Глава 3 (Синтез и анализ оптических систем с асферическими поверхностями и градиентными средами), страница 5

Прж такой аппроксимации предполагается, что координаты (ш,М) в плоскости входного зрачка всех лучей, проходящих через оптжческую систему, находятся внутри эллипса. Главные оси эллипса перпендикулярны оптической оси, лежат в меридиональном и сагиттальном сечениях и имеют длину Яя и 2М соответственно. Пусть опорный луч (Н ;Т ) двух апертурных ЛД1П (бН,;бТ,), (бН,;бТ,) пересекает входной зрачок при я=ж , М=М (рис.3.3).

В плоскости входного зрачка бН,=(О;би„;О)', бН,=(бМ,;О;О)'. В первом приближении координаты любого луча, пересекающего входной зрачок при м=и +Ьш, М=М , можно представить в виде Н = =Н' ~ бН,(Ащ/бж, ). Аналогично для луча, пересекающего входной зрачок при к=я , М=М ~АМ, имеем. "Н = Н + бН,(ЬМ/бМ, ). Пусть световые габариты поверхности К ограничены окружностью, радиус которой равен г . Опорный луч пересекает поверхность К при х=х„' 1 у=у'„ . ЛД1П (бН„„5бТ,„)у (бН,„убТ,„) принадлежат этой поверхности. Для луча (Н ~ бН,(Аи/бм,,), "Т + ~бТ,(Лш/ба,)) условие прохождения внутри световых габаритов поверхности )~ примет вид: ~л 2 Ьщ Я х„ + бх + у~ + бум Б г . (3.86) Несложно показать, что при неравенство (3.86) переходит в равенство. Следовательно, если координаты луча в плоскости входного зрачка удовлетворяют условиям: ш + Ьш ; М=М ш +Аш.

< шс о в~г можно показать, что при В~ш значения координаты М лучей, удовлетворяющих условию (3.86), лежат в пределах: М +АМ М +АМ. с М< ЬМ, = ппп(АМ,; ЬМ,) ЬМ =пах(АМ,; АМ,); где 2 2 В г' (бх,'„+ бу,', ) + (х„' бх,„+ у„' бу „)' — (х'„бх,„+ у'„бу,„) (бх'„+ бу,'„) (3. 88) условие прохождения луча внутри цилиндра, ограничивающего световые габариты градиентной среды, имеет вид: (х'+у')~ с г' где х,у — координаты луча в среде, г — радиус цилиндра, ограничивающего световые габариты. Для граничных лучей неравенство (3.89) переходит в равенство: (х'+у')~ = г' Поиск максимума Функции Х(х,у)=х'+у' представляет значительные трудности, так как траектория луча в градиентной среде в явном виде обычно неизвестна. Поэтому контроль неравенства (3.89) при расчете луча в градиентной среде следует заменить на контроль неравенств видя: св где Аш =шах(Ьш,; Аш,); Аш , = ш1п(Аш,; Аш,) , то луч проходит внутри светового габарита поверхности К.

Аналогично где х,; у, — координаты луча в плоскости ж=з,. При расчете луча методом Шарма (1.11)-(1.16) в качестве значений з, рационально выбрать значения координаты з на шаге ( (х,=т,(1,)). Для каждой диафрагмы ( в градиентной среде можно найти значения АМ. .. , и Ли...„ , по формулам (3.87),(3.88). При этом в качестве ЛД1П бх ; бу следует использовать ЛД1П б х, б у, принадлежащие плоскости 2=2(1,): а а С ~ 1~ь( 1 ь 1 ь)' гу1 Фу~ 1~ь( 1 ь 1 ь) где б,х,; б,у ; б,з,; б,р,, "б,о,; б,1, — значения ЛД1П на шаге ( вычислений по реккурентным формулам (3.80)-(3.84).

При расчете луча и его апертурных меридионального и сагиттального диФференциалов через оптическую систему можно определить по Формулам (3.87),(3.88) значения аж, Аи„ . . . ЬМ„ , , ЬМ... , для каждой поверхности оптической системы (включая сюда и поверхности я=я(1 ) в градиентных средах). Выберем из последовательностей Ья... , Ы... миппаальные элементы йи , АМ соответственно. Аналогично из последовательностей йи... , , ЛМ... , выберем максимальные элементы йк, , АМ , . Тогда размеры действующего отверстия зрачка определяются как (рис.3.3): М, =М +ЬМ ; ж, =я +аш ; М =М +Ы , ; ш =я +2п .

