Гольденберг Л.М. и др. - Цифровая обработка сигналов (Справочник), страница 13

2.15 Рис. 2.17 Операция, выполняемая КЧД, часто называется прореживанисм, а последовательность х (чТ') на выходе КЧД вЂ” прореженной. На рис. 2.17 показаны последовательности х(пТ) и х*(чТ') на входе в выходе КЧД при уменьшении частоты дискретизации в 4 раза (т=4; 1=2). 2-п - реобразования выходного и входного сигналов КЧД связаны соотношением ~2.7, 2.91 т — 1 !2п — й 1 12п— ХЬ(г')=г — ~~ е Х'~ге ~, А=О, 1,..., т — 1, (2.33) >и г=о где я=ехр (1 о>Т); з'=г '= ехр (1 о>тТ), а Х1з) и Х" х (з) — я-преобразования решетчатой той функции х(ОТ) и прореженной смещенной решетчатой функции х (~Т'+АТ).

3 — 89 65 спектр, что и входной сигнал. Спектр выходного сигнала периодичен со «старои» частотой дискретизации и'я=2>ч(Т', а не с частотой с>х=2п/Т, как это Обычно имеет место для сигналОВ, интеОВал дискретизации которых равен Т. На рис. 2.1б условно показаны модули спектров входного н выход: Ого схгналов ЭЧД прн т=3 В практических случаях, как правило, выбирают 1=О. Прн этом связь между г-преобразованиями выходного и входного сигналов имеет вид т — 1 12л — ! Х" (г') = — ~ Х ге !и !=о (2.34) Соответствующее соотношение для спектров выходного и входного сигналов, получаемое из (2.34), имеет вид — мт+ 2я — '! х'!"" '~= — В х [. 7П ! О (2.35') или А !*"""~= — т, х (, ( ")).

(2.35") Из (2.35) видно, что спектр выходного сигнала есть сумма спектров входного сигнала, сдвинутых относительно друг друга по оси частот а на величину 2г!/(и!Т). На рис. 2.18 условно показаны модули спектра входного сигнала (рис. 2.18,а) и составляющих спектра выходного сигнала (рис. 2,18,б) КЧД пря уменьшении частоты дискретизации в 3 раза (т=3). 1,) Б,а! 7<!тпТ 2Яп7Т 42т)2тт? Бт!тпТ=Гят 4 Р . гав В основной полосе частот О!Он[О, и!(а!Т)] спектр выходного сигнала КЧД определяется как [2.1 Ц *1,~ ч ' 2 ~ ~,'" +'' ' [ю'1) л' !=о [ — "'! 2 !мт+12п — ( 2 1 !мт — 12п'— Х'+ е + ~ Х2! ! е 1=0 1=1 (2.36) где Х~(е'!От) — 1-я составляющая спектра входного сигнала, занимающая полосу Г! ч астот [ в [ ен [ 1 —, (1-[- 1)— тТ л1Т „! ш — 1 т — 1 Х ( е! и т) = ~ Х! ( е " т) = ~ (Х+ ( е' и т) ' Х, ( е' а т)), (2 37) 1=0 , 1=0 66 и Л Х (е ) при ~в)~я 1 — Т (1~ 1) Х [еь»г) 0 при !в(Нй —, (1+1)- — 1, тТ тТ 1 а Х,+(е'ат) и Х~-(ецаг) соответствУют веРхней (В)0) и нижней (и<0) полосам 1-го спектра.

В формуле (2,36) [.) означает наибольшее целое число, не превышающее заданного числа, верхний индекс «+» (Х-'~) соответствует четным 1, а «минус» (Х вЂ” !) — нечетным 1. Смысл формулы (2.36) состоит в следующем. Если основной спектр входного сигнала КЧД условно разбить на лт составляющих, занимающих т полос на оси частот шириной п~(тТ) [см. (2.37), (2.38)1, то после уменьшения частоты дискретизации в лт раз в основную полосу частот ма=[О,п/(тТ)) выходного сигнала попадают прямые спектры Х'~(.) четных составляющих (1=0,2,...) и инверсные спектры Х ~( ) нечетных составляющих (1=1„3, ...) входного сигнала.

На рис. 2.18 показана графическая интерпретация формулы (2.36) при уменьшении частоты дискретизации в 3 раза (т=З). Спектр входного сигнала условно разбит ыа т=З составляющих (Х~о, Х+ь Хьз), занимающих соответственно частотные диапазоны )ы)= ~0, — ~, ~ — "-2 — ~, ~2 —, — ~. ' ЗТ ' ЗТ ЗТ ' ЗТ ' Т После уменьшения частоты дискретизации в 3 раза в соответствии с (2.36) в основной полосе частот спектр выходного сигнала имеет внд .

