Гольденберг Л.М. и др. - Цифровая обработка сигналов (Справочник), страница 11

а) Н~(г) =(1 — г-')Д1 — 0,3г-'); полюс г011=0,3 (см. рис. 2.8); 1г<'~1!<1; фильтр устойчив. б) Нл(г) =(1 — г-')/(1 — 2г-') полюс г<'11=2 (см. рис. 28); !г<'>~~)1; фильтр неустойчив; 'в) Нз(г)=(1 — г з)Я1 — '1,8г '+097г '); полюсы гр~1=09+104; г<')з=09— — 10,4 (см. Рис. 2.8); !газ~~ ~ = )гса1з((1; фильтР Устойчив; г) Н4(г) = (1 — г-')/(1 — 2,4г-'+1,69г-з); полюсы г<'>1 — — 1,2+10,5; гс')а=1,2— — 10,5 (см. рис. 2.8); !гав'>1! =)гс'1з!>1; фильтр неустойчив; д) Н(г) =(1 — г- )/(1 — г — '). Так как Н(г) =1+а — ' фильтр устойчив.

Неустойчивый фильтр, безусловно, неработоспособен в том случае, когда входной сигнал действует неограниченно долго, так как рана или поздно выход- ной сигнал перестает зависеть от вход- ,6 ного. Он работоспособен и практически используется в тех случаях, когда вход- ав ич ной сигнал действует в течение ограни- гр г, П,Х вЂ” — —,— ченного интервала времени.

Например, 1(ь ~п ~ ! а> цифровой интегратор с передаточной функцией Н(г) =1/(1 — г-'-) (эта функ- йУ йУ~ Г (~ 2 с' цня ИМЕЕТ ПОЛЮС г=1, т. Е. фИЛЬтр НЕуС- тойчив) вполне работоспособен, если входной сигнал х(пТ) действует при 0~~ -сп <Л~ — 1, после чего следует сброс, т. е. восстанавливаются нулевые начальные условия. Рис. 2.8 2.3. ЧАСТОТНЫЕ И ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФИЛЬТРОВ 2.3.1. Частотные характеристики Комплексные частотные характеристики представляют собой функции, полученные в результате подстановки з=е1мт в передаточные функции (2.3) и (2.4): !Ч вЂ” 1 Х Ь 1е 1=О Нр(е "т)-— (2.11)- М вЂ” 1 1+ ~)', а1е 1=! Л! — 1 Н (е'" т) = ~ Ь,е — ''" т 1=о (2.12) Л! — 1 В 'и — 1 в ~ Ь1сов!аТ + '>' Ь1в1п1и Т !=О 1=О М вЂ” 1 2 'М вЂ” 1 ' 2 г~с ь! т -~-! тс йп! т~ У=о) '1, 1'=О Л вЂ” 1Л! ! '5! Ь~ Ь| сов (т — й) в Т ж=о Я=О м !м ~~~~ ~ар а, сов(р — з) в Т Ар (в) = ] Н, ( е! " т) ) = (2.13'~ р=о 8=0 где аО=1; Л вЂ” 1 Ь1в1П1О! Т 1=о <рр (!О) = агц (Нр ( е! е т)] = — агс!3 Л! — 1 ~; Ь! сов1го Т 1=о М вЂ” ! ~', ау в1п 1' а Т !=О + агс13 —— М вЂ” ! ~ау сов1ш Т у=о 55 (2.13н) Модуль комплексной частотной характеристики А(а)= )Н(е!О1') ), называемый амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ) фильтра, определяет амплитуду выходного сигнала устойчивого фильтра в установившемся режиме при входном сигнале х(пТ) =е! "вг.

