Fxyz (Лекции)

∗Ëåêöèè ïî ìàòåìàòè÷åñêîìó àíàëèçóÔÍ, I êóðñ, 2 ñåìåñòð2 ìîäóëü ½Ôóíêöèè íåñêîëüêèõ ïåðåìåííûõÏóãà÷åâ Î.Â.âåñíà 20171. Ìíîæåñòâà è ôóíêöèè âRn2. Íåïðåðûâíîñòü ÔÍÏ3. Äèôôåðåíöèðîâàíèå ñêàëÿðíûõ ÔÍÏ4. Äèôôåðåíöèðîâàíèå âåêòîðíûõ ÔÍÏ5. Äèôôåðåíöèðîâàíèå âûñøèõ ïîðÿäêîâ6. Ôîðìóëà Òåéëîðà äëÿ ÔÍÏ7. Âîññòàíîâëåíèå ÔÍÏ ïî ãðàäèåíòó8.

Áåçóñëîâíûé ýêñòðåìóì9. Äèôôåðåíöèðîâàíèå íåÿâíûõ ÔÍÏ10. Ãëàäêèåk -ìåðíûåïîâåðõíîñòè11. Óñëîâíûé ýêñòðåìóì12. Èíòåãðàë, çàâèñÿùèé îò ïàðàìåòðà∗Çàïðåùåíî ïå÷àòàòü ôîðìàòîì ìåëü÷å À5 èëè ôîòîãðàôèðîâàòü.01Ìíîæåñòâà è ôóíêöèè â RnÒî÷êàìè ïðîñòðàíñòâà Rn ÿâëÿþòñÿ íàáîðû n äåéñòâèòåëüíûõ ÷èñåë, íàçûâàåìûõêîîðäèíàòàìè òî÷êè. Ðàññòîÿíèå ìåæäó òî÷êàìè A = (a1 , . . . , an ) è B = (b1 , . . . , bn )îïðåäåëÿåòñÿ ôîðìóëîévu nuX~ = t (ai − bi )2%(A, B) = |AB|i=1Äëÿ Rn è % âûïîëíåíû âñå àêñèîìû ìåòðè÷åñêîãî ïðîñòðàíñòâà:1. Ïîëîæèòåëüíîñòü: %(A, B) ≥ 0; %(A, B) = 0 ⇐⇒ A = B ;2.

Ñèììåòðè÷íîñòü: %(A, B) = %(B, A);3. Íåðàâåíñòâî òðåóãîëüíèêà: %(A, C) ≤ %(A, B) + %(B, C).Ðàññòîÿíèåì îò òî÷êè A äî ìíîæåñòâà S íàçûâàåòñÿ âåëè÷èíà %(A, S) = inf %(A, B).B∈SnÎïðåäåëåíèå 1.1. Ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê {Ak }∞k=1 â ïðîñòðàíñòâå R ñõîäèòñÿ ê òî÷êå B , åñëè %(Ak , B) −→ 0. Îáîçíà÷àåòñÿ Ak −→ B èëè lim Ak = B .k→∞k→∞k→∞Ëåììà 1.1. Ñõîäèìîñòü ïîñëåäîâàòåëüíîñòè òî÷åê Ak = (a1k , .

. . , ank ) ê òî÷êåB = (b1 , . . . , bn ) ðàâíîñèëüíà ïîêîîðäèíàòíîé ñõîäèìîñòè:Ak −→ Bk→∞⇐⇒aik −→ bik→∞∀ i = 1, . . . , n.Äîêàçàòåëüñòâî. (⇒): Åñëè ∀ε > 0 ∃M : ∀k > M %(Ak , B) < ε, òî äëÿ êàæäîéêîîðäèíàòû ïîëó÷èì |aik − bi | < ε.√(⇐): Íàéäåì òàêèå M1 ,. . . ,Mn , ÷òî ∀kp> Mi |aik − bi | < ε/ n. Òîãäà ïðè âñåõ k >√max{M1 , . . . , Mn } ïîëó÷èì %(Ak , B) < n(ε/ n)2 = ε.Ñëåäñòâèå 1.1. Åñëè ∃ lim Ak , òî îí åäèíñòâåííûé.k→∞Îïðåäåëåíèå 1.2.

