Лекции - Волновая оптика (1266086), страница 4
Текст из файла (страница 4)
Именно так работает интерференционная схема с зеркалами Френеля, рассматриваемая в следующем разделе.Наложение волн, излучённых источниками S1 и S2 , наблюдается в некоторой точке P . Вообще говоря, амплитуды этих волн в точке P не будут равны друг другу — ведь, как мы толькочто выяснили, амплитуда сферической волны обратно пропорциональна расстоянию до источника, и при разных расстояниях S1 P и S2 P амплитуды пришедших волн окажутся различными.Но во многих случаях точка P расположена достаточно далеко от источников — на расстояниигораздо большем, чем расстояние между самими источниками.
В такой ситуации различие врасстояниях S1 P и S2 P не приводит к существенному отличию в амплитудах приходящих волн.Следовательно, мы можем считать, что амплитуды волн в точке P также совпадают.3.4Условие максимума и минимумаТем не менее, величина δ = |S1 P − S2 P |, называемая разностью хода, имеет важнейшее значение. От неё самым решительным образом зависит то, какой результат сложения приходящихволн мы увидим в точке P .S1PS2Рис.
8. Усиление колебаний в точке PВ ситуации на рис. 8 разность хода равна длине волны (δ = λ). Действительно, на отрезкеS1 P укладываются три полных волны, а на отрезке S2 P — четыре (это, конечно, лишь иллюстрация; в оптике, например, длины таких отрезков могут составлять тысячи и миллионы длинволн).Легко видеть, что волны в точке P складываются в фазе — наблюдается, как говорят,интерференционный максимум. Если красная и синяя волны имеют амплитуду A1 , то результирующая волна в точке P будет иметь удвоенную амплитуду A = 2A1 .
Интенсивность результирующей волны, пропорциональная квадрату амплитуды, будет соответственно в четыре разапревышать интенсивность волн-слагаемых: I = 4I1 .Ясно, что аналогичная ситуация возникнет при разности хода, равной не только длине волны, но и любому целому числу длин волн.12Условие максимума. При наложении когерентных волн колебания в данной точке будутиметь максимальную амплитуду, если разность хода равна целому числу длин волн:δ = nλ (n = 0, 1, 2, . . .).(2)Теперь посмотрим на рис. 9.
На отрезке S1 P укладываются две с половиной волны, а наотрезке S2 P — три волны. Разность хода составляет половину длины волны (δ = λ/2).S1PS2Рис. 9. Гашение колебаний в точке PТеперь нетрудно видеть, что волны в точке P складываются в противофазе и гасят другдруга — наблюдается интерференционный минимум. Амплитуда и интенсивность результирующей волны в точке минимума равны нулю.То же самое будет, если разность хода окажется равна половине длины волны плюс любоецелое число длин волн.Условие минимума. Когерентные волны, складываясь, гасят друг друга, если разность ходаравна полуцелому числу длин волн:δ = nλ +λ2(n = 0, 1, 2, . .
.).(3)Равенство (3) можно переписать следующим образом:λδ = (2n + 1) .2Поэтому условие минимума формулируют ещё так: разность хода должна быть равна нечётному числу длин полуволн.3.5Интерференционная картинаА что, если разность хода принимает какое-то иное значение, не равное целому или полуцеломучислу длин волн?Тогда волны, приходящие в данную точку, создают в ней колебания с некоторой промежуточной амплитудой, расположенной между нулём и удвоенным значением 2A1 амплитудыодной волны. Эта промежуточная амплитуда может принимать все значения от 0 до 2A1 по мере того, как разность хода меняется от полуцелого до целого числа длин волн.
Соответственно,интенсивность результирующей волны принимает значения от 0 до 4I1 .Таким образом, в той области пространства, где происходит наложение волн когерентныхисточников S1 и S2 , наблюдается устойчивая интерференционная картина — фиксированное,не зависящее от времени распределение амплитуд колебаний. А именно, в каждой точке Pданной области амплитуда колебаний принимает своё значение, определяемое разностью ходаδ = |S1 P − S2 P | приходящих сюда волн, и это значение амплитуды не меняется со временем.13Такая стационарность интерференционной картины обеспечивается когерентностью источников.
Если, например, разность фаз источников будет постоянно меняться, то никакой устойчивой интерференционной картины уже не возникнет.Теперь, наконец, мы можем сказать, что такое интерференция.Интерференция — это взаимодействие волн, в результате которого возникает устойчивая интерференционная картина, то есть не зависящее от времени распределение амплитудрезультирующих колебаний в точках области, где волны накладываются друг на друга.Если волны, перекрываясь, образуют устойчивую интерференционную картину, то говорятпопросту, что волны интерферируют. Как мы выяснили выше, интерферировать могут толькокогерентные волны.
Когда, например, разговаривают два человека, то мы не замечаем вокругних чередований максимумов и минимумов громкости; интерференции нет, поскольку в данномслучае источники некогерентны.На первый взгляд может показаться, явление интерференции противоречит закону сохранения энергии — например, куда девается энергия, когда волны полностью гасят друг друга? Ноникакого нарушения закона сохранения энергии, конечно же, нет: энергия просто перераспределяется между различными участками интерференционной картины.
