Гольденберг Л.М. и др. - Цифровая обработка сигналов (Справочник), страница 15

Модификации эквивалентной схемы ПНДС аналогичны модификациям ЭС ПВДС (см. рис. 2.23) и описаны в (2.8). 2.5.7. Многократные нисходящие дискретные системы Многократная нисходящая дискретная система, состоящая из двух подсистем, показана на рис. 2,30, Первая подсистема содержит дискретный фильтр с передаточной функцией Н,(г) = ~ аь уз †(где з — ехр(1уоТ) и ау,у — отсчеты у — О импульсной характеристики фильтра), работающий с интервалом дискретизации Т, на выходе которого стоит КЧД, уменьшающий частоту днскретиза"ни выходного сигнала в упу раз. Вторая подсистема содержит фильтр с пе- 77 редаточной функцией Н!(г ) = ~ а!,,г-"!!! (где а!,; — отсчеты импульсной ха1=о рактеристнки фильтра), работающий с интервалом дискретизации т!Т, на выходе которого стоит КЧД, уменьшающий частоту дискретизации в та раз. В результате формируется выходной сигнал МНДС г»(тТ') =г»(чт!т2Т) с периодом дискретизации Т'=т!т»Т.

' /7Ы'исатама 1 Г 71 /7а!7саса7ама т77 Рис. 2.80 Е-преобразования выходного и входного сигналов МНДС (см. рис. 2.30) связаны соотношением а!в — ! т! — ! ! 2 !! — ! 2 Я и+т! Р!! ) !!+!, р ~ х 1*" "Ч= — 2 у х(~~ "' '~!и,(*. ' ')х тт тз !!=О Р=О, ХН, г"' е (2.56) Спектры выходного и входного сигналов МНДС связаны соотношением, получаемым из (2.56) подстановкой г=ехр(1!оТ): ж,— ! т! — 1 !»! Т+! 2а и+т! Р т1'тз 1!!=о р=о ХНт е ! !» Т+\ 2л 1 О) l»! Т+! 2п Н, е Эквивалентная схема ЭС1, сводящая МНДС к простейшей НДС, показана на рис. 2.31. Схема состоит нз эквивалентного фильтра Н», работающего на частоте дискретизации входного сигнала МНДС, и КЧД, уменьшающего частоту дискретизации выходного сигнала х(п7!,«, РГа77, ° 'Йтът277 р(ат) эквивалентного фильтра в т= и (х/ тттх Р!я! ' 2 77 (га!!с!4 =т!т! раз.

Передаточная функция эквивалентРис. 2Л ного фильтра в ЭС1 имеет вид Н*(г) =Н! (2) Нз(гт') (2.57) Импульсная характеристика 7!»! =7!»((Т) эквивалентного фильтра в ЭС! определяется как "г=Х у=о где а!, « — отсчеты импульсной характеристики фильтра первой подсистемы; (2.58) ( а2 11,„при )=О, т!, 2т!, ..., а ! О при других 1, 73 (2.59) „де иа — отсчеты импульсной характеристики фильтра второй подсистемы. Уравнение (2.58) определяет импульсную характеристику Ь~~ эквивалентного фильтра в ЭС1, работающего на частоте дискретизации входного сигнала МНДС, как свертку импульсной характеристики аь, л=О, 1, 2, ..., фильтра первой подсистемы и вспомогательной импульсной характеристики а'и в=О, 1, 2, ..., ' образуемой из импульсной характеристики аз, ~ фильтра второй подсистемы по алгоритму (2.59), т. е.

путем ввода (т~ — 1) -го нулевого отсчета между каждой парой отсчетов характеристики аз, Алгоритм определения импульсной характеристики ЭС МНДС аналогичен соответствующему алгоритму для МВДС и может иллюстрироваться примером 2.20. Выходная последовательность г~(,"лт1т,Т) определяется уравнением, описывающим ЭС МНДС во временнбй области: чт,т, г.*(ъ т1т, Т) = ~, Ь~х.(чт1 та Т вЂ” 1Т), и=О, 1, 2,..., (2.50) 1=0 где Й'и 1=0, 1, 2, ..., — импульсная характеристика эквивалентного фильтра, определяемая (2,58). Пример 2.21. Рассмотрим качественный пример, показывающий, как преобразуется спектр входного сигнала в МНДС 1см. рис. 2.30), использующей не- 1К Рис.

