Многоуровневая система моделирования нестационарных и меняющихся режимов работы низкотемпературных установок, страница 11

  .........................................  ................   ..........   Tст ( , xn1 )  C3 n4,1C3 n4 , 2 .....C3n4 ,3 n2 Tст ( , xn1 )  C3 n4, 0  T1 ( , xn1 )   C C......C3 n3, 3 n2  T1 ( , xn1 )   C3 n3, 0 3 n3,1 3 n3, 2T(,x)T(,x)nn ст  C3 n2,1C3 n2 , 2 ......C3n2, 3n2  ст  C3 n2, 0 (1.70)где коэффициенты Сi,j получаются после соответствующих преобразований.Неизвестные T1 ( , x1 ) и T2 ( , xn ) выражаются из граничных условий (1.12).Система(1.70)дополняетсяначальнымиусловиями,т.е.значениямитемператур потоков хладагентов и теплопередающей стенки в опорных точках,которые получаются из (1.13):T2 (0, x1 )  T20 ( x1 ) ;Tст (0, x1 )  Tст0 ( x1 ) ;T1 (0, x2 )  T10 ( x2 ) ;T2 (0, x2 )  T20 ( x2 ) ; Tст (0, x2 )  Tст0 ( x2 ) ;Tст (0, xn 1 )  Tст0 ( xn 1 ) ; T1 (0, xn )  T10 ( xn ) ;(1.71)Tст (0, xn )  Tст0 ( xn ) .Общее решение системы (1.70) с начальными условиями (1.71) дляпостоянных элементов матрицы системы С, но переменных от времениэлементов матрицы-столбца свободных членов С0 имеет следующее матричноерешение [117]:76T ( )  exp(C )T (0)   exp(Cy )C0 (  y)dy0относительно вектора-столбца температур T2 ( , x1 )  Tст ( , x1 )  T ( , x ) 2 1T(,x) 22 T ( , x ) 2T ( 1 )   ст... Tст ( , xn 1 ) T(,x)1n T ( , x ) n стДля случая, когда элементы матрицы-столбца свободных членов С0 постоянныво времени и собственные числа  матрицы С различаются друг от друга,решение системы (1.70) имеет вид экспоненциального ряда:T ( )  (C   j E )j k[exp()C 1C0 ] C 1C0 ,k (k   j )k 13n  2(1.72)jkгде Е- единичная матрица.

Предварительные оценки значений собственныхчисел следуют из теорем об их связи с определителем и следом матрицы [118]3n  2det(C )   iSp(C ) i 13n  2i.iКак ранее указывалось, для большинства теплообменников можнопренебречь аккумуляцией теплоты прямого и обратного потоков, т.е.использовать систему (1.14). приближенное решение ищется в видеT ( , x )  1 ( )   2 ( ) x   3 ( ) x 2(1.73)при использовании квадратного полинома иT ( , x )  '1 ( )  '2 ( ) x  '3 ( ) x 2  '4 ( ) x 3для кубического полинома.