Аркашов Н.С. - Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика, страница 6

Общее число всех элементарных исходовравно N (Ω) = B63 = 63 . Событие B образовано всеми выборками безвозвращения, их число N (B) = A36 = 6[3] , вероятность события B равна30[3]P(B) = 663 = 6·5·4= 95 . Событие AB образовано такими выборками63без возвращения (i, j, k), у которых на одной из трех позиций стоит «1»,а на остальных - различные числа от 2 до 6. Число таких выборок равно5N (AB) = 3 · 5 · 4, а вероятность P(AB) = 3·5·463 = 18 . Тогда условнуювероятность находим по формуле (4.1):P(A/B) =P(AB)=P(B)51859=1.2Второй способ. Поскольку известно, что на всех костях выпали разныечисла, то есть произошло событие B, то пространством элементарныхисходов можно считать множество B.

В этом случае появление событияA равносильно появлению пересечения AB. Тогда условная вероятностьсобытия A вычисляется по классическому определению:P(A/B) =§ 4.3.N (AB)3·5·43·5·41=== .N (B)6·5·426[3]▽Задачи для самостоятельного решения4.1 Брошены две игральные кости. Чему равна вероятность того, чтосумма выпавших на них очков равна 8, если известно, что эта сумма естьчетное число?4.2 Брошены две игральные кости. Какова вероятность того, что напервой кости выпало 4 очка, если известно, что на второй кости выпалобольше очков, чем на первой?4.3 Известно, что при бросании 10 игральных костей выпала по крайнеймере одна единица.

Какова при этом вероятность того, что выпали двеили более единицы?4.4 В ящике лежат 12 красных, 8 зеленых и 10 синих шаров. Наудачувынимают два шара. Какова вероятность того, что вынуты шары разногоцвета, если известно, что среди них нет синего?4.5 Игральная кость бросается до тех пор, пока не выпадет единица.Известно, что для этого потребовалось четное число бросаний. Найтивероятность того, что единица выпадет при втором бросании.4.6 Пусть P(A1 /A2 ) = P(A1 ). Показать справедливость следующихравенств:а) P(A1 /A2 ) = P(A1 );б) P(A1 /A2 ) = P(A1 ).4.7 Двое играют в игру, поочередно вынимая шар из урны, содержащей3 белых и 5 черных шаров. Выигравшим считается тот, кто первым вынетбелый шар. Чему равна вероятность выигрыша для начавшего игру, если31после каждого неудачного эксперимента шар возвращается в урну?4.8 Письмо находится в столе с вероятностью p, причем с равнойвероятностью оно может быть в любом из восьми ящиков стола.

Мыпересмотрели 7 ящиков и письма не обнаружили. Какова вероятность, чтописьмо:а) находится в восьмом ящике;б) отсутствует в столе?4.9 Из полной колоды карт (52 листа) вынимают сразу две карты.Одну из них смотрят — она оказалась дамой, после этого вынутые картыперемешивают и одну из них берут наугад.

Найти вероятность, что онаокажется тузом.4.10 Четыре шара последовательно размещаются в четырех ящиках.Какова вероятность того, что один из ящиков будет содержать ровно тришара, если известно, что первые два шара оказались в разных ячейках?4.11 Два игрока играют в безобидную игру (у обоих шансы победитьодинаковы, ничьих нет), и они договорились, что тот, кто первым выиграетшесть партий, получит весь приз. Предположим, что на самом деле играостановилась до того, как один из них выиграл приз, например, первыйигрок выиграл пять партий, а второй — три.

Как справедливо следуетразделить приз?4.12 Доказать, что если C ⊆ B ⊆ A, то P(C/A) = P(C/B)P(B/A).32Глава 5Независимые событияДва событияA, Bназываются независимыми, если для нихвыполняется соотношение:P(AB) = P(A) · P(B).(5.1)Если P(B) > 0, то независимость событий A, B равносильна выполнениюравенстваP(A/B) = P(A),которое означает, что вероятность события A не зависит от появления B.События A1 , A2 , ..., An называются независимыми в совокупности,если для любого конечного набора из этих событий выполняетсясоотношение:P(Ai1 · Ai2 · · · Aik ) = P(Ai1 ) · P(Ai2 ) · · · P(Aik ).(5.2)События A1 , A2 , ..., An называются попарно независимыми , еслилюбые два из них независимы.§ 5.1.Решение типовых примеровПример 5.1.

Точка ξ = (ξ1 , ξ2 ) выбрана наудачу в квадрате [0, 1]2 .Пусть A = {ξ1 ≤ 1/2}, B = {ξ2 ≤ 1/2} C = {(ξ1 − 1/2)(ξ2 − 1/2) > 0}.Выяснить, независимы ли эти события:а) в совокупности;б) попарно.Решение. Пространство элементарных исходов - единичный квадратΩ = [0, 1]2 . Событие A — левая его половина, событие B — нижняя, событие33C представляет объединение двух квадратовAB = {ξ1 ≤ 1/2, ξ2 ≤ 1/2}A B = {ξ1 ≥ 1/2, ξ2 ≥ 1/2},заштрихованных на рис.5.1. Вероятности этих событий найдем с помощьюξ261AAB12BAB012ξ11Рис. 5.1:геометрического определения:P(A) =1,2P(B) =1,2P(C) =1.2Вероятности попарных пересечений равны:P(AB) =11= P(A) · P(B), P(AC) = = P(A) · P(C),44P(BC) =1= P(B) · P(C).4Таким образом, данные события попарно независимы. Так какABC = AC = BC = AB, тоP(ABC) =16= P(A) · P(B) · P(C),4а значит, события A, B, C не являются независимыми в совокупности.

