Аркашов Н.С. - Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика, страница 8

Вероятности попадания в мишень при одномвыстреле для каждого из стрелков соответственно равны p1 , p2 , p3 .Какова вероятность того, что второй стрелок промахнулся, если послевыстрелов в мишени оказалось две пробоины?Решение. Обозначим A ={после выстрелов в мишени оказалось двепробоины}, Hi ={из трех стрелков промахнулся i-й, а два других попали},i = 1, 2, 3. Требуется найти условную вероятность P(H2 /A), которую мынайдем по формуле Байеса. Для этого найдем вероятности гипотез:P(H1 ) = P(B1 B2 B3 ) = P(B1 ) · P(B1 ) · P(B3 ) = (1 − p1 )p2 p3 .Здесь использованы обозначения Bi ={попадание i-го стрелка}, Bi =={промах i-го стрелка} и предположение, что результаты стрельбыотдельных стрелков являются независимыми событиями. Аналогичнонаходим:P(H2 ) = P(B1 B2 B3 ) = p1 (1 − p2 )p3 , P(H3 ) = P(B1 B2 B3 ) = p1 p2 (1 − p3 ).Заметим, что все условные вероятности равны 1: P(A/H1 ) = P(A/H2 ) =P(A/H3 ) = 1.

Тогда подставляя все эти вероятности в формулу Байеса,получаемP(H2 /A) =§ 7.3.p1 (1 − p2 )p3.(1 − p1 )p2 p3 + p1 (1 − p2 )p3 + p1 p2 (1 − p3 )▽Задачи для самостоятельного решения7.1 В первой урне находятся 1 белый и 9 черных шаров, во второй — 1черный и 5 белых. Из каждой урны удалили по одному шару, выбранному44наугад, а оставшиеся шары ссыпали в третью урну.а) Найти вероятность того, что шар, вынутый наугад из третьей урны,окажется белым.б) Если шар, вынутый из третьей урны, оказался белым, то каковавероятность того, что из первых двух урн были удалены черные шары?7.2 В первой урне находятся 1 белый шар и 4 красных, во второй — 1белый и 7 красных.

В первую урну добавили два шара, выбранных наугадиз второй урны.а) Найти вероятность того, что шар, вынутый наугад из пополненнойпервой урны, окажется белым.б) Поставить вопрос, ответ на который можно найти с помощью формулыБайеса (и ответить на него).7.3 Имеется 5 урн следующего состава: в первой и второй урнах по 2белых и 3 черных шара в каждой; в третьей и четвертой урнах — по 1белому и 4 черных шара; в пятой урне — 4 белых и 1 черный шар. Изодной наудачу выбранной урны взят шар. Он оказался белым. Чему равнапри этом вероятность того, что он вынут из пятой урны?7.4 В трех урнах содержатся белые и черные шары: в первой урне —2 белых и 3 черных шара, во второй — 2 белых и 2 черных шара, втретьей — 3 белых и 1 черный шар. Из первой урны вынут наудачу шари переложен во вторую. Далее из второй урны вынут наудачу шар ипереложен в третью. Наконец из третьей урны шар переложен в первую.а) Какой состав шаров в первой урне наиболее вероятен?б) С какой вероятностью состав шаров во всех урнах не изменится?7.5 Из урны, в которой было m ≥ 3 белых и n черных, потеряли одиншар неизвестного цвета.

Для того чтобы определить состав шаров в урне,из нее наудачу были вынуты два шара. Найти вероятность того, что былпотерян белый шар, если известно, что вынутые шары оказались белыми.7.6 В урне лежат 12 шаров, из них 8 черных и 4 белых. Три игрока A,B и C поочередно вынимают шары. Выигрывает тот, кто первым вынетбелый шар. Оценить шансы на успех каждого игрока.7.7 При некоторых условиях стрельбы стрелок A поражает мишень свероятностью p1 = 3/5, стрелок В — с вероятностью p2 = 1/2, стрелокC — с вероятностью p3 = 2/5. Стрелки дали залп по мишени, и две пулипопали в цель.

Что вероятнее: попал C в мишень или нет?7.8Изделия некоторого производства удовлетворяют стандарту свероятностью 0,96. Предлагается упрощенная система испытаний,дающая положительный результат с вероятностью 0,98 для изделий,удовлетворяющих стандарту, а для изделий, которые не удовлетворяютстандарту, с вероятностью 0,05.

Какова вероятность того, что:45а) изделие будет забраковано;б) изделие, выдержавшее испытание, удовлетворяет стандарту?7.9 Некоторое изделие выпускается двумя заводами, причем объемпродукции второго завода в k раз превосходит объем продукции первого.Доля брака у первого завода p1 , у второго — p2 .

Изделия, выпущенныезаводами за одинаковый промежуток времени, перемешали и пустили впродажу. Какова вероятность того, что вы приобрели изделие со второгозавода, если оно оказалось бракованным?7.10 В семи урнах содержится по 3 белых и 2 черных шара, а в трехурнах по 7 белых и 3 черных шара. Какова вероятность, что из урны,взятой наудачу, будет извлечен белый шар? Найти вероятность, что шаризвлечен из урны с 7 белыми и 3 черными шарами, если он оказался белым.46Глава 8Распределения случайных величин§ 8.1.СлучайнаявеличинараспределенияифункцияСлучайной величиной (с.в.)называется всякая функцияX :Ω → R, сопоставляющая каждому элементарному исходу ω ∈Ω действительное число X(ω).Функциейраспределения(ф.р.)случайнойвеличиныX называется функция FX : R → R, задаваемая соотношением:FX (t) = P(X < t) = P{ω : X(ω) < t}, t ∈ R.Функция распределения обладает свойствами:F1.

