Лекции - Волновая оптика, страница 2

Луч — это линия в пространстве, которая в каждой своей точке перпендикулярна волновой поверхности, проходящей через эту точку.Иными словами, луч есть общий перпендикуляр к семейству волновых поверхностей. Направление луча — это направление распространения волны. Вдоль лучей осуществляется перенос энергии волны от одних точек пространства к другим.По мере распространения волны происходит перемещение границы, которая разделяет область пространства, захваченную волновым процессом, и невозмущённую пока ещё область.Эта граница называется волновым фронтом. Таким образом, волновой фронт — это множествовсех точек пространства, которых достиг колебательный процесс в данный момент времени.Волновой фронт есть частный случай волновой поверхности; это, если можно так выразиться,«самая первая» волновая поверхность.К наиболее простым видам геометрических поверхностей относятся сфера и плоскость.

Соответственно, имеем два важных случая волновых процессов с волновыми поверхностями такойформы — это сферические и плоские волны.2.2Сферическая волнаВолна называется сферической, если её волновые поверхности — сферы (рис. 1).Рис. 1. Сферическая волнаВолновые поверхности показаны синим пунктиром, а зелёные радиальные стрелки — этолучи, перпендикулярные волновым поверхностям.Понятие сферической волны оказывается чрезвычайно полезным. В самом деле, возьмёмпрозрачную однородную среду, физические свойства которой одинаковы вдоль всех направлений.

Точечный источник света, помещённый в такую среду, излучает сферические волны (этопонятно — ведь свет пойдёт в каждом направлении с одинаковой скоростью, так что любаяволновая поверхность будет сферой). Ну а протяжённый источник света можно рассматривать4как совокупность точечных источников, и наложение сферических волн этих источников дастобщую световую волну, идущую от протяжённого источника.Кроме того, обсуждаемые ниже вторичные волны (центральное понятие принципа Гюйгенса) являются именно сферическими.2.3Плоская волнаВолна называется плоской, если её волновые поверхности — плоскости (рис. 2).Рис. 2.

Плоская волнаСиним пунктиром показаны параллельные плоскости, являющиеся волновыми поверхностями. Лучи — зелёные стрелки — снова оказываются прямыми линиями.Плоская волна — одна из важнейших идеализаций волновой теории; математически онаописывается наиболее просто. Этой идеализацией можно пользоваться, например, когда мынаходимся на достаточно большом расстоянии от источника. Тогда в окрестности точки наблюдения можно пренебречь искривлением сферической волновой поверхности и считать волнуприблизительно плоской.В дальнейшем, выводя законы отражения и преломления из принципа Гюйгенса, мы будемиспользовать именно плоские волны. Но сначала разберёмся с самим принципом Гюйгенса.2.4Вторичные волныМы говорили выше, что распространение волн удобно представлять себе как движение волновых поверхностей.

Но согласно каким правилам перемещаются волновые поверхности? Инымисловами — как, зная положение волновой поверхности в данный момент времени, определитьеё положение в следующий момент?Ответ на этот вопрос даёт принцип Гюйгенса — ключевое утверждение волновой теориисвета. Принцип Гюйгенса имеет весьма общую формулировку и равным образом справедливкак для механических, так и для электромагнитных волн.Вначале, чтобы лучше понять идею Гюйгенса, давайте рассмотрим такой пример. Бросимв воду горсть камней. От каждого камня пойдёт круговая волна с центром в точке падениякамня. Эти круговые волны, накладываясь друг на друга, создадут общую волновую картину на поверхности воды.

Важно то, что все круговые волны и порождённая ими волноваякартина будут существовать и после того, как камни опустятся на дно. Стало быть, непосредственной причиной исходных круговых волн служат не сами камни, а локальные возмущенияповерхности воды в тех местах, куда камни упали. Именно локальные возмущения сами по себеявляются источниками расходящихся круговых волн и формирующейся волновой картины, иуже не столь важно, что конкретно послужило причиной каждого из этих возмущений — камень ли, поплавок или какой-то иной объект.