ε-îêðåñòíîñòüþ òî÷êè A ∈ Rn (ε > 0) íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî Uε (A) = {P ∈ Rn : %(A, P ) < ε} (øàð ðàäèóñà ε ñ öåíòðîì A). Ïðîêîëîòîéoîêðåñòíîñòüþ íàçûâàåòñÿ U ε (A) = Uε (A)\{A}.Îòêðûòûå è çàìêíóòûå ìíîæåñòâàÎïðåäåëåíèå 1.3. Ïóñòü S ⊂ Rn . Òî÷êà A íàçûâàåòñÿ âíóòðåííåé òî÷êîé ìíî-æåñòâà S , åñëè ∃ε > 0: Uε (A) ⊂ S .Òî÷êà B íàçûâàåòñÿ ãðàíè÷íîé òî÷êîé ìíîæåñòâà S , åñëè ∀ε > 0 îäíîâðåìåííîUε (B) ∩ S 6= ∅ è Uε (B) ∩ (Rn \S) 6= ∅.1Âíóòðåííèå òî÷êè ïðèíàäëåæàò ìíîæåñòâó S , à ãðàíè÷íàÿ òî÷êà ìîæåò ëèáîïðèíàäëåæàòü S , ëèáî íåò.

Ìíîæåñòâî ãðàíè÷íûõ òî÷åê S íàçûâàåòñÿ åãî ãðàíèöåéè îáîçíà÷àåòñÿ ∂S .Îïðåäåëåíèå 1.4. Ìíîæåñòâî G ⊂ Rn íàçûâàåòñÿ îòêðûòûì, åñëè âñå åãî òî÷êèâíóòðåííèå, ò. e. ãðàíè÷íûõ òî÷åê îíî íå ñîäåðæèò: ∂G ⊂ Rn \G.Ìíîæåñòâî F ⊂ Rn íàçûâàåòñÿ çàìêíóòûì, åñëè îíî ñîäåðæèò âñå ñâîèãðàíè÷íûå òî÷êè: ∂F ⊂ F .Çàìûêàíèåì ìíîæåñòâà S ⊂ Rn íàçûâàåòñÿ ìíîæåñòâî [S] = S ∪ ∂S .Çàìå÷àíèå 1.1. 1) Ïîñêîëüêó ãðàíèöà ó ìíîæåñòâ S è Rn \S îäíà è òà æå, èçîïðåäåëåíèÿ ñëåäóåò, ÷òî äîïîëíåíèå îòêðûòîãî ìíîæåñòâà çàìêíóòî è íàîáîðîò.2) Ìíîæåñòâî S áóäåò îäíîâðåìåííî îòêðûòûì è çàìêíóòûì, ëèøü åñëè ó íåãî íåòãðàíè÷íûõ òî÷åê, ò.å.

åñëè S = ∅ èëè S = Rn .Ëåììà 1.2. Åñëè ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê Ak ∈ S ⊂ Rn ñõîäèòñÿ ê òî÷êå B , òîB ∈ [S].Äîêàçàòåëüñòâî. Î÷åâèäíî, %(B, S) = 0. Åñëè ïðè ýòîì %(B, Rn \S) = 0, òî òî÷êà B ãðàíè÷íàÿ äëÿ S , åñëè æå %(B, Rn \S) > 0, òî âíóòðåííÿÿ.Ïðèìåð 1.1. Ðàññìîòðèì íåñêîëüêî ìíîæåñòâ íà ïëîñêîñòè R2 .1) U = {x2 + y 2 < 1} îòêðûòîå. Åãî ãðàíèöà ∂U = {x2 + y 2 = 1}; åãî çàìûêàíèå[U ] = {x2 + y 2 ≤ 1}.2) Π = {x ≥ 0} çàìêíóòîå; åãî ãðàíèöà ∂Π = {x = 0}.3) ` = {y = x2 } çàìêíóòîå; åãî ãðàíèöà ∂` = ` (âíóòðåííèõ òî÷åê íåò).4) Q2 = {x, y ∈ Q} íå îòêðûòîå è íå çàìêíóòîå. Ãðàíèöà ∂Q2 = R2 .Ëåììà 1.3.