2.32 79 М, рекурсивные фильтры с передаточными функциями Н~(г) = 2 аь«з-«и Н~(г') = «=о Л'р = ~~ ег,«(г')-«(где и'=и ) и линейными фазовыми характеристиками при т~= «=о 2 и т«=2. Подобные системы могут решать, например, задачу выделения из сигнала с широким спектром, занимающим диапазон [О, и/Т), узкополосного сигнала с шириной спектра «««т,тзТ с одновременным понижением частоты дискретизации выходного сигнала по отношению ко входу в т=т,тг раз (см. равд. 7). На рис. 2.32,а условно показан модуль спектра входного сигнала х(аТ) системы (см. рис. 2.30), Спектр входного сигнала периодичен с ~вето.

той ви=2и~Т. Амплитудно-частотная А~(в) и фазочастотная «р«(в) характери- стики фильтра первой подсистемы, периодичные с той же частотой в„=2«т~Т, показаны на рис. 2.32,б и в соответственно. Для фильтра второй подсистемы Аз(в) и «рг(в) изображены на рис. 2.32,г и д соответственно. Эти характери- стики периодичны с частотой дискретизации в'я=2«г1(т,Т) =«г!Т. Преобразуем МНДС в ЭС1 (см.

рис. 2.31). Передаточная функция эквиваи, «ч, лентного фильтра в соответствии с (2.57) Н'(з) =(г аь«г-«) ( г аь«з- «), а «=о" «=-о импульсная характеристика Ь*ь определяемая (2.58), есть свертка последова- тельностей (аьо, а«л, ..., аьм ) и (азд', О; азл', 0; ...; аки,-«', 0; а«и ). На рис. 2.32,е и ж изображены АЧХ А*(в) и ФЧХ «р*(в) эквивалентного фильт. ра. Из (257) видно, что А"'(в) =А«(в)Аг(в), а «р~(в) =~р«(в) +ф~(в). В резуль- тате фильтрации входного сигнала эквивалентным фильтром его выходная по. следовательность р(аТ) имеет спектр, определяемый АЧХ и ФЧХ эквивалент- ного фильтра Р(е«вт) =Х(еивт)Н(е«вт). Так, если )Х(е'ь«т) ) =сопз1 для ве:— я[0, «т«Т~, модуль спектра Р(е'вт) на выходе эквивалентного фильтра имеет ту же форму, что и А*(в).

В результате уменьшения частоты дискретизации выходного сигнала экви- валентного фильтра в т=т«тз 4 раза спектр выходного сигнала системы в основной полосе частот ве[0, «г«'(4Т)1 всоответствии с (2.36) есть сумма че- тырех составляющих: «а г+«1 — «) , зп г«+г) 4 «=о = — 1 Р+ ( е' ь' Т) + Р, ', е 1 т — и Составляющую спектра при 1=0 можно рассматривать как спектр полезного сигнала. Она представляет собой составляющую спектра входного сигнала Х0(е'0«т) [см. (2.37)], измененную в соответствии с АЧХ и ФЧХ эквивалентного фильтра. Модуль спектра составляющей Ро(е'вт) показан на рис.

2.32,з. Составляющие спектра Р-,(.), Рэв( ) и Р-г( ) следует рассматрчвать как помехи, искажающие спектР Ро(е'вт) полезного сигнала. На ис. 2.32, и, к, л показаны соответственно модули спектров Р-«( ), Р-'г( ) и г( ). В полосу частот попадают составляющие Х ~( ), Х+г(.) и Х-~( ) спектра входного сигнала, измененные в соответствии с АЧХ и ФЧХ эквивалентного фильтра на данных интервалах (см. рис. 2.32). Эквивалентная схема ЭСП МНДС, сводящая МНДС к ЭС ПНДС (см.