, (3.92) где М,, М вЂ” координаты пересечения прямой я=а, с контуром зрачка; я , и — координаты пересечения прямой М=М, с контуром зрачка. Так как главный луч пучка проходит через центр действующего отверстия входного зрачка, то координаты главного луча на входном зрачке равны: М =0; ш =О. Размеры действующего отверстия входного зрачка в меридиональном 2ш и сагиттальном 2м' , сечениях можно определить как (рис.3.3): 2М =2ЛИ =-2Ы . ; 2ш =2Лш =-2Ьш .

ПЗО х ГПС~ Х 3П 1 ~~ ПЗО Х тпа х щ~.о (3.93) Выражения (3.93) используются в итерационном процессе определения главного луча пучка (51 ~. На шаге (+1 итерационного процесса рассчитывается меридиональный луч, исходящий из внеосевсй предметной точки В и пересекающий в пространстве предметов оптическую ось в точке Р... (рис.3.4).

Расстояние з„ , от вершины первой поверхности до точки Р... определяется на шаге ( итерационного процесса. В результате расчета луча оси. При этом точка К принадлежит меридиональной плоскости, а длина отрезка Р...К равна (Ьш +~ш , )/2 (3.94) где а — угол между лучом ВК и оптической осью, и итерационный процесс продолжается. По окончании итерационного процесса вместе с положением входного зрачка находятся также велгппы ЛИ ; йп , определяющие габариты входного зрачка в приближении гаусссвой оптики в окрестностях главного луча Для более точного определения габаритов пучка следует ВР, , и его меридионального и сагиттального апертурных ЛД1П определяются значения Ьш ,Ьш .

При выполнении условия 12ю +Лш , ~<з, где а — допустимая погрешность, итерационный процесс заканчивается, и точка Р... становится осевой точкой входного зрачка. Если условие не выполняется, то точка Р,, „ определяется как точка пересечения лучом ВК оптической найти граничные лучи в меридиональном и сагиттальном сечениях входного зрачка (51). В соответствии с рис.3.3 и формулами (3.92), для граничного луча выполняются условия: Ыг „=О, если Я, =Л.иа ; Ьш =О, если ш =ш,и0 ; (3.95) Ьш , =О, если ш =пу0 . ЬМ„, =О, если И =М,<О „ Так как входной зрачок симметричен относительно сагиттальной плоскости, то необходимо найти только три граничных луча ~51 ~: верхний меридиональный, никний условиям: й'„=О; ш >О.

Аналогичные условия для нижнего меридиональнаго луча имеют вид: ЯН=О; ш„<0. Левый сагиттальный граничн~й луч удовлетворяет условиям: ш =0; М >О. Рассмотрим итерационный процесс определения координаты ш верхнего граничного луча. На шаге 1+1 итерационного процесса рассчитывается луч, который пересекает входной зрачок при ш=ш ...; Я=О ( ш ... — значение координаты граничного луча на шаге (), и связанный с ним меридиональный апертурный ЛД1П.

По результатам расчета луча и ЛД1П определяется значение Лш Если ~Лш 1<е, то итерационный процесс заканчивается. В противном случае новое значение и ,,„, принимается равным: (3.96) и итерационный процесс продолжается. В качестве первого приближения значения координаты ш целесообразно взять значение и , „=ш , которое получено в приближении Гауссовой оптики в окрестностях главного луча пучка. В итерационном процессе меридиональный, левый сагиттальный. Координаты М ;и верхнего меридионального граничного луча на входном зрачке удовлетворяют определения координаты и Формула (3.96) заменяется на выражение ." ~н н' н ' <~+1> НСъ~ гадал Аналогичное выражение в итерационном процессе определения координаты М имеет вид: л< ~~-1) л( ~ > щах условия окончания итерационных процессов поиска к, и М имеют вид: !йп, !<е; !ЛМ „„~<е соответственно. жВОЯ;Ы ПО ГЛАВЕ З Обобщена теория лучевых дифференциалов первого порядка.

Разработана теория лучевых дифференциалов второго и третьего порядков. Рассмотрены перенос лучевых диКжренциалов в градиентной среде и их преломление на поверхности. установлена возможность перехода от бесконечно малых к пропорционально увеличенвьм лучевым дифференциалам. Доказан инвариант, связывающий параметры двух лучевых ди44еренциалов первого порядка одного и того же опорного луча.

Рассмотрены особенности расчета лучевых диФФеренциалов опорного меридионального луча в осесимметричной оптической системе. Показано использование лучевых дифференциалов для расчета положения входного зрачка, габаритов, астигматических отрезков и радиусов кривизны каустик внеосевых пучков в градиентных оптических системах.

Предложен численный метод для интегрирования системы дифференциальных уравнений, описывающих лучевой дифФеренциал в среде с произвольным распределением показателя преломления. Получены аналитические формулы для расчета лучевых дифФеренциалов первого и второго порядков в среде с распределением показателя преломления п=п,(1 -К (х «-у )) .