0 ≤ FX (t) ≤ 1∀ t ∈ R.F2. FX ր (неубывающая функция).F3. FX (−∞) = lim FX (t) = 0,FX (+∞) =t→−∞(8.1)lim FX (t) = 1 .t→+∞F4. FX (t) непрерывна слева и имеет конечный предел справа: для всехt∈Rlim FX (y) = FX (t);lim FX (y) = FX (t + 0).y→t−0y→t+0F5. Для любых a < b вероятность попадания с.в. X в интервал [a, b) равнаP{a ≤ X < b} = FX (b) − FX (a) .F6. Для любого a ∈ R вероятность попадания с.в. X в точку a равнаскачку ф.р. в точке a:P{X = a} = FX (a + 0) − FX (a).47§ 8.2.Дискретное и абсолютно непрерывноераспределенияМножество G называется счетным, если оно бесконечно, но всеэлементы его можно занумеровать числами натурального ряда: G ={x1 , x2 , ..., xn , ...}.

Множество называют не более чем счетным, еслионо конечно или счетно. Говорят, что с.в. X имеет дискретноераспределение, если с вероятностью 1 она может принимать не болеечем счетное множество значений. Иначе говоря, с.в. X имеет дискретноераспределение, если существует не более чем счетное множество G ={x1 , x2 , ..., xn , ...}, такое, чтоXpi = P(X = xi ) > 0, i = 1, 2, ...pi = 1.(8.2)iУпрощая терминологию, будем говорить в этом случае, что случайнаявеличина X дискретна. Если с.в.

X дискретна, то для нее можноуказать две последовательности: последовательность x1 , x2 , ... возможныхзначений X и последовательность p1 , p2 , ... вероятностей этих значений.Таблица, составленная из этих последовательностей, называется рядомраспределения или таблицей распределения X:XP(X = xi )x1p1x2p2......xipi......(8.3)Если с.в. X имеет дискретное распределение (8.3), то вероятность еепопадания в множество A ⊆ R вычисляется по формуле:XP(X ∈ A) =pi .(8.4)xi ∈AВ частности, функция распределения случайной величины X выражаетсячерез ряд распределения формулой:XFX (t) =pi .(8.5)xi <tЕсли предположить, что все значения случайной величины X упорядоченыпо возрастанию, то естьx1 < x2 < . .

. < xn < . . . ,то функция распределения будет иметь график, изображенный на рис. 8.1.48FX (t)1p1ux1p26piux2pnuuu-xi0xntРис. 8.1: График функции распределения FX (t)..Функция распределения дискретной случайной величины X являетсяступенчатой, то есть она сохраняет постоянные значения в интервалах(xi−1 , xi ), а в точках xi имеет разрыв первого рода (скачок), равныйвероятности pi = P(X = xi ).Говорят, что с.в.Xимеет абсолютно непрерывноераспределение, если ее функция распределенияFX (t)можетбыть представлена в виде:FX (t) =ZtfX (u)du,(8.6)−∞где fX (u) — неотрицательная, интегрируемая на всей числовой осифункция, которая называется плотностью распределения случайнойвеличины X. Если распределение с.в.

X абсолютно непрерывно, то ееплотность распределения обладает свойствами:f1. Для всех t ∈ R плотность распределения неотрицательна:fX (t) ≥ 0.f2. Интеграл от плотности распределения по всей числовой прямой равенединице (условие нормировки):Z ∞fX (t)dt = 1.−∞f3. Вероятность того, что случайная величина принимает значенияиз множества, равна интегралу от плотности распределения по этому49множеству:P(X ∈ A) =ZfX (t)dtAдля любого множества A ⊆ R, для которого интеграл в правой частиопределен.f4. Функция распределения FX (t) непрерывна на всей числовой оси, а вточках непрерывности плотности fX (t) ф.р.

FX (t) дифференцируема,причем′FX(t) = fX (t).f5. Вероятность попадания случайной величины в точку равна нулю: длялюбого a ∈ R выполненоP(X = a) = 0.f6. Для любых a < bP(a ≤ X < b) = P(a ≤ X ≤ b) = P(a < X ≤ b) = P(a < X < b) =ZbfX (t)dt.aВероятности попадания в промежуток, фигурирующие в последнемсвойстве, вычисляются как площадь криволинейной трапеции,заштрихованной на рис. 8.2:6fX (t)-0abtРис. 8.2: Плотность распределения fX (t).Отметим, что свойства f1 и f2 являются характеристическимисвойствами плотности распределения, то есть любая функция,удовлетворяющая этим свойствам, является плотностью распределениянекоторой случайной величины.50§ 8.3.Примерывеличинраспределенийслучайных1. Распределение Бернулли Bp . Это распределение с. в. X,принимающей лишь два значения 1 и 0 с вероятностями p и q = 1 − pсоответственно. Как мы видели, такое распределение имеет случайнаявеличина, равная числу «успехов» при одном испытании Бернулли.Очевидно, распределение X дискретно, и ряд распределения задаетсяравенством:(p, если k = 1;P(X = k) =0, если k = 0.Тот факт, что с.