(1.74)77В качестве опорных точек используются х1  0 , х2  0,5 , х3  1 дляквадратного полинома и х1  0 , х2  1 3 , х3  2 3 , х4  1 для для кубического'полинома. Выражения для i ( ) (i=1, 2, 3) и  1 ( ) (j=1, 2, 3, 4) находятся изрешения следующих систем:T ( ,0)  1 ( )   2 ( )  0   3 ( )  022T ( ,0,5)  1 ( )   2 ( )  0,5   3 ( )  0,5T ( ,1)   ( )   ( )  1   ( )  12123(1.75)иT ( ,0)   '1 ( )   '2 ( )  0   '3 ( )  02   '4 ( )  03'''2'3T ( ,1 / 3)   1 ( )   2 ( )  (1 / 3)   3 ( )  (1 / 3)   4 ( )  (1 / 3)'''2'3T ( , x )   1 ( )   2 ( )  ( 2 / 3)   3 ( )  ( 2 / 3)   4 ( )  ( 2 / 3)'''2'3T ( , x )   1 ( )   2 ( )  1   3 ( )  1   4 ( )  1(1.76)'После подстановки i ( ) в (1.73) и  1 ( ) в (1.74) получаютсяследующие выражения:T ( , x )  (1  3х  2 х 2 )T ( ,0)  (4 х  4 х 2 )T ( ,0,5)  (2 х 2  х )T ( ,1)T ( , x )  (1  5,5х  9 х 2  4,5х 3 )T ( ,0)  (9 х  22,5х 2  13,5х 3 )T ( ,1 / 3)  ( 4,5х  18 х 2  13,5х 3 )T ( ,2 / 3)  ( х  4,5х 2  4,5х 3 )T ( ,1).(1.77)(1.78)Дифференцируя по пространственной координате выражения (1.77) и (1.78),подставляя их в систему (1.14), без учёта теплопритока из окружающей среды(N0=0), выписывая полученные выражения для температур потоков хладагентови теплопередающей стенки в опорных точках, получаются следующиесмешанныесистемыдифференциальныхиалгебраическихуравнений:78T2 ( ,0)  4T2 ( ,0,5)  T2 ( ,1)  N 2 (0)[T2 ( ,0)  Tст ( ,0)] dTст ( ,0)   (0)[T ( ,0)  T ( ,0)]   (0)[T ( ,0)  T ( ,0)]11ст22ст d T ( ,0)  T ( ,1)  N (0,5)[T ( ,0,5)  T ( ,0,5)]11ст1 1T2 ( ,0)  T2 ( ,1)  N 2 (0,5)[Tст ( ,0,5)  T2 ( ,0,5)](1.79) dT ( ,0,5)ст 1 (0,5)[T1 ( ,0,5)  Tст ( ,0,5)   2 (0,5)[T2 ( ,0,5)  Tст ( ,0,5)]dT1 ( ,0)  4T1 ( ,0,5)  3T1 ( ,1)  N1 (1)[Tст ( ,1)  T1 ( ,1)] dTст ( ,1)   (1)[T ( ,1)  T ( ,1)]   (1)[T ( ,1)  T ( ,1)]11ст22ст dи 5,5T2 ( ,0)  9T2 ( ,1 / 3)  4,5T2 ( ,2 / 3)  T2 ( ,1)  N 2 (0)[T2 ( ,0)  Tст ( ,0)] dT ( ,0) ст 1 (0)[T1 ( ,0)  Tст ( ,0)]   2 (0)[T2 ( ,0)  Tст ( ,0)] d 1,5T1 ( ,1 / 3)  3T1 ( ,2 / 3)  0,5T1 ( ,1)  N1 (1 / 3)[T1 ( ,1 / 3)  Tст ( ,1 / 3)] T2 ( ,0)  1,5T2 ( ,1 / 3)  3T2 ( ,2 / 3)  0,5T2 ( ,1)  N 2 (1 / 3)[T2 ( ,1 / 3)  Tст ( ,1 / 3)] dT ( ,1 / 3) ст 1 (1 / 3)[T1 ( ,1 / 3)  Tст ( ,1 / 3)]   2 (1 / 3)[T2 ( ,1 / 3)  Tст ( ,1 / 3)]d 3T1 ( ,1 / 3)  1,5T1 ( ,2 / 3)  T1 ( ,1)  N1 (2 / 3)[Tст ( ,2 / 3)  T1 ( ,2 / 3)](1.80)0,5T2 ( ,0)  3T2 ( ,2 / 3)  T2 ( ,1)  0,5T2 ( ,1)  N 2 (2 / 3)[T2 ( ,2 / 3)  Tст ( ,2 / 3)] dTст ( ,2 / 3)   (2 / 3)[T ( ,2 / 3)  T ( ,2 / 3)]   (2 / 3)[T ( ,2 / 3)  T ( ,2 / 3)]11ст22стd4,5T ( ,1 / 3)  9T ( ,2 / 3)  5,5T ( ,1)  N (1)[T ( ,1)  T ( ,1)]1111ст1 dTст ( ,1) 1 (1)[T1 ( ,1)  Tст ( ,1)]   2 (1)[T2 ( ,1)  Tст ( ,1)] dИз решения системы (1.79) с граничными условиями, связаннымипопарно на каждом конце теплообменникаT1 ( ,0)  k1 ( ) m1 ( )T2 ( ,0)T2 ( ,1)  k 2 ( )  m 2 ( )T1 ( ,1)температуры прямого и обратного потоков хладагентов в опорных точках покоординатевыражаютсялинейнымтеплопередающей стенки в этих же точках:образомчерезтемпературу79 В10  T1 ( ,0)   В11В12 В13   В20  T2 ( ,0)   В21В22 В23  T ( ,0,5)   В В В  Tст ( ,0)   В  1   31 32 33  Tст ( ,0,5)    30  T2 ( ,0,5)   В41В42 В43   В40 T(,1) В  T ( ,1)   В В В  ст 50  1  51 52 53  T ( ,1)   В В В В  2  61 62 63  60 где:,(1.81)B11=m1N2(0)E(0)(N1)/; B12=4m1(N2(0,5)(N1)+m2N1(0,5)[4-E(0,5)])/;B13=m1m2N1(0,5)N1(1)[4-E(0,5)])/; B21=E(0,5)N2(0)(N1)/;B22=4(N2(0,5)(N1)+4m2N1(0,5)[4-E(0,5)])/;B23=m2N1(0,5)N1(1)[4-E(0,5)])/; B31=m1E(0,5)N2(0,5)[4+N1(1)]/;B32=(N1(0,5)(E)[N1(1)+3]+4m1N2(0,5)[4+N1(1)]+m1m2N1(1)[4-E(0,5)])/;B33=(m1m2N1(0,5)[4-E(0,5)]-N1(1)(E))/;B41=N2(0,5)(m1m2[4-N2(0,5)]-(N1))/;B42=([N2(0)+3][N2(0,5)(N1)+4m2N1(0,5)]+m2[4N2(0,5)+m1N2(0,5)[4--N1(0,5)]])/;B43=m2N1(0,5)N1(1)[4+E(0)]/;B51=m1N2(0)E(0)[4-N1(0,5)]/; B52=4(N1(0,5)(E)+m1N2(0,5)[4-N1(0,5)])/;B53=N1(0,5)N1(1)(E)/;B10=k1+m1[4-E(0,5)](k1m2[4-N1(0,5)]+k2(N1))/ ;B20=[4-E(0,5)](k1m2[4-N1(0,5)]+k2(N1))/;B30=[4+N1(1)](k1(E)+k2m1[4-E(0,5)])/;B40=[4+E(0)]([k2(N1)+k1m2[4-N1(0,5)])/;B50=[4-N1(0,5)](k1(E)+k2m1[4-E(0,5)])/; E(0)=N2(0);E(0,5)=N2(0,5);(N1)=N1(0,5)N1(1)+3N1(0,5)+4;(E)=E(0)E(0,5)+3E(0,5)+4; =(N1)(E)+m1m2[E(0,5)-4][4-N1(0,5)].При использовании кубического полинома принимается независимоеграничное условие на "тёплом" конце теплообменного аппарата, и связанное на"холодном" конце, т.