü ïðèìåíåíà èöèðêóëÿöèÿΓïî òàêîìó êîíòóðó íåáóäåò ïîñòîÿííîé.Ñëåäñòâèåì¤òåîðåìûÒîìñîíàèâôîðìóëû (1.6.14) ÿâëÿåòñÿ óòâåðæäå-íåâîçìóùåííîé àòìîñôåðå 2; ñëåä 3 çà òå-íèå î ïîñòîÿíñòâå ïîòîêà âåêòîðà âèõ-ëîì âîçìóùåííàÿ îáëàñòü, îòäåëåííàÿ îòðÿ ÷åðåç ïîäâèæíóþ ïîâåðõíîñòüÐèñ.

1.6.3.Ïðèìåðäâèæåíèÿòåëàíåâîçìóùåííîé ïîâåðõíîñòüþ ðàçðûâàöèðêóëÿöèÿ ïî êîíòóðóñòîÿííà∀t > 0,L1à ïî1Σ0 ;Zâ îáëàñòè 2 ïî-L0ω · n dΣ = const íåò∀t.Σ(t):(1.6.18)Σ(t)Òåîðåìà 1.6.3 (Ëàãðàíæà).àV (t)Ïóñòü âûïîëíåíû óñëîâèÿ òåîðåìû Òîìñîíà, ïîäâèæíûé îáúåì â êîíôèãóðàöèèK(t),äâèæóùèéñÿ íåïðåðûâíîè ñîäåðæàùèé îäíè è òå æå ìàòåðèàëüíûå òî÷êè, òîãäà åñëè â ìîìåíò97Ÿ 1.6. Âèõðåâûå äâèæåíèÿ èäåàëüíîé æèäêîñòèt0â îáëàñòèíå áûëî ïðèHV (t0 )t 6 t0íåò âèõðåé, ò. å.Ïóñòü â ìîìåíòt0â îáëàñòèω = 0,òî èõ íå áóäåò è ïðèV (t0 )íåò âèõðåé, ò. å.ω =t > t0 ,è0, òîãäà,ñîãëàñíî ñëåäñòâèþ (1.6.18) èç òåîðåìû Òîìñîíà, ïîòîê âåêòîðà âèõðÿ ÷åðåçΣ(t),ëþáóþ ïîâåðõíîñòüïðèíàäëåæàùóþV (t),ðàâåí íóëþZω · n dΣ = 0(1.6.19)Σ(t)t > t0 è t 6 t0 íåïðåðûâíîãî äâèæåíèÿ îáëàñòèV (t).