Аркашов Н.С. - Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика, страница 3

. . , 6, j = 1, . . . , 6}. Тогдауказанные события совпадают со следующими подмножествами Ω :A = {(3, 3), (3, 6), (6, 3), (6, 6)}; B = Ω;C = {(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4, 4), (5, 5), (6, 6)}; D = ∅.Событие B достоверно, так как оно происходит при любом элементарномисходе (i, j) ∈ Ω, событие D невозможно (если бы оно могло произойти, токакое-нибудь из двух выпавших чисел должно делиться на 7), события Aи C случайны.▽1§ 1.3.Задачи для самостоятельного решения1.1 Что означают события A ∪ A и A ∩ A?1.2 Когда возможно равенство A ∩ B = A ?1.3 События: A — хотя бы один из трех проверяемых приборовбракованный, B — все приборы доброкачественные.

Что означают события:а) A ∪ B; б) A ∩ B?1.4 Среди студентов, собравшихся на лекцию по теории вероятностей,наудачу выбирают одного. Пусть событие A заключается в том, чтовыбранный студент окажется юношей; событие B в том, что он не курит,а событие C - в том, что он живет в общежитии. Описать событие ABC.Когда справедливы:а) равенство ABC = A;в) равенство A = B;б) включение C ⊂ B;г) равенство B = B?1.5 Рабочий изготовил n деталей. Пусть событие Ai состоит в том, что i-яизготовленная им деталь имеет дефект. Записать событие, заключающеесяв том, что:а) ни одна из деталей не имеет дефектов;1Конец решения или доказательства.12б) хотя бы одна деталь имеет дефект;в) ровно одна деталь имеет дефект;г) не более двух деталей имеют дефекты;д) по крайней мере две детали не имеют дефектов;е) точно две детали дефектны.1.6 Преподаватель проводит занятия с группой из трех студентов.Событие A — первый студент потребует внимание преподавателя в течениечаса; B — второй студент потребует внимание преподавателя в течениечаса; C — третий студент потребует внимание преподавателя в течениечаса.

Что означают события: а) ABC; б) A+B+C; в) AB C+ABC+A BC;г) ABC + ABC + ABC; д) A B C; е) A + B + C − ABC?1.7 Событие A — хотя бы одно из четырех имеющихся изделийбракованное, событие B — бракованных изделий среди них не менее двух.Что означают противоположные события A и B?1.8 Совместны ли события A и A ∪ B?1.9 Доказать тождества:а) (A + BC)(B + AC)( C + AB) = ABC + A B C.в) (A − B) + (A − C) = A − BC.1.10 Доказать, что следующие события достоверны: а) (A + B)(A + B) +(A + B)(A + B);б) (A + B)(A + B) + (A + B)(A + B).1.11 Доказать, что событие (A + B)(A + B)(A + B)(A + B) невозможно.1.12 Установить какие из следующих соотношений правильны:а) (A + B) \ C = A + (B \ C);д) ABC = AB(B + C);б) (A + B)C = ABC;е) (A + B)C = AC + BC;в) A + B + C = A B C;ж) ABC ⊂ A + B;г) (A + B)C = C \ C(A + B);з) (AB + BC + CA) ⊂ (A + B + C).1.13 Из таблицы случайных чисел наудачу выбрано одно число.

Событие A— выбранное число делится на 5; событие B — данное число оканчиваетсянулем. Что означают события A\B и A ∩ B?13Глава 2Классическое вероятностноепространство§ 2.1.Вероятностное пространство,классическое определение вероятностиПусть пространство элементарных исходов конечно, то естьΩ = {ω1 , ω2 , ..., ωN }. При этом вероятность любого события A вычисляетсяпо формуле:N (A)P(A) =,(2.1)Nгде N (A) — число элементарных исходов, образующих событие A,N = N (Ω) — число всех элементарных исходов. Равенство (2.1) называютклассическим определением вероятности.