е.T1 ( ,0)  k1 ( )T2 ( ,1)  k2 ( )  m 2 ( )T1 ( ,1).80В результате получается следующее выражение для связи значенийтемператур прямого и обратного потоков хладагентов в опорных точках покоординате через температуру теплопередающей стенки в этих же точках: T1 ( ,0) T2 ( ,0)  T ( ,1 / 3)  1 T2 ( ,1 / 3)  T ( ,2 / 3)  1 T2 ( ,2 / 3) T(,1)1 T ( ,1) 2где: В1' 1 В1' 2 В1' 3 В1' 4  В10  В' В' В' В' В20  21 22 23 24  В 3' 1 В 3' 2 В 3' 3 В 3' 4  T ( ,0)  В30  ' ' ' '  ст  В 4 1 В 4 2 В 4 3 В 4 4  Tст ( ,1 / 3)   В40   ' ' ' '    В  , (1.82)T(,2/3)ВВВВст 5 1 5 2 5 3 5 4   50  В  ' ' ' '  Tст ( ,1)60ВВВВ 61 62 63 64  В' В' В' В'  В70 В  71 72 73 74  80  В' В' В' В'  81 82 83 84 'B11 N 2 (0)[4E (1 / 3) E (2 / 3)  6E (1 / 3)  6E (2 / 3)  27] / ' ( E ) ;'B12 36( N 2 (1 / 3) E (2 / 3)  k2 N1 (1 / 3) ' ( E )[9  2 N1 (2 / 3)] / ' ( N1 )) / ' ( E ) ;B13'  (9 N 2 (2 / 3)[9  2E (1 / 3)]  12k2 N1 (2 / 3) ' ( E )[6N1 (1 / 3)  1] / ' ( N1 )) / ' ( E ) ;''B14 2k2 N1 (1) ' ( E )[4 N1 (1 / 3) N1 (2 / 3)  27] /[' ( N1 )' ( E )] ; B21 0;'B22 N1 (1 / 3)[4 N1 (2 / 3) N1 (1)  22 N1 (2 / 3)  6N1 (1)  69] /  ' ( N1 ) ;''B23 12 N1 (2 / 3)[4  N1 (1)] /  ' ( N1 ) ; B24 N1 (1)[2 N1 (2 / 3)  15] /  ' ( N1 ) ;'B31 4 N 2 (0)[3  E (2 / 3)] / ' ( E )] ;'B32 2( N 2 (1 / 3)[2 E (0) E (2 / 3)  3E (0)  11E (2 / 3)  12]  9k2 N1 (1 / 3) 1 ( E )[9  2 N1 (2 / 3)] / ' ( N1 )) / ' ( E );'B33 6(2 N 2 (2 / 3)[7  E (0)]  k2 N1 (2 / 3) 1 ( E )[1  N1 (2 / 3)]) / ' ( N1 )) / ' ( E ) ;''B34 N1 (1) ' ( E )[4 N1 (1 / 3) N1 (2 / 3)  27] /[' ( N1 )' ( E )] ; B41 0;'B42 12 N1 (1 / 3)[7  N1 (1)] /  ' ( E ) ;'B43 N1 (2 / 3)[4 N1 (1 / 3) N1 (1)  22 N1 (1 / 3)  6N1 (1)  24] / ' ( N1 ) ;''B44 4 N1 (1)[3  N1 (1 / 3)] /  ' ( N1 ) ; B51 N1 (0)[15  2E (1 / 3)] /  ' ( E ) ;'B52 12( N 2 (1 / 3)[4  E (0)]  3k2 N1 (1 / 3) 2 ( E )[9  2 N1 (2 / 3)]) / ' ( N1 )) / ' ( E ) ;81'B53 (( N 2 (2 / 3)[4 E (1 / 3) E (2 / 3)  22 E (1 / 3)  6E (2 / 3)  69]  24 N1 (2 / 3) 2 ( E )[1  6 N1 (1 / 3)] / ' ( N1 )) / ' ( E );''B54 4k2 N1 (1) 2( E )[4 N1 (1 / 3) N1 (2 / 3)  27] /[' ( N1 )' ( E )] ; B61  0 ;''B62 9 N1 (1 / 3)[9  2 N1 (2 / 3)] /  ' ( N1 ) ; B63 6N1 (2 / 3)[1  6N1 (1 / 3)] /  ' ( N1 ) ;''B64 N1 (1)[27  4 N1 (1 / 3) N1 (2 / 3)] /  ' ( N1 ) ; B10 2m2 ' ( E )  k1 ;'B20 0;'B30 m2 1 ( E ) / ' ( E ) ;'B50 4m2 1 ( E ) / ' ( E ) ;'B40 0;'B60 0;' ( N1 )  4 N1 (1 / 3) N1 (2 / 3) N1 (1)  22 N1 (1 / 3) N1 (2 / 3)  6 N1 (1 / 3) N1 (1)  6 N1 (2 / 3) N1 (1)  69 N1 (1 / 3)  24 N1 (2 / 3)  27 N1 (1)  108; ' ( E )  E(1 / 3) E(2 / 3)  3E(1 / 3)  6E(2 / 3)  27 ; 1 ( E )  2E(2 / 3) E(0)  11E(2 / 3)  3E(0)  12 ; 2 ( E )  E (1 / 3) E(0)  6E(1 / 3)  3E(0)  27 .