1) Îáúåäèíåíèå ëþáîãî íàáîðà îòêðûòûõ ìíîæåñòâ è ïåðåñå÷åíèåêîíå÷íîãî íàáîðà îòêðûòûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿþòñÿ îòêðûòûìè.2) Îáúåäèíåíèå êîíå÷íîãî íàáîðà çàìêíóòûõ ìíîæåñòâ è ïåðåñå÷åíèå ëþáîãî íàáîðàçàìêíóòûõ ìíîæåñòâ ÿâëÿþòñÿ çàìêíóòûìè.SSÄîêàçàòåëüñòâî. 1) Åñëè P ∈ Gi , òî ∃Gk 3 P =⇒ ∃ε > 0: Uε (P ) ⊂ Gk ⊂ Gi .Åñëè æå P ∈ G1 ∩ . . . ∩ Gm , òî ïðè êàæäîì i = 1, . . . , m íàéäåì εi : Uεi (P ) ⊂ Gi ; âçÿâε = min{ε1 , . . . , εm }, ïîëó÷àåì Uε (P ) ⊂ G1 ∩ .

. . ∩ Gm .2) Ñëåäóåò èç 1) â ñèëó çàìå÷àíèÿ 1.1 è èçâåñòíûõ ñîîòíîøåíèé èç òåîðèè ìíîæåñòâ(ìíîæåñòâà Gi áåðóòñÿ â ëþáîì êîëè÷åñòâå):[\\[(X\Gi ) = X\ Gi ;(X\Gi ) = X\ Gi .Îïðåäåëåíèå 1.5. Ìíîæåñòâî K ⊂ Rn íàçûâàåòñÿ êîìïàêòîì, åñëè èç ëþáîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè òî÷åê Aj ∈ K ìîæíî âûáðàòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü Ajk(j1 < j2 < . . .), ñõîäÿùóþñÿ ê òî÷êå B ∈ K .2Òåîðåìà 1.1. Ìíîæåñòâî K ⊂ Rn êîìïàêòíî ⇐⇒ îíî çàìêíóòî è îãðàíè÷åíî.Äîêàçàòåëüñòâî.

(⇒): Åñëè áû K íå áûëî îãðàíè÷åííûì, òî íàøëàñü áû ïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê, óõîäÿùèõ â ∞, à èç íåå íåëüçÿ âûáðàòü ñõîäÿùóþñÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü. Åñëè áû K íå áûëî çàìêíóòûì, òî íàøëàñü áû ãðàíè÷íàÿ òî÷êà C ∈/ K,íî ∀j ∈ N ∃Aj ∈ K : %(Aj , C) < 1/j =⇒ Aj → C =⇒ ëþáàÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòüýòîé ïîñëåäîâàòåëüíîñòè {Aj } ñõîäèòñÿ òîëüêî ê C ∈/ K (äðóãîãî ïðåäåëà íåò ïîñëåäñòâèþ 1.1).(⇐): Ïóñòü K çàìêíóòî è îãðàíè÷åíî; {Aj = (a1j , .

. . , anj )}∞j=1 ïîñëåäîâàòåëüíîñòüòî÷åê K . Ïîñëåäîâàòåëüíîñòè êîîðäèíàò {aij }∞,i=1,...,n îãðàíè÷åíû =⇒ ìîæíîj=1âûáðàòü ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü íîìåðîâ j1 < j2 < . . . òàê, ÷òîáû a1jk ñõîäèëèñü êíåêîòîðîìó b1 ∈ R; çàòåì èç ýòîé ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòè âûáåðåì íîâóþ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü òàê, ÷òîáû a2jk ñõîäèëèñü ê íåêîòîðîìó b2 ∈ R, è ò.

ä. Ïðîäåëàâýòó ïðîöåäóðó n ðàç (íà êàæäîì øàãå áóäåò ïîëó÷àòüñÿ áåñêîíå÷íàÿ ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü), ìû ïîëó÷èì ïîäïîñëåäîâàòåëüíîñòü òî÷åê, ïîêîîðäèíàòíî ñõîäÿùèõñÿ êB = (b1 , b2 , . . .) ∈ Rn . Ïîñêîëüêó K çàìêíóòî, òî ïî ëåììå 1.2 ïîëó÷àåì B ∈ K .Ñêàëÿðíûå è âåêòîðíûå ÔÍÏÑêàëÿðíîé ôóíêöèåé n ïåðåìåííûõ íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå f : D(f ) 7→ R, ãäå ìíîæåñòâî D(f ) ⊂ Rn íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèè f . Ïîâåðõíîñòÿìè óðîâíÿ(â ñëó÷àå n = 2 ëèíèÿìè óðîâíÿ) íàçûâàþòñÿ ìíîæåñòâà {P ∈ D(f ) : f (P ) = C},ãäå C ∈ R êîíñòàíòû.Ïðèìåð 1.2.