2я ( ~ а'г+~ — '1 Хв( 1м~т) Х+(е!мт) ~ ~~~ ~е ) "-,("""И (2.39) Условие (2.39) соответствует обобщенной теореме Котельникова, устанавливающей связь между шириной спектра и частотой дискретизации сигнала [1.5]. Выражение для спектра выходного сигнала КЧД (2.35) с помощью теоремы смещения преобразуется к виду [2.111 т — 1 о» Хв( ~от~) 'У ~~ ( Т) — ьвлт т с=о а=о (2.40) где х~ (п Т) = х (пТ) ехр ( — 12п — и) .

г Формуле (2.40) соответствует эквивалентная схема КЧд, показанная на Рис. 2.19. т. е. в основную полосу частот а~[0, и/ЗТ1 выходного сигнала попадают составляющие Х+а( ° ), Х+з(.) при 1=0,2 и Х-,(.) при 1=1. Наложение спектров при уменьшении частоты дискретизации отсутствует, если спектр входного сигнала занимает только одну нз полос частот Т) 2.5.4. Простейшие восходящие дискретные системы Простейшая восходящая дискретная система представлена на рис. 2.20,а Входной дискретный сигнал х(тТ) =х(лиТ), о=0„1,2, ..., с интервалом дискретизации Т'=лтТ поступает на ЭЧД, увеличивающий частоту дискретизации в т раз по алгоритму (2.30).

Выходной сигнал у(пТ), в=0,1,2,..., ПВДС получается в результате обработки сигнала х" (пТ) дискретным фильтром с передаточной функцией О(г), г ехр(цоТ), н импульсной характеристикой Н~= =Н(1Т), работающим на «высокой». частоте дискретизации выходного сигнала (с интервалом дискретизации Т). Л-преобразования выходного и входного сигналов ПВДС связаны соотношением )л() Л( т),.() (2.41) Эквивалентная схема (ЭС) ПВДС показана на рис. 2.20,б. Входным сигналом ЭС является входной сигнал ПВДС х(тТ') с интервалом дискретизации ЭГ Пблу~ ! уь7 Т.

Г ! Ркс. 2.20 68 Т'=тТ. Эквивалентная схема содержит ги параллельных ветвей, в каждой из которых находится дискретный фильтр с передаточной функцией Н~ь(з ), й= =0,1, ...,т — 1, работающий с интервалом дискретизации входного сигнала Т'. Выходные сигналы фильтров представляют собой дискретные последовательности с интервалом дискретизации Т'. На выходе дискретного фильтра 1г-й (з= =0,1,...,т — 1) ветви находится элемент задержки на к интервалов Т (интервалов дискретизации выходного сигнала ПВДС). Сдвинутые относительно друг друга последовательности уь(ттТ1-ИТ) складываются в сумматоре, образуя выходной сигнал ПВДС у(лТ). Преобразование ПВДС в ЭС (см. рис.

2.20) осуществляется следующим образом [2.12, 2.9]. Выходную последовательность ПВДС у(пТ) с периодом дискретизации Т можно представить в виде суммы т последовательностей уь(ттТ+йТ) с периодом дискретизации Т'=тТ, сдвинутых относительно друг друга на интервал Т (рис.

2,21): т — 1 т — 1 у(пТ) = ~,'.'фьуь(т Т'+й Т) = ~ ~аул(ъ т Т+ИТ), (2,42) ~о ~=а где ~=[и/т1, "~а=1 при к=в(гпог(т) и ~ь=0 при других л; [А| означает целую часть числа А; А (гпог! В) означает число А по модулю В. у(п 71 Ь(~т?1 !уг( гп у (ЧтТ-(т-/Р7 Рис. 2.21 Таким образом, отсчет последовательности у(пТ) для фиксированного и определяется только одной из последовательностей уь(~тТ+ЙТ) при й= .