Аргумент комплексной частотной характеристики !р(О1) =агй;~Н(е1ет)], называемый фаза-частотной характеристикой (ФЧХ) фильтра, определяет фазу выходного сигнала устойчивого фильтра при входном сигнале х(пТ) =е! "ат. Очевидно, что для фильтров с вещественными коэффициентами справедливы соотношения: Г(м — ! 2 Ф вЂ” ! 3 Ан(и) =!Нн( е'" Г)[= $I ! ~~' Ь! сов(го Т + ~ Ь! в!и!в Т , !=о !=о у Л~ — 1Ф вЂ” 1 ~ Ь,пЬь сов(гп — й) э Т; Й=ои=о (2.14') Ф вЂ” 1 ~, Ь!в(п!шТ урн (го) = аг5 [Н ( е' )] = — агс!д ~~т Ь! сов!го Т ~=о (2.14" ) Групповое время замедления (ГВЗ) т (а) = — г! ф/На (2.15) — 1 т(ш) = [(1 — 0,5совш Т) 0,5Т созга Т вЂ” 0,5в!пш Т0,5 Тяпа Т!.

Ав (го) Пример 211. Пусть Н(г) =1+05 г-' и х(пТ) =яппиТ, го=2п2000 с-', Т=!/8000 с. Иа (2.12), (2.14) и (2.15) для установившегося режима получаем: утст (п Т) = А (а) в!и [иго Т+ ~р (в)] = [/1,25 в!п (и и!2 — агс!50,5); т=Т~4=81,25 мкс. На рис. 2.9,а изображена структурная схема фильтра с передаточной функцией Н(г) =1+0,5г — ', на рис.

2.9,6 — временные диаграммы х(пТ), у(пТ) при нулевых начальных условиях н уг„(пТ), построенные по данным примера 2.11. Устройства цифровой обработки способны обрабатывать лишь аналоговые сигналы с ограниченным спектром (см. 1.1.2). Если частота дискретизации аналогового сигнала выбрана в соответствии со значениями го~ „; и а~ „(см. 56 равно времени задержки в установившемся режиме выходного сигнала фильтра относительно входного сигнала х(пТ) =е'"ат. Пример 2.9. Пусть Н(г) =2+0,5г-' — г-'. Из (2.12), (2.14) н (2.15) получаем: Н(с~о'т)=2+0 5е 1вт е — !2мт ° А (а) = [~(2 -!-0,5 сов ш Т вЂ” сов 2 го Т)з+ (0,5 в!и го Т вЂ” вш 2 ш Т)з; 0,5в1пго Т вЂ” в!п2го Т ~р (го) = — агс!д 2+0,5совгоТ вЂ” сов2го Т 1 т (го) = [(2+ 0,5-соз в Т вЂ” сов 2 в Т) (0,5 Т сов го Т вЂ” 2 Т сов 2 а Т)— Ав (о)) — (О, 5 в1п го Т вЂ” в!п 2 го Т) ( — О, 5 Тяпа Т+ 2 Т в!и 2 гв Т) !.

Пример 2.10. Пусть Н(г) =1!'(1 — 0,5г-'). Из (2.11), (2.13) и (2.15) получаем: Н 1 1 — 0,5е 1 А (го)— ~(1 — 0,5 созга Т)з+ (0,5япв Т)з 0,5в!пвТ <р (го) = агс15 1 — 0,5 совы Т 1.1.2), то характер частотных характеристик в диапазоне частот от 0 до год/2» 4Т полностью определяет изменение спектра аналогового сигнала, полученного после цифро-аналогового преобразования выходного сигнала фильтра. х(а?7 тгт ~т з у(а П ,'атг -Г5~ 1 г 7 а) Рп.. 2.Р 2.3.2.

Основные свойства частотных характеристик. Еормировка частоты Из формул (2.11) — (2.15) следуют основные свойства частотных характеристик фильтров с вещественными коэффициентами. 1. Все частотные характеристики представляют собой периодические функции частоты в с периодом ао, определяемым (1.14). Приыер 2.12.