Ïóñòü n = 2; f (x, y) = y/x. Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ D(f ) = {(x; y) : x 6=0}. Îáëàñòü çíà÷åíèé = R. Ëèíèÿ óðîâíÿ C ïðÿìàÿ y = Cx, çà èñêëþ÷åíèåì òî÷êè(0; 0).Ïðèìåð 1.3. Ïóñòü n = 3; f (x, y, z) = x2 + y 2 − z 2 . Îáëàñòü îïðåäåëåíèÿ D(f ) = R3 .Îáëàñòü çíà÷åíèé = R. Ïîâåðõíîñòè óðîâíÿ:ïðè C < 0 äâóïîëîñòíûå ãèïåðáîëîèäû,ïðè C = 0 êîíóñ,ïðè C > 0 îäíîïîëîñòíûå ãèïåðáîëîèäû.Âåêòîðíîé (k -ìåðíîé) ôóíêöèåén ïåðåìåííûõ íàçûâàåòñÿ îòîáðàæåíèå V~ :D(V~ ) 7→ Rk , ãäå ìíîæåñòâî D(V~ ) ⊂ Rn íàçûâàåòñÿ îáëàñòüþ îïðåäåëåíèÿ ôóíêöèèV~ .  ñëó÷àå k = n îòîáðàæåíèå V~ èíîãäà íàçûâàþò âåêòîðíûì ïîëåì, òàê êàê åãî~ (P ), òîð÷àùèõ èç ñîîòâåñòâóþùèõìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå ñîâîêóïíîñòè âåêòîðîâ Vòî÷åê P .~ (P ) = (v1 (P ), . .

. , vk (P )), òî ñêàëÿðíûå ôóíêöèè vi (P ), i = 1,. . . ,k , íàçûÅñëè V~ . Ìíîæåñòâàìè óðîâíÿâàþòñÿ êîîðäèíàòíûìè ôóíêöèÿìè âåêòîðíîé ôóíêöèè V~ ) : V~ (P ) = (C1 , . . . , Ck )}, ãäå Ci ∈ R íàçûâàþòñÿ ìíîæåñòâà âèäà {P ∈ D(Vêîíñòàíòû. Î÷åâèäíî, òàêîå ìíîæåñòâî ÿâëÿåòñÿ ïåðåñå÷åíèåì ïîâåðõíîñòåé óðîâíÿ~ ) : vi (P ) = Ci }, i = 1, . . . , k .êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé {P ∈ D(V32Íåïðåðûâíîñòü ÔÍÏÈçâåñòíû äâà ðàçíûõ îïðåäåëåíèÿ ïðåäåëà ÔÍÏ â òî÷êå.Îïðåäåëåíèå 2.1. (Êîøè) Ïóñòü f (x1 , . . . , xn ) ñêàëÿðíàÿ èëè âåêòîðíàÿ ÔÍÏ;òî÷êà A ∈ [D(f )].

Ãîâîðÿò, ÷òî ïðåäåë ôóíêöèè f â òî÷êå A ðàâåí y , åñëèo∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀P ∈ U δ (A) ∩ D(f )|f (P ) − y| < ε.Îïðåäåëåíèå 2.2. (Ãåéíå) . . . ïðåäåë ôóíêöèè f â òî÷êå A ðàâåí y , åñëè äëÿ ëþáîéïîñëåäîâàòåëüíîñòè òî÷åê Ak ∈ D(f ), Ak 6= A, ñõîäÿùåéñÿ ê A, èìååì f (Ak ) → y .Îáîçíà÷åíèå:îïðåäåëåíèé.èëè f (P ) −→ y .