Наибольшее количествоэнергии концентрируется в интерференционных максимумах, а в точки интерференционныхминимумов энергия не поступает совсем.На рис. 10 показана интерференционная картина, созданная наложением волн двух точечных источников S1 и S2 . Картина построена в предположении, что область наблюдения интерференции находится достаточно далеко от источников. Пунктиром отмечена ось симметрииинтерференционной картины.S1S2Рис. 10. Интерференция волн двух точечных источниковЦвета точек интерференционной картины на этом рисунке меняются от чёрного до белогочерез промежуточные оттенки серого.
Чёрный цвет — интерференционные минимумы, белыйцвет — интерференционные максимумы; серый цвет — промежуточное значение амплитуды, ичем больше амплитуда в данной точке, тем светлее сама точка.Обратите внимание на прямую белую полосу, которая идёт вдоль оси симметрии картины.Здесь расположены так называемые центральные максимумы. Действительно, любая точкаданной оси равноудалена от источников (разность хода равна нулю), так что в этой точкебудет наблюдаться является интерференционный максимум.Остальные белые полосы и все чёрные полосы слегка искривлены; можно показать, чтоони являются ветвями гипербол. Однако в области, расположенной на большом расстоянииот источников, кривизна белых и чёрных полос мало заметна, и выглядят эти полосы почтипрямыми.143.6Схема ЮнгаИнтерференционный опыт, изображённый на рис.
10, вместе с соответствующим методом расчёта интерференционной картины называется схемой Юнга. Эта схема лежит в основе знаменитного опыта Юнга (речь о котором пойдёт в разделе «Дифракция света»). Многие экспериментыпо интерференции света так или иначе сводятся к схеме Юнга.В оптике интерференционную картину обычно наблюдают на экране. Давайте ещё раз посмотрим на рис. 10 и представим себе экран, поставленный перпендикулярно пунктирной оси.На этом экране мы увидим чередование светлых и тёмных интерференционных полос.На рис. 11 синусоида показывает распределение освещённости вдоль экрана. В точке O, расположенной на оси симметрии, находится центральный максимум.
Первый максимум в верхнейчасти экрана, соседний с центральным, находится в точке A. Выше идут второй, третий (и такдалее) максимумы.AS1∆xOS2Рис. 11. Интерференционная картина на экранеРасстояние ∆x = OA, равное расстоянию между любыми двумя соседними максимумамиили минимумами, называется шириной интерференционной полосы. Сейчас мы займёмся нахождением этой величины.Пусть источники находятся на расстоянии a друг от друга, а экран расположен на расстоянии L от источников (рис. 12). Экран заменён осью OX; начало отсчёта O, как и выше, отвечаетцентральному максимуму.XPS1N1aS2OLN2Рис.
12. Вычисление координат максимумовТочки N1 и N2 служат проекциями точек S1 и S2 на ось OX и расположены симметричноотносительно точки O. Имеем: ON1 = ON2 = a/2.15Точка наблюдения P может находиться на оси OX (на экране) где угодно. Координатуточки P мы обозначим x. Нас интересует, при каких значениях x в точке P будет наблюдатьсяинтерференционный максимум.Волна, излучённая источником S1 , проходит расстояние:sr2q2a2x − a222.(4)S1 P = S1 N1 + P N1 = L + x −=L 1+22LТеперь вспомним, что расстояние между источниками много меньше расстояния от источников до экрана: a L. Кроме того, в подобных интерференционных опытах координата xточки наблюдения также гораздо меньше L. Это означает, что второе слагаемое под корнем ввыражении (4) много меньше единицы:22x − a 1.2LРаз так, можно использовать приближённую формулу:√α1 + α = 1 + , если α 1.2Применяя её к выражению (4), получим:2 !(2x − a)21 2x − a=L+.S1 P = L 1 +22L8L(5)(6)Точно так же вычисляем расстояние, которое проходит волна от источника S2 до точкинаблюдения:sr2q2a2x+a22.(7)S2 P = S2 N2 + P N2 = L2 + x +=L 1+22LПрименяя к выражению (7) приближённую формулу (5), получаем:2 !1 2x + a(2x + a)2S2 P = L 1 +=L+.22L8L(8)Вычитая выражения (8) и (6), находим разность хода:(2x + a)2 − (2x − a)2ax=.(9)8LLПусть λ — длина волны, излучаемой источниками.
Согласно условию (2), в точке P будетнаблюдаться интерференционный максимум, если разность хода равна целому числу длин волн:axδ== nλ (n = 0, 1, 2, . . .).LОтсюда получаем координаты максимумов в верхней части экрана (в нижней части максимумыидут симметрично):nλLxn =(n = 0, 1, 2, . . .).aПри n = 0 получаем, разумеется, x0 = 0 (центральный максимум). Первый максимум рядомс центральным соответствует значению n = 1 и имеет координату x1 = λL/a. Такой же будет иискомая ширина интерференционной полосы в схеме Юнга:δ = S2 P − S1 P =∆x = xn+1 − xn =(n + 1)λL nλLλL−=.aaa16(10)4Интерференция светаВсё, о чём мы говорили в предыдущем разделе, справедливо для интерференции любых видов волн — в частности, световых.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
