Лекции - Волновая оптика, страница 3

4 наибольший радиус. По мере приближения к точке Bрадиусы сферических вторичных волн, испущенных промежуточными точками, уменьшаютсядо нуля — ведь вторичная волна будет излучена тем позже, чем ближе её источник находитсяк точке B.Волновая поверхность BT отражённой волны есть плоскость, касательная ко всем этимсферам.

На нашем планиметрическом чертеже BT есть отрезок касательной, проведённой източки B к самой большой окружности с центром в A и радиусом AT .Теперь заметим, что радиус AT — это расстояние, пройденное вторичной волной с центромв A за то время, пока волновая поверхность AS двигается к точке B. Скажем это чуть подругому: время движения вторичной волны от точки A до точки T равно времени движенияпадающей волны от точки S до точки B. Но скорости движения падающей и вторичной волнсовпадают — ведь дело происходит в одной и той же среде! Поэтому, раз совпадают скоростии времена, то равны и расстояния: AT =BS.Получается, что прямоугольные треугольники ABT и ABS равны по гипотенузе и катету.Стало быть, равны и соответствующие острые углы: ∠ABT = ∠BAS. Остаётся заметить, что∠ABT = ϕ (так как оба они равны 90◦ − ∠BAT ) и ∠BAS = α (оба они равны 90◦ − ∠N AS).Таким образом, ϕ = α — угол отражения равен углу падения, что и требовалось.Кроме того, из построения на рис.

4 нетрудно видеть, что выполнено и второе утверждениезакона преломления: падающий луч P1 A, отражённый луч AQ1 и нормаль AN к отражающейповерхности лежат в одной плоскости.72.6Вывод закона преломленияТеперь покажем, как из принципа Гюйгенса следует закон преломления. Будем для определённости считать, что плоская электромагнитная волна распространяется в воздухе и падает награницу KL с некоторой прозрачной средой (рис. 5). Как обычно, угол падения α есть уголмежду падающим лучом и нормалью к поверхности, угол преломления β — это угол междупреломлённым лучом и нормалью.P2P1SααKdLBβAβQ2TNQ1Рис.

5. Преломление волныТочка A является первой точкой отрезка AB, которой достигает волновая поверхность ASпадающей волны; в точке A излучение вторичных волн начинается раньше всего. Пусть t —время, которое с этого момента требуется падающей волне, чтобы достичь точки B, то естьпройти отрезок SB.Скорость света в воздухе обозначим c, скорость света в среде пусть будет v. Пока падающая волна проходит расстояние SB = ct и достигает точки B, вторичная волна из точки Aраспространится на расстояние AT = vt.Поскольку v < c, то AT < SB. Вследствие этого волновая поверхность BT не параллельнаволновой поверхности AS — происходит преломление света! В рамках геометрической оптики не давалось никакого объяснения того, почему вообще наблюдается явление преломления.Причина преломления кроется в волновой природе света и становится понятной с точки зренияпринципа Гюйгенса: всё дело в том, что скорость вторичных волн в среде меньше скоростисвета в воздухе, и это приводит к повороту волновой поверхности BT относительно исходногоположения AS.Из прямоугольных треугольников ABS и ABT легко видеть, что SB = d sin α и BT = d sin β(для краткости обозначено d = AB).

Имеем, таким образом:d sin α = ct,d sin β = vt.Поделив эти уравнения друг на друга, получим:csin α= .sin βvОтношение синуса угла падения к синусу угла преломления оказалось равно постоянной величине c/v, не зависящей от угла падения. Эта величина называется показателем преломления8среды:c.vПолучился хорошо известный нам закон преломления:n=sin α= n.sin βОбратите внимание: физический смысл показателя преломления (как отношения скоростейсвета в вакууме и в среде) прояснился опять-таки благодаря принципу Гюйгенса.Из рис.

5 очевидно и второе утверждение закона преломления: падающий луч P1 A, преломлённый луч AQ1 и нормаль AN к границе раздела лежат в одной плоскости.93Интерференция волнИзучая принцип Гюйгенса, мы говорили о том, что общая картина волнового процесса создаётсяналожением вторичных волн и сказали пару слов про интерференцию. Сейчас мы займёмсяэтим явлением подробнее. Итак: в чём состоит физический смысл наложения волн? Что вообщепроисходит, когда в пространстве одновременно распространяются несколько волн?В данном разделе оптический характер явлений временно отодвигается на второй план.Природа рассматриваемых волновых процессов сейчас значения не имеет — это могут бытьмеханические волны в упругой среде или электромагнитные волны (в частности, свет) в прозрачной среде или в вакууме. Полученные нами результаты будут одинаково справедливы длявсех видов волн.Нас в первую очередь интересует взаимодействие двух волн — это самая простая и частовстречающаяся в оптике ситуация3 .3.1Сложение колебанийОпыт показывает, что волны складываются друг с другом в следующем смысле.Принцип суперпозиции.