2.5.6), получается в результате преобразования уравнения (2.60), описывающего ЭС1 МНДС (т. е. простейшую НДС), к виду 30 = П т», и КЧД, уменьшающий частоту дискретизации ~х фильтра и-й подсистемы в т„раз. выходного сигнала ржлявмг Г ' ПОбшсл~ъар-т /у//гьь;п7„! п~п, ) ! ПЭйсгпзмар ~ Рис. 2.33 Передаточная функция эквивалентного фильтра в ЭС1 МНДС определяется аналогично (2.57): я Н'":(г) — — Ц Н. !г ' и).

в=! И»!пульсная характеристика й*ч, 1=0, 1, 2,..., эквивалентного фильтра в ЭС1 МНДС определяется аналогично (2.58) как свертка вспомогательных импульсных характеристгк й".,;: ! !!,!' 2,!' ' ' ' 'йр, !» (=!=О, 1, 2...; х=1, 2, ., р, где т т й „, при !'=О, —, 2— Х х, 1 0 при других 1; „,» — импульсная характеристика фильтра х-й подсистемы. ~1 ~~~Š— ! г*(»~т та Т) = К~~~ ~~ й» . х((т — 1) т1 тз Т вЂ” йТ) = Ж1 з12 — ! Р— Х У йь 'х ((т 1? т1 т2 т йт)' а=а у=а В качестве ЭСН МНДС можно рассматривать схему, показанную на рис 2.28,6, где т=т1т».

Для определения передаточной функции Н*»(г™~ 1) фильтра в Й-й (й= =О, 1, ..., т1т» — 1) параллельной ветви ЭСП необходимо вначале определить передаточную функцию Н*(г) эквивалентного фильтра в ЭС1 по (2.57). Тогда Н*» (г"'г»») определяется по формуле (2.46), в которой т=т,та, а в качестве Н( ) надо рассматривать Н*(г) — передаточную функцию эквивалентного фильтра в ЭС1 МНДС.

Отсчеты импульсной характеристики й"»,, 1=0,1,2,..., дискретного фильтра в й-й (1=0,1,...,т!тг — 1) ветви есть отсчеты импульсной характеристики Иь 1=0, 1,2, ..., эквивалентного фильтра в ЭС1, определяемой (2.58), взятые через т!тз — 1 отсчет (й*»,;=й*»~!,„,„, !'=О, 1, 2, ...). Многократная нисходящая дискретная система, состоящая из р подсистем, показана на рис. 2.33. Каждая х-я (м=1,2,,р) подсистема содержит дис. кретный фильтр с передаточной функцией Н,(г~~нх), где т=- П т„, (»и= г =! Передаточная функция фильтра в я-й (я=0,1,...,т — 1) ветви ЭСП определяется аналогично (2.46), где в качестве Н( ) в правой части уравнения надо рассматривать передаточную функцию эквивалентного фильтра в ЭС1 МНДС.

3. ЭФФЕКТЪ| КВАНТОВАНИЯ СИГНАЛОВ В ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРАХ 3.1. ПОЗИЦИОННЫЕ СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ 3.1.1. Основные определения Таблица 3.1 Оеиоваиие СС Символы О, ! 8 ! О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 10 ! О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 16 ~ О, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А„ В, С, 11, Е, Г Любое число А можно представить в виде разложения по степеням основания ПСС: А = +-(а„р" + а„, р~ ~ + ... + ат р'+ а, рв+ +а,р '+...+а р ~+...), где а; — символы, используемые в данной ПСС. Число А в СС с основанием р записывается в виде последовательности символов а,: (3.1) А<л1 — ~аи а„,...а, ае, а — | а- т ° (3.2) Каждый символ а; занимает одну позицию в записи числа, называемую разрядом.

Коэффициент р' при символе а; называют весом (весовым коэффициентом) |-го разряда. В табл. 3.2 приведены значения весовых коэффициентов для двоичной СС (р=2). Под системой счисления (СС) понимается способ представления чисел с помощью символов, имеющих определенное количественное значение. Позиционной (ПСС) называется система счисления, в которой количественное значение каждого символа определяется еще и местом (позицией), занимаемым данным символом в записи числа. Основанием р позиционной СС называется число различных символов, иснользуемых в данной ПСС. В табл. 3.1 приведены символы, используемые в двоичной (р=2), восьмеричной (р=8), десятичной (р=!О) и шестнадцатиричной (р=16) системах счисления.