Аркашов Н.С. - Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика, страница 10

Тогда событие {X < x} = {ω1 < x} означает,что точка ω = (ω1 , ω2 ) окажется левее прямой ω1 = x, то есть окажетсяв области Ax , заштрихованной на рис. 8.6.58ω261ω261AxBΩxxΩ-x0-62 ω12 ω10Рис. 8.6: Вычисление функций распределения в примере 8.2.Вероятность попаданиягеометрическому определениювэтуобластьFX (x) = P(X < x) = P(ω ∈ Ax ) =находимсогласноµ(Ax )x2=.µ(Ω)4Таким образом, искомая функция распределения с.в. X равнаесли x ≤ 0,0,2xFX (x) =если 0 < x ≤ 2,4 ,1,если x > 2.б) Аналогично предыдущему, находим:FX (x) = P(X < x) = P(ω2 < x) = 0при x ≤ 0;FX (x) = P(X < x) = P(ω2 < x) = 1при x > 1.

Пусть 0 < x ≤ 1. Тогда имеем (см. рис. ??):FX (x) = P(X < x) = P(ω2 < x) =µ(Bx )1 − (1 − x)2== 2x − x2 .µ(Ω)1Полное выражение для ф.р. случайной величины X имеет вид:если x ≤ 0,0,2FX (x) = 2x − x , если 0 < x ≤ 1,▽1,если x > 1.Пример 8.3. Монету бросают n = 3 раза. Найти ряд распределенияи функцию распределения: а) числа выпадений герба; б) разности чиселвыпадения герба и решетки.59Решение. а) Обозначая X — число выпадений герба, заметим, чтос.в. X может принимать лишь конечное множество значений: 0, 1, 2,3. Следовательно, распределение X дискретно, а ряд распределенияопределяется формулами Бернулли (6.1):pk = P(X = k) = Cnk pk q n−k , k = 0, 1, ..., n.Подставляя в эти формулы значения p = q = 12 , n = 3, находим:p0 = C30111331= , p1 = C31 3 = , p2 = , p3 = .3282888Найденный ряд распределения можно представить таблицей:iP(X = i)01/813/823/831/8Функцию распределения проще всего представить графически подобнорис.

8.7. FX (t)1 678180u12uuu-123tРис. 8.7: График FX (t) в примере 8.3.Аналитически функцию распределенияFX (t)формулой:0,если t ≤ 0,1/8,если 0 < t ≤ 1,FX (t) = 1/2, если 1 < t ≤ 2,7/8, если 2 < t ≤ 3,1,если t > 3.можно задатьб) Обозначая Y — разность чисел выпадения герба и решетки,заметим, чтоY = X − (3 − X) = 2X − 3. Следовательно,60Y может принимать конечное множество значений: −3, −1, 1, 3. Поэтомураспределение случайной величины Y дискретно, а ее ряд распределенияопределяется из соотношений:pi = P(X = i) = P(2X − 3 = 2i − 3) = P(Y = 2i − 3), i = 0, 1, 2, 3.Подставляя значения pi из таблицы распределения X, получим рядраспределения для Y :kP(Y = k)−31/8−13/813/831/8Функцию распределения FY (t) строим так же, как в пункте а), спомощью ряда распределения Y.▽Пример 8.4.Говорят, что случайная величина X имеетравномерное распределение на отрезке [a;b] (обозначение:X ⊂= U[a; b] ), если ее распределение абсолютно непрерывно с плотностью(C = const, если t ∈ [a; b],fX (t) =(8.16)0,если t ∈/ [a; b].Считая, чтоX ⊂= U[0; 1] ,найти плотности распределенияслучайных величин: Y = 2X + 1; Z = X 2 .Решение.