Из этого определениялегко следует, чтоМ1. P(Ω)=1 и P(A) ≥ 0 для любого подмножества A ⊆ Ω;М2. для любыхмножеств A1 , A2 , ... выполняетсяS∞ попарноPнесовместных∞равенство P( i=1 Ai ) = i=1 P(Ai ) (свойство σ−аддитивности).Более того, о всякой функции заданной на множестве подмножеств из Ω иобладающей свойствами М1 и М2 мы в дальнейшем будем говорить как овероятностной мере. В частности, из свойств M1 и М2 вытекают следующиеочень полезные свойства вероятности.1. P(A) = 1 − P(A).2. Если A ⊆ B, то P(B \ A) = P(B) − P(A).3. P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(AB).Докажем первое равенство. Поскольку события A и A не пересекаются,14при этом A ∪ A = Ω, то, используя свойства M1 и M2, получаем1 = P(Ω) = P(A ∪ A) = P(A) + P(A),откуда собственно и получается требуемоеS равенство.

Докажем второеравенство. Т.к. A ⊆ B, то B = (B \ A) A. При этом события B \ A иA не пересекаются, поэтому, применяя свойство M2, получаем P(B) =P(B \ A) + P(A), поэтому и P(B \ A) = P(B) − P(A). Так же простодоказывается и третье равенство. Для этого достаточно заметить, чтоA ∪ B = (A \ AB) ∪ AB ∪ (B \ AB). Множества A \ AB, AB и B \ AB попарноне пересекаются, следовательно, применяя M2 и второе соотношение,получаемP(A ∪ B) = P(A \ AB) + P(AB) + P(B \ AB)= P(A) − P(AB) + P(AB) + P(B) − P(AB) = P(A) + P(B) − P(AB).§ 2.2.Элементы комбинаторикиПусть имеется конечное множество S = {a1 , a2 , . .

. , an }, которое будемназывать генеральной совокупностью, а число его элементов n – объемомгенеральной совокупности.Определение 2.1. Выборкой объема k из генеральнойсовокупности объема n называется упорядоченный набор из kэлементов генеральной совокупности S : (aj1 , aj2 , . . . , ajk ). Выборканазывается выборкойсвозвращением, если она можетсодержать повторяющиеся (одинаковые) элементы, или выборкойбез возвращения, если все ее элементы различны.Например, семизначный номер телефона представляет выборку объема7 из генеральной совокупности объема 10 (количество цифр от 0 до9). Поскольку цифры в номере могут повторяться, это выборка свозвращением.

Названия трех карт, извлеченных по порядку из колоды,образуют выборку без возвращения объема 3 из генеральной совокупностивсех карт колоды, например: (туз треф, туз бубей, дама пик).Заметим, что названия «выборка с возвращением» и «выборка безвозвращения» отражают процесс извлечения выборок из генеральнойсовокупности: извлекая по порядку каждый элемент выборки свозвращением, мы его отмечаем и возвращаем в генеральнуюсовокупность.

При извлечении выборки без возвращения, элементы15в генеральную совокупность не возвращаются. Для выборки безвозвращения распространено и другое название: размещение из nэлементов по k. Выборки с возвращением называют также размещениямис повторениями.Теорема 2.1. Число всех выборок с возвращением (или числоразмещений с повторениями) из n элементов по k обозначается Bnk ивычисляется формулой:Bnk = nk .(2.2)Число всех выборок без возвращения (или число размещений) из nэлементов по k обозначается Akn или n[k] и вычисляется по формуле:Akn = n[k] = n · (n − 1) · · · (n − k + 1) =n!.(n − k)!(2.3)Доказательство.

Извлечение выборки из генеральной совокупностиможно представить как процесс заполнения следующей таблицы:aj1aj2aj3···ajk−1ajkПри этом, если речь идет о выборке с возвращением, то первую клеткутаблицы можно заполнить n способами, поскольку на месте элементаaj1 может оказаться любой из n элементов генеральной совокупности;вторую клетку также можно заполнить n способами, поскольку элементaj2 извлекается из полной генеральной совокупности. Таким образом,число способов, которыми можно заполнить пару из двух первых клеток,равно n · n = n2 .