Если две волны накладываются друг на друга в определённой области пространства, то они порождают новый волновой процесс. При этом значение колеблющейся величины в любой точке данной области равно сумме соответствующих колеблющихсявеличин в каждой из волн по отдельности.Например, при наложении двух механических волн перемещение частицы упругой средыравно сумме перемещений, создаваемых в отдельности каждой волной. При наложении двухэлектромагнитных волн напряжённость электрического поля в данной точке равна сумме напряжённостей в каждой волне (и то же самое для индукции магнитного поля).Разумеется, принцип суперпозиции справедлив не только для двух, но и вообще для любогоколичества накладывающихся волн.

Результирующее колебание в данной точке всегда равносумме колебаний, создаваемых каждой волной по отдельности.Мы ограничимся рассмотрением наложения двух волн одинаковой амплитуды и частоты.Этот случай наиболее часто встречается в физике и, в частности, в оптике.Оказывается, на амплитуду результирующего колебания сильно влияет разность фаз складывающихся колебаний. В зависимости от разности фаз в данной точке пространства две волнымогут как усиливать друг друга, так и полностью гасить!Предположим, например, что в некоторой точке фазы колебаний в накладывающихся волнах совпадают (рис.

6).Рис. 6. Волны в фазе: усиление колебанийМы видим, что максимумы красной волны приходятся в точности на максимумы синей волны, минимумы красной волны — на минимумы синей (левая часть рис. 6). Красная и синяяволны складываются в фазе и усиливают друг друга, порождая колебания удвоенной амплитуды (волна цвета маджента4 справа на рис. 6).3Сложение нескольких волн — так называемая многолучевая интерференция — у нас возникнет лишь прирассмотрении дифракционной решётки, и то в своём простейшем виде.4Маджента — цвет, получающийся в результате смешения красного и синего цветов.

К рассматриваемойтеме данная ремарка отношения не имеет — это просто для расширения кругозора ;-)10Теперь сдвинем синюю синусоиду относительно красной на половину длины волны. Тогдамаксимумы синей волны будут совпадать с минимумами красной и наоборот — минимумы синейволны совпадут с максимумами красной (рис. 7, слева).Рис. 7. Волны в противофазе: гашение колебанийКолебания, создаваемые этими волнами, будут происходить, как говорят, в противофазе —разность фаз колебаний станет равна π.

Результирующее колебание окажется равным нулю,т. е. красная и синяя волны попросту уничтожат друг друга (рис. 7, справа).3.2Интенсивность волныЭнергетической характеристикой волны является её интенсивность (называемая также плотностью потока излучения):W.(1)I=StЗдесь W — энергия, которая переносится за время t через поверхность площади S, расположенную перпендикулярно лучам.

Таким образом, интенсивность I — это энергия, переносимаяволной вдоль лучей через единицу площади в единицу времени.Пусть w — объёмная плотность энергии волны, то есть отношение переносимой волной энергии W к объёму области, через которую эта энергия переносится:W.VОказывается, объёмная плотность энергии пропорциональна квадрату амплитуды A колебаний в волне: w ∼ A2 . Подробно мы вдаваться в этот вопрос не будем, но полезной ассоциациейтут служит известная вам формула w = ε0 εE 2 /2 для объёмной плотности энергии электрического поля.Далее, имеется простое соотношение между интенсивностью и объёмной плотноcтью энергии:I = wc,w=где c — скорость волны (эта формула вам встречалась, когда вы проходили электромагнитныеволны).Отсюда следует, что интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды колебаний:I ∼ A2 . Можно сказать и по-другому:амплитуда колебаний пропорциональна квадратному√корню из интенсивности: A ∼ I.В сферической волне энергия равномерно распределяется по поверхности сферы, радиус rкоторой увеличивается в процессе распространения волны.

Площадь поверхности сферы естьS = 4πr2 , поэтому из формулы (1) для интенсивности сферической волны получим:W.4πr2 tКак видим, интенсивность сферической волны обратно пропорциональна квадрату расстояния до источника.Поскольку амплитуда колебаний A, как мы выяснили, пропорциональна корню из интенсивности, мы приходим к следующему выводу: амплитуда колебаний в сферической волне обратнопропорциональна расстоянию до источника.I=113.3Когерентные источникиПусть имеются два точечных источника, создающие волны в окружающем пространстве. Мыполагаем, что эти источники согласованы друг с другом в следующем смысле.Когерентность. Два источника называются когерентными, если они имеют одинаковую частоту и постоянную, не зависящую от времени разность фаз. Волны, возбуждаемые такимиисточниками, также называются когерентными.Итак, рассматриваем два когерентных источника S1 и S2 .

Для простоты считаем, что источники излучают волны одинаковой амплитуды, а разность фаз между источниками равнанулю. Словом, эти источники являются «точными копиями» друг друга.В оптике такие идентичные источники могут быть получены разными способами. Например, оба источника S1 и S2 служат изображениями одного и того же источника S в какой-либооптической системе.