Из вида плотности распределения с.в. X ⊂= U[a; b] вытекает,что P(a ≤ X ≤ b) = 1. Так как Y = 2X + 1, то все значения Y свероятностью 1 принадлежат отрезку [2a + 1; 2b + 1]. Подставляя a = 0,b = 1, находим: P(1 ≤ Y ≤ 3) = 1. Следовательно,если t ≤ 1,0,FY (t) = P(Y < t) = P(2X + 1 < t), если 1 < t ≤ 3,(8.17)1,если t > 3.Вычислим вероятность в средней строке последней формулы,пользуясь функцией распределения случайной величины X ⊂= U [0; 1]:0, если t ≤ 0,FX (t) = t, если 0 < t ≤ 1,(8.18)1, если t > 1.61t−1P(2X + 1 < t) = P X <2= FXt−12=t−1,2так как 1 < t ≤ 3, а значит, и 0 < t−12 ≤ 1. Подставляя результат этоговычисления в (8.17), получаем окончательно:если t ≤ 1,0,t−1FY (t) =2 , если 1 < t ≤ 3,1,если t > 3.Плотность распределения с.в. Y находим в соответствии со свойствомf4 дифференцированием ф.р.

FY (t) :(0, если t ∈/ [1; 3],′fY (t) = FY (t) = 12 , если 1 < t < 3.Функцию распределения с.в.Z = X 2 находим аналогичнопредыдущему, причем с самого начала заметим, что P(Z ∈ [0; 1]) = 1,а следовательно,если t ≤ 0,0,FZ (t) = P(Z < t) = P(Z < t), если 0 < t ≤ 1,(8.19)1,если t > 1.Пусть 0 < t ≤ 1. Тогда√√FZ (t) = P(Z < t) = P(X 2 < t) = P(|X| < t) = P(X < t),√так как P(X ∈ [0; 1]) = 1.

Вероятность P(X < t) вычисляем, пользуясьизвестнымвыражением (8.18) для ф.р. X ⊂= U [0; 1] и учитывая, что√0 < t ≤ 1:√√P(X < t) = t.Подставляя результаты проделанных вычислений в (8.19), получаемесли t ≤ 0,0,√FZ (t) = P(Z < t) =t, если 0 < t ≤ 1,1,если t > 1.Наконец, плотность fZ (t) находим дифференцированием функциираспределения FZ (t):(0,если t ∈/ [0, 1],′fZ (t) = FZ (t) =▽1√ , если 0 < t < 1.2 t62§ 8.6.Задачи для самостоятельного решения8.1 Вероятность попадания баскетбольного мяча в кольцо при бросанииначинающим спортсменом равна 1/4.

Мяч бросают до первого попадания,но дают не более 2 попыток. Найти ряд распределения числа промахов.Построить график функции распределения.8.2 По мишени одновременно стреляют 2 стрелка, вероятности попаданийкоторых равны соответственно 0,3 и 0,6. Найти ряд распределения числапопаданий в мишень. Построить график функции распределения.8.3 Вероятность попадания в мишень равна 0,6 при каждом выстреле.Стрельба ведется одиночными выстрелами до первого попадания, покане будет израсходован боезапас. Найти ряд распределения числапроизведенных выстрелов, если боезапас составляет 2 единицы.

Построитьграфик функции распределения.8.4 Игральную кость бросают n = 6 раз. Найти ряд распределения ифункцию распределения: а) числа выпадений шестерки; б) разности чиселвыпадения шестерки и тройки.8.5 Вероятность отказа сервера при каждом из независимых подключенийс помощью модема равна 0,3. Попытки подключения производятся доустановления связи. Найти ряд распределения числа произведенныхпопыток подключения, если число попыток ограничено двумя. Построитьграфик функции распределения. 8.6 Игральную кость бросают до первогопоявления шестерки. Найти ряд распределения и функцию распределениячисла проведенных бросаний.8.7 Монету бросают до появления двух гербов. Найти ряд распределенияи функцию распределения числа проведенных бросаний.8.8 Дискретная случайная величина X имеет ряд распределенияxiP(X = xi )-11/301/311/3Построить ряды распределения следующих случайных величин:а) 2X + 5;г) 2X ;2б) X + 1;д) min(X, 1);в) |X|;е) 1/(3 − X).8.5 Решить задачу 8.4, если дискретная случайная величина X имеет рядраспределенияxiP(X = xi )-21/10-11/503/1013/1021/108.9 Скорость пешехода на дистанции в 1 км является случайнойвеличиной, равномерно распределенной на отрезке от 2 км/ч до 663км/ч.