Для условий примера 2.10 при Т=1!8000 с на рис. 2.10 по. строен график двух периодов функций А(го). айаг ги'зааа Рис. 2.10 2. Амплитудна-частотная характеристика А(и) и ГВЗ т(в) представляют собой четные функции частоты а, а фазо-частотная характеристика ~р(и) — нечетную функцию частоты го. Из указанных свойств следует, что требозания к частотным характеристикам при постоянном значении Т следует задавать лишь на интервале 10, и~'Т). С целью упрощения сопоставимости частотных характеристик различных фильтров нормируют частоту одним из двух способов.

При первом способе полагают нормированной частоту в=иТ, тогда в„=алТ=рж н требования к частотным характеристикам задаются на интервале 10, гг1. При втором способе полагают иоРмиРованиой частотУ ю=аТ~(2и), тогда шт=адТ~(2и) =1 и тРебованиЯ к частотным характеристикам задпотся на интервале [О; 0,51. В справочнике используется, как правило, второй способ нормировки. При этом изменяются аргументы в обозначениях частотных характеристик Н(е''"ак), А(в), ~(в) и т(ю). 57 2.3.3.

Импульсная характеристика 11 при п=О; б(иТ) = ~ 10 при пМО. (2.16) Из этого определения и определения передаточной функции следует, что й (п Т) = 2 (Н (г)); Н (г) = Е (й (и Т)), (2.17) Из (2.17) следует, что й(пТ) и Н(е~ат) связаны парой преобразований Фурье: я1т й(иТ)= — )г Н(е'"г) е'"" ~Го; луг (2.18) Н ( Е~ а Т) Э' й (И 7 ) Š— Е и м Т п=О Пример 2.13. Пусть Н(г) =1+0,Зг-' — 0,2г-', тогда й(0) =1; ЦТ) =О,З; й(2Т) = — 0,2; й(пТ) =0 при п)3. Пример 2.14. Пусть Н(а)=(1 — г — ')/(1+0,5г-').

Используя (1.7), получаем 1 при п=О; й(пТ) = — 1,5( — О,о)" ' при п=,1. В зависимости от характера импульсной характеристики дискретные н цифровые фильтры принято [1.6] делить на следующие два класса: КИХ-фильтры (фильтры с конечной импульсной характеристикой) и БИХ-фильтры (фильтры с бесконечной импульсной характеристикой). Отметим, что все практически реализуемые НФ являются КИХ-фильтрами, а почти все РФ [за исключением тех, у которых передаточная функция может быть преобразована к виду (2.4)1 являются БИХ-фильтрами.

Зная й(пТ), можно рассчитать при нулевых начальных условиях выходной сигнал фильтра у(пТ) по заданному входному сигналу х(пТ). Из (1.2) следует, что последовательность у(пТ) представляет собой линейную свертку (см. 1.4) последовательностей х(пТ) и й(пТ), причем эти три последовательности могут быть как конечные, так н бесконечные: у(п Т)= у',й(ЕТ) х((п — Е) Т) = ~х(ЕТ) й((п — Е) Т), и=0, 1...,, (2,19) Ера г=о при этом ЦпТ) =0 прн п(0 и х(пТ) =0 прн п<0. Пример 2,15. Пусть й(0) =1; й(Т) = — 0,5; ЦпТ) =0 при и= 2; х(0) = — 1; х(Т) =1; х(2Т) =0,5; х(иТ) =0 при и)3. Из (2.19) получаем: у(0) =й(0) х(0) = — 1; у(Т) =й(0)х(Т)+й(Т)х(0) =1,5; у(2Т) =й(0) х(2Т) +й(Т) х(Т) =0; у(ЗТ) =ЦТ) х(2Т) = — 0,25; у(пТ) =0 при п 4. Импульсная характеристика й(пТ) фильтра представляет собой реакцию фильтра при нулевых начальных условиях на входное воздействие: Для вычисления (2.19) при обработке сигналов нерекурсивным фильтром можно использовать рассмотренные выше (см.

