Аркашов Н.С. - Высшая математика. Теория вероятностей и математическая статистика, страница 2

Простейший примертакого эксперимента — игра в «орел» и «решку», которая состоит вподбрасывании монеты. В этом эксперименте возможны лишь два исхода:выпадение «орла» («герба») или «решки» («решетки»), – при этомточно предсказать результат до проведения эксперимента невозможно.Примеры неслучайных (детерминированных) экспериментов можнопривести из области естественных наук: химические реакции, физическиеэксперименты, движение космических тел и т.п. В этих экспериментахпроцесс определяется управляющим законом (уравнением) и начальнымиусловиями, знание которых, как правило, позволяет предсказать результатэксперимента до его проведения.Понятие случайного эксперимента является, однако, чересчур общим.Теория вероятностей изучает не всякие случайные эксперименты, а лишьтакие, которые обладают двумя свойствами: а) имеют массовый характер,т.е.

могут быть воспроизведены в неизменных условиях какое угодночисло раз; б) подчиняются закону статистической устойчивости. Пояснимподробнее последнее свойство.Проведем случайный эксперимент n раз. Рассмотрим какой-либо егоисход A и обозначим νn (A) число появлений исхода A в n проведенныхνn (A)экспериментах. Отношение= µn (A) называют частотой ,nили относительной частотой события A в n испытаниях. Говорят,что случайный эксперимент обладает свойством статистическойустойчивости, если для любого его исхода A частота µn (A) имееттенденцию стабилизироваться, неограниченно приближаясь к некоторомучислу P (A), когда число n проведенных испытаний неограниченновозрастает.Подводя итог, можно сказать, что теория вероятностей изучаетматематические модели случайных экспериментов, имеющих массовыйхарактер и обладающих свойством статистической устойчивости.7При этом закономерности случайных явлений проявляются не врезультатах отдельных единичных экспериментов, а лишь при большомчисле их повторений.

Было замечено, что, несмотря на непредсказуемостьрезультатов отдельных подбрасываний монеты, частота выпадения«герба» при увеличении количества подбрасываний приближается кчислу 1/2. Так, К. Пирсон бросал монету 24 000 раз, при этом «герб»выпал в 12 012 случаях. Частота выпадения «герба» равна µn (Г) =12012/24000 = 0, 5005, что очень близко к 1/2. Природа описанногорезультата связана с симметричностью монеты, ни одна из сторон которойне имеет преимущества перед другой, поэтому доли появлений «герба» и«решетки» одинаковы и близки к 50 %.

Однако подобная симметрия необязательно присутствует в случайных экспериментах с двумя исходами.Например, при кажущейся равновозможности появления мальчика илидевочки при рождении ребенка частоты этих событий неодинаковы: издемографических наблюдений известно, что частота рождения мальчикаприближенно равна 0,511, а девочки — соответственно 0,489. Тем не менееустойчивость частот присутствует и в этом «случайном эксперименте».Все сказанное выше о предмете теории вероятностей автоматическиставит вопрос о рамках применимости ее результатов.

Ответ на этотвопрос связан с проверкой свойства статистической устойчивости тогоили иного случайного эксперимента. К сожалению, исчерпывающегонаучного подхода для обоснования статистической устойчивости или ееотсутствия не существует. Ведь даже эксперимент, предпринятый К.Пирсоном, строго говоря, ничего не доказывает, поскольку основан нарезультатах конечного числа проведенных испытаний, а осуществитьбесконечную последовательность испытаний физически невозможно.Вопрос о применимости результатов теории вероятности остается заее пределами и решается в конкретных областях применения путемэкспериментальной проверки теоретических результатов.

Важную роль вразработке методов экспериментальной проверки играет математическаястатистика – наука, родственная теории вероятностей. Речь о ней пойдетв последующих главах этой книги.8Глава 1Случайный эксперимент, события§ 1.1.События, операции над событиямиТеория вероятностей изучает математические модели случайныхэкспериментов.

Под случайным подразумевается такой эксперимент,исходы которого неоднозначно определяются начальными условиями.Простейшим примером такого эксперимента является подбрасываниемонеты. В этом эксперименте возможны лишь два исхода: выпадение«герба» или «решетки», — при этом точно предсказать результат допроведения эксперимента невозможно.Со всяким случайным экспериментом можно связать множествоΩ = {ω}всех его взаимоисключающих исходов.

Это множествоназывают пространством элементарных исходов, а его элементы— элементарными исходами. Результатом проведения случайногоэксперимента является некоторый элементарный исход ω ∈ Ω.Событиями называют подмножества пространства элементарных исходовΩ.