Äîêàæåì ðàâíîñèëüíîñòü äâóõlim f (P ) = yP →AP →AÄîêàçàòåëüñòâî. (Êîøè⇒Ãåéíå): Åñëè D(f ) 3 Ak → A, Ak 6= A, òî ∀ε > 0 ∃N : ïðèoâñåõ k > N Ak ∈ Uδ (A) =⇒ Ak ∈ U δ (A) ∩ D(f ) =⇒ |f (Ak ) − y| < ε.(Ãåéíå⇒Êîøè): Ïðåäïîëîæèì, ÷òî íåò ñõîäèìîñòè ïî Êîøè. Òîãäà ∃ε > 0: ∀δ > 0, âo÷àñòíîñòè, äëÿ δ = 1/k , ∃Ak ∈ U δ (A) ∩ D(f ): |f (P ) − y| ≥ ε. Ìû âèäèì, ÷òî Ak → A,íî f (Ak ) 9 y .Ñâîéñòâà ïðåäåëîâ ÔÍÏ1. Åñëè ñóùåñòâóåò ïðåäåë lim f (P ), òî îí åäèíñòâåííûé.P →A2. Ñõîäèìîñòü âåêòîðíîé ÔÍÏ lim V~ (P ) = Y = (y1 , . . . , yk ) ðàâíîñèëüíà ñõîäèìîñòèP →Aåå êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé lim vi (P ) = yi , ∀ i = 1, . . .

, k (âûòåêàåò èç ëåììû 1.1,P →Aïðèìåíåííîé ê ïîñëåäîâàòåëüíîñòè f (Ak ), ñì. îïðåäåëåíèå 2.2).3. Äëÿ ñêàëÿðíûõ ÔÍÏ: åñëè lim f (P ) = y , lim g(P ) = z , òî ñóùåñòâóþò ïðåäåëûP →AP →Af (P )y= .P →A g(P )zlim (f (P ) + g(P )) = y + z , lim f (P )g(P ) = yz , à ïðè z 6= 0 òàêæå limP →AP →A~ (P ) = Z , òî ñóùåñòâóþò4. Äëÿ k -ìåðíûõ âåêòîðíûõ ÔÍÏ: åñëè lim V~ (P ) = Y , lim WP →AP →A~ (P ) + k W~ (P )) = cY + kZ ; ñêàëÿðíîãî ïðîèçâåïðåäåëû ëèíåéíîé êîìáèíàöèè lim (cVP →A~ (P ), W~ (P )) = (Y, Z); ïðè k = 3 òàêæå âåêòîðíîãî ïðîèçâåäåíèÿ.äåíèÿ lim (VP →AÎïðåäåëåíèå 2.3.

ÔÍÏ íåïðåðûâíà â òî÷êå A ∈ D(f ), åñëè lim f (P ) = f (A).P →AÈç ñâîéñòâ ïðåäåëîâ ÔÍÏ âûòåêàåò:I. Íåïðåðûâíîñòü âåêòîðíîé ÔÍÏ ðàâíîñèëüíà íåïðåðûâíîñòè åå êîîðäèíàòíûõ ôóíêöèé.II. Ëèíåéíûå êîìáèíàöèè, ïðîèçâåäåíèÿ è ÷àñòíûå (åñëè çíàìåíàòåëü íå îáíóëÿåòñÿâ A) ÔÍÏ, íåïðåðûâíûõ â òî÷êå A, òàêæå íåïðåðûâíû â A.Åùå îäíî ñâîéñòâî: Ïðåäåë ñëîæíîé ôóíêöèè.4Ëåììà 2.1. Åñëè ∃ ïðåäåë y = lim f (P ); y âíóòðåííÿÿ òî÷êà D(Φ) ⊂ Rm , è åñëèP →Aôóíêöèÿ Φ íåïðåðûâíà â òî÷êåy , òî ñóùåñòâóåò ïðåäåë lim Φ(f (P )) = Φ(y).P →AÄîêàçàòåëüñòâî. Åñëè Ak ∈ D(f ), Ak 6= A, Ak → A, òî f (Ak ) → y =⇒ Φ(f (Ak )) →Φ(y).Ñëåäñòâèå 2.1. Åñëè ôóíêöèÿ f íåïðåðûâíà â òî÷êå P , y = f (P ) âíóòðåííÿÿòî÷êà D(Φ) ⊂ Rm , è ôóíêöèÿ Φ íåïðåðûâíà â òî÷êå y , òî ôóíêöèÿ Φ◦f íåïðåðûâíàâ òî÷êå P .Îïðåäåëåíèå 2.4.