▽34§ 5.2.Задачи для самостоятельного решения5.1 Доказать, что если события A и B несовместны, P(A) > 0 и P(B) > 0,то события A и B зависимы.5.2 Доказать, что если события A и B независимы, то также независимысобытия: a) A и B; б) A и B; в) A и B.5.3 Рассмотрим все возможные перестановки четырех букв a, b, c иd. Определить, зависимы или нет события A = {a предшествует b} иB = {c предшествует d}.5.4 Брошены две игральные кости. Рассмотрим три события: A —на первой кости выпало нечетное число, B — на второй кости выпалонечетное число, C — сумма чисел на обеих костях нечетна. Проверить,зависимы или нет события A, B, C:а) в совокупности;б) попарно.5.5 Пусть событие A таково, что оно не зависит от самого себя. Доказать,что тогда P(A) = 0 или P(A) = 1.5.6Брошены последовательно три монеты.

Определить, зависимыили нет события A = {выпал герб на первой монете} и B ={выпала хотя бы одна решка}.5.7 На рис. 5.2 приведена схема соединения элементов, образующихэлектрическую цепь. Предполагается, что отказы элементов являютсянезависимыми в совокупности событиями. Считается известнойнадежность pk k-го элемента, то есть вероятность его безотказнойработы (соответственно qk = 1 − pk — вероятность его отказа).

Вычислитьнадежность p всей цепи.2e143Рис. 5.2:Рис. 5.2.35e5.8 Бросаются три правильные монеты. Пусть событие A состоит в том,что выпало по крайней мере две решки, а событие B — в том, что хотя бына одной монете выпал герб. Описать событие A. Определить, зависимыили нет события A и B.5.9 Бросаются две игральные кости. Пусть событие A состоит в том, чтовыпавшая сумма очков нечетна, а событие B — в том, что хотя бы на однойиз костей выпала единица. Описать событие AB. Определить, зависимыили нет события A и B.5.10 Пусть 0 < P(A) < P(B) < 1. Следует ли отсюда независимостьсобытий A и B?5.11 Чтобы найти нужную книгу, студент решил обойти 3 библиотеки.Для каждой библиотеки одинаково вероятно, есть в фондах эта книга илинет, и если книга есть в фондах, то с вероятностью 0,5 она не занятадругим читателем. Какова вероятность того, что студент найдет книгу,если известно, что библиотеки комплектуются независимо одна от другой?36Глава 6Независимые испытания§ 6.1.Формулы БернуллиРассмотримслучайныйэксперимент, состоящийизпоследовательности (конечной или бесконечной) отдельных однотипныхэкспериментов I1 , I2 , ..., In , ..., которые будем называть испытаниями.Будем предполагать, что в каждом испытании возможны лишь два исхода:появление некоторого события A либо противоположного события A, приэтом появление A будем называть «успехом», а появление A — «неудачей».Обозначим Ai ={появление A (или «успех») в i-ом испытании}.

Будемпредполагать, что вероятность «успеха» в каждом испытании одна и таже, т.е. P(Ai ) = p, P(Ai ) = 1 − p = q при всех i.Обозначим через νn число «успехов» в n независимых испытаниях.Очевидно, νn может принимать любые целые значения от 0 до n. Введемсобытия Bk = {νn = k},k = 0, 1, . . . , n. Вероятности событий Bkвычисляются по следующим формулам Бернулли:P(Bk ) = P(νn = k) = Cnk pk q n−k , k = 0, 1, ..., n.(6.1)Полиномиальная схема.Пусть имеется n независимых испытаний, но в каждом испытанииможет наступить один из k возможных исходов: R1 , R2 , . .

. , Rk , где длякаждого из n испытаний вероятности исходов одни и те же: P(Rj ) =pj , j = 1, 2, ..., k, так что p1 + p2 + . . . + pk = 1. Соответствующеевероятностное пространство, в отличие от схемы Бернулли, называетсяполиномиальной схемой. Обозначим νjn число исходов Rj вn независимых испытаниях. Следующая теорема обобщает формулыБернулли на случай полиномиальной схемы.37Теорема 6.1. Для любых натуральных n1 , n2 , ..., nk таких, чтоn = n1 + n2 + ...

+ nk ,P(ν1n = n1 , ν2n = n2 , ..., νkn = nk ) =§ 6.2.n!pn1 · pn2 2 · · · pnk k .n1 ! · n2 ! · · · nk ! 1(6.2)Решение типовых примеровПример 6.1. При передаче сообщения вероятность искаженияодного знака равна 1/10. Какова вероятность того, что сообщение из 10знаков: а) не будет искажено, б) содержит ровно 3 искажения,в) содержит не более трех искажений?Решение. Передачу n = 10 знаков можно рассматривать какn независимых испытаний, искажение знака будем считать успехом,вероятность успеха P(успеха) = p = 1/10. Искомые вероятности находимпо формулам Бернулли:9 10а) P(νn = 0) = Cn0 p0 q n = q n = ( 10) ;1 3 9 73 3 n−33б) P(νn = 3) = Cn p q= C10 ( 10) ( 10 ) ;33SP9 101 1 9 9в) P(νn ≤ 3) = P{ (νn = k)} =Cnk pk q n−k = ( 10) + C1010 ( 10 ) +k=01 2 9 81 3 9 723+C10( 10) ( 10 ) + C10( 10) ( 10 ) .k=0▽Пример6.2.

В одном учебном заведении обучаются 730студентов. День рождения наудачу выбранного студента приходитсяна определенный день года с вероятностью 1/365 для каждого из 365дней. Найти вероятность того, что найдутся три студента, имеющиеодин и тот же день рождения.Решение. Найдем вероятность дополнительного события, то естьнайдем вероятность, того что ровно два студента родились в каждыйиз месяцев года.