Рассуждая аналогично, можно сказать, что три клеткизаполняются n3 способами, а вся таблица из k клеток может бытьзаполнена числом способов, равным nk . Это и есть число всех выборокс возвращением. Выведем теперь вторую формулу. Поскольку речь идет овыборке без возвращения, то первую клетку таблицы можно заполнить nспособами; вторую соответственно n−1 способом, т.к. элемент, который мыпоставили в первую клетку использоваться уже не может и т.д. и, наконец,k-ую клетку таблицы можно заполнить n − k + 1 способами. Посколькукаждый способ заполнения 1-ой клетки свободно комбинируется со всемиспособами заполнения 2-ой клетки и т.д. до k-ой клетки, то получаемn!.

⊳Akn = n(n − 1) . . . (n − k + 1) = (n−k)!Пример 2.1. Случайный эксперимент состоит в произвольномразмещенииkразличимых шаров поnящикам(k ≤ n).Предполагается, что каждый шар случайно и равновозможно можетоказаться в любом ящике. Найти вероятность того, что в результатеэксперимента все шары окажутся в разных ящиках.16Решение. Занумеруем все ящики и множество номеров S = {1, 2, ..., n}будем считать генеральной совокупностью.

Случайный эксперимент поразмещению k шаров (будем считать, что они тоже занумерованы)можно представить как извлечение выборки объема k из генеральнойсовокупности объема n: эта выборка состоит из номеров ящиков,предназначенных для каждого из k шаров. Поскольку каждый шар можетизначально оказаться в любом ящике, то номера ящиков для разныхшаров могут повторяться, следовательно, выборка, представляющаякаждый элементарный исход описываемого эксперимента, есть выборка свозвращением объема k из генеральной совокупности объема n.

Общеечисло всех элементарных исходов равно N = N (Ω) = Bnk = nk .Событие A={все шары окажутся в разных ящиках} образуется такимиэлементарными исходами, при которых номера ящиков для различныхшаров должны быть различны, следовательно, событие A есть множествовсех выборок без возвращения из n элементов по k .

Их число N (A) =Akn = n[k] . Тогда вероятность события A равнаP(A) =Akn[k]n · (n − 1) · · · (n − k + 1)N (A)= nk = k =.NBnnnk⊳Задача, рассмотренная в этом примере, является модельной, илиэталонной, в том смысле, что на язык этой задачи можно перевестимножество других задач с иным конкретным содержанием, и тогда ответстановится очевидным.Пример 2.2. Случайный эксперимент состоит в четырехкратномподбрасывании игральной кости. Найти вероятность того, что числа,появившиеся на верхней грани, во всех четырех бросаниях будутразличны.Решение. Суть эксперимента не изменится, если вместо четырехбросаний одной кости подбрасывать поочередно четыре различныекости.

Тогда условия и вопрос задачи становятся полностью идентичнырассмотренным в примере 2.1: кости соответствуют шарам, а числа наверхней грани – номерам ящиков. Для нашего случая число шаров k = 4,число ящиков n = 6, а вероятность интересующего события равнаP(A) =6[4]6·5·4·35==.446618⊳Определение 2.2. Перестановкой из n элементов называетсявыборка без возвращения, объем которой совпадает с объемом nгенеральной совокупности.17Термин «перестановка» отражает тот факт, что извлечение любойвыборки без возвращения объема n из генеральной совокупности тогоже объема n равносильно выстраиванию всех элементов генеральнойсовокупности в определенном порядке, то есть некоторой перестановке,или упорядочению, генеральной совокупности.Следствие 2.1. Число всех перестановок из n элементовобозначается Pn и вычисляется формулой:Pn = n!(2.4)Доказательство вытекает из равенств: Pn = Ann = n · (n − 1) · · · 2 · 1.Пример2.3.