Выражение «произошло событие A» означает ω ∈ A, где ω— элементарный исход, явившийся результатом эксперимента. Любое«событие» в обычном понимании, то есть любой исход случайногоэксперимента, может быть представлено некоторым подмножеством A ⊆Ω при подходящем выборе пространства элементарных исходов. Вдальнейшем не будем различать «события» в обычном понимании исобытия — подмножества Ω.Событие называется достоверным, если в результате экспериментаоно непременно происходит; событие называется невозможным, если врезультате эксперимента оно не может произойти; событие называетсяслучайным, если в результате эксперимента оно может произойти,а может не произойти.

Так как для любого элементарного исхода ωсоотношение ω ∈ Ω имеет место всегда, то все пространство Ω9соответствует достоверному событию, пустое множество ∅ — невозможномусобытию, собственные подмножества A ⊂ Ω представляют случайныесобытия.Пусть A и B какие-нибудь события (подмножества Ω).Объединением, или суммой, этих событий называется объединениеA ∪ B множеств A и B. Пересечением или произведением событийназывается их теоретико-множественное пересечение . Аналогично,разностью событий A и B называется разность A \ B соответствующихмножеств. Противоположным к событию A называется дополнение A =Ω \ A множества A.Появление события A ∪ B в результате эксперимента означает, чтоэлементарный исход ω ∈ A ∪ B , а это имеет место, если ω ∈ A или ω ∈ B.Поэтому можно сказать, что объединение (сумма) событий происходиттогда и только тогда, когда происходит хотя бы одно из этих событий.Аналогично, пересечение (произведение) событий происходит тогда итолько тогда, когда эти события происходят совместно.Разность A \ B событий происходит тогда и только тогда, когдапроисходит A, но не происходит B.Противоположное событие A происходит тогда и только тогда,когда само A не происходит.Говорят, что событие A влечет событие B, или A содержитсяв B, если A является подмножеством B: A ⊆ B.

События называютсяравными, или эквивалентными, если они совпадают как множества:A = B. Очевидно, что A = B тогда и только тогда, когда каждое изэтих событий влечет другое.Объединение и пересечение более чем двух событий определяютсяаналогично, т.е. как объединение и пересечение соответствующихподмножеств. Например,n[∞\AkBnn=1k=1означают соответственно объединение конечного и пересечениебесконечного (счетного) множества событий.События называют непересекающимися, или несовместными,если их пересечение есть невозможное событие.

События из некоторойсовокупности A1 , A2 , ..., An , ... называют попарно несовместными, еслилюбые два из них несовместны, т.е. Ai ∩ Aj = ∅ при i 6= j.Поскольку введенные операции над событиями тождественнысоответствующим операциям над множествами, то они подчиняются всем10аксиомам операций над множествами:A ∪ B = B ∪ A, A ∩ B = B ∩ A(коммутативность);A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C), A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C) (ассоциативность);A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C), A∪(B∩C) = (A∪B)∩(A∪C) (дистрибутивность);[\\[An =An ,An =An (двойственность);nnnn(A) = A (отрицание отрицания).Заметим в заключение, что для обозначения введенных операцийобъединения (суммы), пересечения (произведения), разности событийиспользуются также традиционные алгебраические символы: «+», «·»,«−»:A ∪ B = A + B, A ∩ B = AB, A \ B = A − B,§ 1.2.n[k=1Ak =nXAk .k=1Решение типовых примеровПример1.1.

Случайный эксперимент состоит в однократномподбрасывании игральной кости – правильного кубика с нанесеннымина гранях числами от 1 до 6. Обозначим черезωk исход,состоящий в появлении на верхней грани числа k. Тогда в качествепространства элементарных исходов можно взять множество Ω ={ω1 , ω2 , ω3 , ω4 , ω5 , ω6 }.Пример 1.2. Рассмотрим случайный эксперимент из предыдущегопримера.

Введем следующие «события»: A = { выпадение четного числа},B = {выпадение числа, меньшего 3}, C = {выпадение дробного числа}. Привыборе пространства элементарных исходов из примера 1.1 указанные«события» очевидным образом представляются множествами: A ={ω2 , ω4 , ω6 }, B = {ω1 , ω2 }, C = ∅.Пример 1.3. Случайный эксперимент – двукратное подбрасываниеигральной кости. Построить подходящее пространство элементарныхисходов Ω для описания следующих событий: A = {оба раза выпало числоочков, кратное трем}, B = {сумма выпавших чисел не больше 12}, C =11{выпали одинаковые числа}, D = {произведение выпавших чисел делитсяна 14}.

Найти подмножества Ω, образующие эти события, указатьдостоверные, невозможные и случайные события.Решение.Поскольку результатом эксперимента является парачисел, выпавших на верхней грани при первом и втором подбрасыванииигральной кости, то в качестве пространства элементарных исходовестественно выбрать множество всех упорядоченных наборов из двухчисел, каждое из которых может принимать любое из натуральныхзначений от 1 до 6, т.е. Ω = {(i, j) : i = 1, .