Найти вероятность того, что время, затраченное на преодолениедистанции, превысит 24 минуты.8.10 Закон Рэлея с плотностью распределения2Axe−x /2 при x ≥ 0;f (x) =0 при x < 0в ряде случаев описывает распределение срока службы электроннойаппаратуры. Найти коэффициент A, функцию распределения ивероятность того, что случайная величина, распределенная по законуРэлея, примет значение, большее 1.8.11 Случайная величина X имеет плотность распределенияA cos 4x при x ∈ [0; π/8];f (x) =0 при x ∈/ [0; π/8].Найти коэффициент A и функцию распределения. Построить графикиплотности распределения и функции распределения.8.12 Непрерывная функция распределения случайной величины X заданавыражением0 при t ≤ 0;At3 при 0 < t ≤ 2;F (t) =1 при t > 0.Найти коэффициент A, плотность распределения, а также P(0 < X < 1).Построить графики функции распределения и плотности распределения.8.13 На окружность радиуса R с центром в начале координат наудачуброшена точка.

Найти функцию и плотность распределения:а) абсциссы точки попадания;б) длины хорды, соединяющей точку попадания с точкой (−R, 0).8.14 Равнобедренный треугольник образован единичным вектором внаправлении оси абцисс и единичным вектором в случайном направлениив R2 . Найти функцию распределения длины третьей стороны.8.15 Из точки (0, a) проведена прямая под углом ϕ к оси ординат. Найтифункцию распределения точки пересечения этой прямой с осью абцисс,если угол ϕ равномерно распределен в промежутке:а) (0, π/2);б) (−π/2, π/2).8.16 На отрезок оси ординат между точками (0, 0) и (0, R) наудачуброшена точка.

Через точку попадания проведена хорда окружностиx2 + y 2 = R2 , перпендикулярная оси ординат. Найти распределениедлины этой хорды.8.17Говорят, что случайная величина X имеет показательное64распределение с параметром α > 0 (X ⊂= E(α)), если ее распределениеабсолютно непрерывно с плотностью:(ce−αt , если t > 0,fX (t) =0,если t ≤ 0.Найти значение входящей в определение fX (t) постоянной c и функциюраспределения FX (t). Построить графики плотности распределения ифункции распределения.8.18 Можно ли подобрать постоянную c так, чтобы функция ct−4 былаплотностью распределения на множестве:а) [1; ∞);в) [-2;-1];б) (0; ∞);г) [-3;0).8.19 Пусть случайная величина X распределена равномерно на отрезке[0,1] (X ⊂= U [0; 1]). Найти плотности распределения следующих случайныхвеличин:а) − ln X;в) − ln(1 − X);б) X − 1/X;г) eX−1 .8.20 Пусть случайная величина X имеет показательное распределение спараметром α (X ⊂= E(α), см.

задачу 8.17), то есть абсолютно непрерывноес плотностью(αe−αt , если t > 0,fX (t) =0,если t ≤ 0.Найти√ плотности распределения следующих случайных величин:г) ln(αX);а) X;б) X 2 ;д) e−αX ;в) 2X;е) min(X, X 2 ).8.21 Пусть случайная величина X имеет плотность распределения p.Найти плотности распределения следующих величин:а) aX + b, a , b ∈ R, a 6= 0; г) X 3 ;б) X −1 ;д) eX ;2в) X ;е) |X − 1|.65Глава 9Математическое ожидание§ 9.1.Определение и свойстваПусть X = X(ω) — случайная величина, заданная на пространствеэлементарных исходов Ω.Математическим ожиданием с.в.Xназывается число,обозначаемое EX или MX, которое определяется следующим образом.Если X имеет дискретное распределение: pn = P(X = xn ), n = 1, 2, . .