=п(гпог! т). Поскольку р (пТ) = ~ йг х' (п Т вЂ” 1 Т), г='з (2.43) где гп — отсчеты импульсной характеристики фильтра ПВДС с передаточной функцией Н(г), а уь(ттТл;йТ)=р((ът-~-й)Т), из (2.43) имеем тт-1-ь иь (е т Т+ йТ) = ~ й; х* (ч т Т вЂ” (1 — й) Т) . (2.44) 69 Так как х'(лТ) ФО только при 1=Ь, и+Ь, 2и+Ь,, а х '(ттТ) =х(тпТ), из (2.44) получаем уь (т и Т+ ЬТ) ~ ~~, Ьь+1,„х ((~ — 1) и Т). (2.45) Т=е Уравнение (2.45) можно интерпретировать следующим образом: каждая из последовательностей уь(етТ+ЬТ) есть результат фильтрации входного сигнала ПВДС с дискретным фильтром с импульсной характеристикой Ь*~;= =Ьь+т, 1=0, 1, 2, ...

Уравнение, описывающее ЭС во временнбй области, получается после подстановки (2.45) в (2.42): и — 1 р(пТ)=~ рь Ьь,„х(( — 1) и Т), (2.46) ь=е у=о где ~=[п1и); ~~=1 при Ь=(п)той и и рь=О при других Ь. Уравнению (2.46) соответствует ЭС ПВДС (см. рис. 2.20,б). Отсчеты импульсной характеристики Ь".», ь 1'=О, 1, 2, ..., дискретного фильтра в Ь-й (А=О, 1, ..., и — 1) ветви ЭС есть отсчеты импульсной характеристики Ьь 1=0, 1, 2, ..., фильтра в исходной ПВДС (см. рнс.

2.20,а), взятые через т — 1 отсчет: ,и — 1; 1=0,1,2, Рис. 2,22 Передаточная функция фильтра в Ь-й параллельной ветви ЭС определяется как (2.47~ где Н(а) — передаточная функция фильтра в исходной ПВДС. 70 Ьь . = — Ьа+Т~, Ь = О, 1, На рис. 2.22 показаны отсчеты ПВДС (и=4) н отсчеты импульсных параллельных ветвях ЭС. импульсной характеристики Ь~ фильтра характеристик фильтров Ь"~; в четырех 11ример 2.1У.

Рассматривается ПВДС (см. Рис. 2.20,и), содержащая ЭЧД, увеличивающий частоту дискретизации входного сигнала в т=4 раза, и дискретный фильтр, построенный по нерекурсивной структуре с передаточной функ- 14 цией Н(3) = Х Ьра р. р=:О Эквивалентная схема ПВДС (см.

Рис. 2.14,6) содержит четыре параллельные ветви (а=О, 1, 2, 3). Уравнение, описывающее ЭС и получаемое из (2А6), имеет внд у (и Т) = ~~~~,.Ц ~~ Иь+ 7 х ((ч — 1) ЗТ) . а=а у=о Передаточные функции фильтров в ветвях ЭС определим из (2.47). Для фильтра в первой ветви (1=О) имеем 3 ( !2а — ) 14 3 — 12п р НО(2 )= Х Н ~ хе / = — ~~! 11рз ~,е 4 1=о 4 р=о 1=О Поскольку — — Р 14 при Р=О, 4, 8...,; ~~ е 1=О О при других р, получаем 3 НО(34) =Х 641 1 ° 1=0 Для фильтра во второй ветви (а=1) 3 12м — ( 12я — ~ 1 ' . 1 Ф 4 4 Н! (34) = г — Я е Н ! г е 4 1=О !2л — (р — Ц 3 1 р~! ~ 4 ~ч-~ ~1 р=з 1=0 1=0 Аналогично определяются передаточные функции фильтров в третьей и четвертой ветвях (1=2 и Й=З); з 2 Н'(34)=Х "2~413 1 Нз(34)=Х "31-41 а 1=0 1=0 При нерекурсивной структуре исходного фильтра в ПВДС, для которой отсчеты импульсной характеристики являются козффициентами передаточной функции, передаточные функции фильтров в ветвях ЭС легко определяются и без использования (2.47) па формуле Р Н 1 т) ~~ ! — т! (А!АР!) 1'=0 где Л' — порядок передаточной функции исходного фильтра ПВДС (см.

Рнс. 2,22) При Рекурсивной структуре исходного фильтра в ПВДС передаточные функ- ""и Фильтров в ветвях ЭС определяются либо по (2.47), либо с помощью алгоритма, описанного в 12.121. 71 Модификации эквивалентной схемы ПВДС 12.81 показаны на рнс. 2.23. В структуре на рис. 2.23,а введение (т — 1) сумматора на два входа приводит к использованию элементов задержек только на один интервал дискретизации Т. В структуре на рис. 2.23,8 (е холичутаиионной структуре) коммутатор играет роль множителя ~ь в (2.46), подключая последовательно через интервал Т выходы фильтров в ветвях ЭС к выходу схемы, начиная с ветви для А=О.