Для описания последующего волнового процессасущественно только то, что в начальный момент времени в определённых точках поверхностиводы возникли круговые волны.5Так вот, основная идея Гюйгенса состояла в том, что локальные возмущения могут порождаться не только посторонними объектами типа камня или поплавка, но также и распространяющейся в пространстве волной!Принцип Гюйгенса. Каждая точка пространства, вовлечённая в волновой процесс, самастановится источником сферических волн.Эти сферические волны, распространяющиеся во все стороны от каждой точки волновоговозмущения, называются вторичными волнами. Последующая эволюция волнового процессасостоит в наложении вторичных волн, испущенных всеми точками, до которых волновой процесс уже успел добраться.И вот тут возникает самый главный вопрос: а что такое «наложение вторичных волн»? Чтопредставляет собой с физической точки зрения этот процесс и как он описывается математически?Чёткий ответ был дан Френелем в 1815 году: вторичные волны интерферируют друг с другом, и наблюдаемый волновой процесс есть результат интерференции вторичных волн.

Френель разработал математический способ нахождения суммарного волнового поля (метод зонФренеля), а модифицированный Френелем принцип Гюйгенса с тех пор называется принципомГюйгенса–Френеля.Но сам Гюйгенс сформулировал свой принцип в 1678 году, когда об интерференции волнещё не было ничего известно. Гюйгенс предложил лишь геометрический рецепт построенияволновой поверхности в момент времени t + ∆t по известному её положению в текущий моментвремени t (рис.

3).t + ∆ttРис. 3. Принцип Гюйгенса: движение волновых поверхностейИменно, каждую точку исходной волновой поверхности мы рассматриваем как источниквторичных волн. За время ∆t вторичные волны пройдут расстояние c∆t, где c — скорость волны. Из каждой точки старой волновой поверхности строим сферы радиуса c∆t; новая волноваяповерхность будет касательной ко всем этим сферам2 .Этот геометрический рецепт мы и называем «чистым» принципом Гюйгенса.Конечно, для построения волновой поверхности мы не обязаны брать вторичные волны, испущенные точками, лежащими непременно на одной из предыдущих волновых поверхностей.Искомая волновая поверхность будет огибающей семейства вторичных волн, излучённых точками вообще всякой поверхности, вовлечённой в колебательный процесс.

Выбор этой поверхностив каждой конкретной ситуации диктуется соображениями удобства.С помощью своего принципа Гюйгенс пытался объяснить прямолинейное распространениесвета, но сделать этого ему не удалось. Как оказалось впоследствии, вопрос о прямолинейномраспространении света решается только в рамках теории дифракции, которую «чистый» принцип Гюйгенса также не объясняет. Для истолкования дифракционных явлений нужен болеемощный принцип Гюйгенса–Френеля.Но и «чистый» принцип Гюйгенса весьма силён: с его помощью могут быть получены законыотражения и преломления света.2Говорят ещё, что волновая поверхность в любой момент времени служит огибающей семейства вторичныхволн.62.5Вывод закона отраженияПредположим, что на поверхность KL раздела двух сред падает плоская волна (рис.

4). Фиксируем две точки A и B этой поверхности.Q2P2P1NQ1TSα ϕKLABРис. 4. Отражение волныВ эти точки приходят два падающих луча P1 A и P2 B; плоскость AS, перпендикулярнаяэтим лучам, есть волновая поверхность падающей волны.В точке A проведена нормаль AN к отражающей поверхности. Угол α = ∠P1 AN есть, каквы помните, угол падения.Из точек A и B выходят отражённые лучи AQ1 и BQ2 . Перпендикулярная этим лучам плоскость BT есть волновая поверхность отражённой волны. Угол отражения ∠N AQ1 обозначимпока ϕ; мы хотим доказать, что ϕ = α.Все точки отрезка AB служат источниками вторичных волн.

Раньше всего волновая поверхность AS приходит в точку A. Затем, по мере движения падающей волны, в колебательныйпроцесс вовлекаются другие точки данного отрезка, и в самую последнюю очередь — точка B.Соответственно, раньше всего начинается излучение вторичных волн в точке A; сферическаяволна с центром в A имеет на рис.