1.4.4) методы секционировання свертки. 2.3.4. Второй вритерий устойчивости фильтров Ив определения (2.9) и (2.19) следует второй критерий устойчивости фильтров: для того чтобы фильтр был устойчив, необходимо и достаточно выполнение условия ~ !Ь ( Т)! ...-. И,, л=о (2,20) 2.3.5, Теорема Парсеваля Пусть х(пТ) и у(пТ) — комплексные последовательности. Тогда 11.6] согласно (1.6) 00 Т и/т '~~ ~х (пТ) у (и Т) = — ~ Х ( е! а ) )' ( е' " г) Н о, л=о о где а — величина, комплексно-сопряженная с а: Х(Ио~г) и У(е'ит) — спектры последовательностей х(пТ) н у(пТ).

В частном случае при х(пТ) =у(пТ) ОО Т л ! т ;~„! ( Т)!з= — )" !Х(е' ' ')!'1 . (2.21) л=о ~ о Равенство (2,21) называется теоремой Парсееаля. Согласно (2.21) для любого фильтра с действительными коэффициентами справедливо равенство 40 Т и/т '~Г йз (пТ) = ) !Н( е'и Г))ваш. л=о о Из (1.6) при х1(пТ) =хе(пТ) =й(пТ) следует равенство (2.22) 09 1 У (пТ) = —. ж Н (г) Н ( г ~) г ~ й, (2.23) л=о 2п! где в качестве контура интегрирования выбрана единичная окружность. Для вычисления интеграла в (2.23) можно использовать (1.8), полагая г(г)=Н(г)Н(г-')г — ' и учитывая при вычислении только полюсы, расположенные внутри единичной окружности. Прилер 2.16.

Пусть Н(е) =1/(1 — 0,5х-'), Тогда из (1.8) и (2.23) получаем ОО д 0 Х йа(пт) — . Ф !г. 2и! - г — 05 1 — 05г Поскольку внутри единичной окружности находится только полюс г1=0,5, СО ! 4 пз (пТ) =1ип г- о,з! — 0,5г 3 5й где О, — константа. Второй критерий менее удобен для проверки устойчивости фильтра, чем первый. 2.4. АНАЛИЗ ЛИНЕЙНЫХ ЦИФРОВЫХ ЦЕПЕЙ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ 2.4.1.

Цели анализа линейных цифровых цепей с постоянньпии параметрами Под линейной цифровой цепью с постоянными параметрами понимается схема, реализующая линейное разностное уравнение и состоящая из элементов задержки (регистров), каждый из которых задерживает один отсчет сигнала на время Т, сумматоров, устройств умножения и соединяющих эти элементы линий передачи сигналов (см. рис. 2.1).

В задачах анализа этих цепей рассчитываются частотные и временнь'.е характеристики цепей, параметры выходных сигналов при детерминированных и случайных воздействиях, чувствительность цепи, т. е. зависимость определенных характеристик от изменения параметров цепи 12.1, 2.3). Ниже рассматривается один из наиболее эффективных методов анализа, основанный на определении Е-образа выходного сигнала путем решения системы линейных алгебраических уравнений [2.51.

2.4.2. Определение Е-образа сигнала по сигнальному графу цепи Сигнальный граф состоит из узлов — нумерованных вершин и соединяющих их направленных дуг (рнс. 2.11). Стрелки на дугах указывают направление передачи информации от одного узла к другому. Сигнальный граф однозначно соответствует структурной схеме, причем вершина соответствует узлу или сумматору; дуга, соединяющая две вершины, — элементу задержки или множительному устройству; дуга, направленная к одной из вершин, начало которой не соединено с вершиной, †входно сигналу. В сигнальном графе запись г-' рядом с дугой означает, что эта дуга соответствует элементу задержки, а запись Ь рядом с дугой †ч эта дуга соответствует устройству умножения на 6. Рис. 2.11 Рис, 2.12 Для определения Е-образа искомого сигнала необходимо по сигнальному графу составить систему линейных алгебраических уравнений относительно Е-образов сигналов цепы.