После подстановки выражений (1.81) и (1.82) в систему (1.79) и (1.80)соответственно, дифференцирования и преобразований получаются системыдифференциальных уравнений для температур теплопередающей стенки вопорных точках:dd Tст ( ,0)   С11С12С13  Tст ( ,0)   C10    Tст ( ,0,5)    С21С22С23  Tст ( ,0,5)    C20  , T ( ,1)   С С С  T ( ,1)   C  ст  31 32 33  ст  30 где коэффициенты матрицы имеют следующий вид:C11=β1(0)(m1B21-1)+β2(0)(B21-1);C12=B22[β2(0)+m1β1(0)];C13=B23[β2(0)+m1β1(0));C21=B31β1(0,5)+B41β2(0,5);C22=β1(0,5)(B32 -1)+β2(0,5)(B42 -1);C23=B33β1(0,5)+B43β2(0,5);C31=B51[β1(1)+m2β2(1));C32=B52[β1(1)+m2β2(1)];C33=β1(1)(B53-1)+β2(1)(m2B53-1);C10=k1β1(0)+B20(β2(0)+m1 β1(0));C20=B30β1(0,5)+B40β2(0,5);C30=β2(1)[m2B50+k2]и(1.83)82'''' Tст ( ,0)   С11С12С13  Tст ( ,0)   C10 ''''d  Tст ( ,1 / 3)   С21С22С23  Tст ( ,1 / 3)   C20  ' ' '  ' ,Tст ( ,2 / 3)   C30d  Tст ( ,2 / 3)   С31СС3233 T ( ,1)   ' ' '  T ( ,1)   '  ст  С31С32С33  ст  C40 (1.84)где:''C11 1 (0)   2 (0)( B11 1) ;''''  2 (0) B13C12  2 (0) B12; C13;''''  2 (1 / 3) B31C14  2 (0) B14; C21;'''C22 1 (1 / 3)( B22 1)   2 (1 / 3)( B32 1) ;'''C23 1 (1 / 3) B23  2 (1 / 3) B33;'''C24 1 (1 / 3) B24  2 (1 / 3) B34;''C31  2 (2 / 3) B51;'''C32 1 (2 / 3) B42  2 (2 / 3) B52;''''''C33 1 (2 / 3)( B43 1)   2 (2 / 3)( B53 1) ; C34  1 (2 / 3) B44   2 (2 / 3) B54 ;''C41  2 (1) B71;'''C42 1 (1) B62  2 (1) B52;'''C44 1 (1)( B64 1)   2 (1)( B74 1) ;''C20  2 (1 / 3) B30;'''C43 1 (1) B63  2 (1) B53;''C10  2 (0) B10;''C30  2 (2 / 3) B50;''C40  2 (1) B70.Для исследования полученного решения необходимо определить следматрицСиС'системуравнений(1.83)и(1.84):SpC  C11  C22  C33   2 (0)( B21  1)  1 (0)( m1 B21  1)  1 (0,5)( B32  1)   2 (0,5)( B41  1)  1 (1)( m2 B53  1),'''''''SpC '  C11 C22 C33 C44  1 (0)   2 (0)( B11 1)  1 (1 / 3)( B22 1)   2 (1 / 3)( B32 1) '''' 1 (2 / 3)( B43 1)   2 (2 / 3)( B53 1)  1 (1)( B64 1)   2 (1)( B74 1).Поскольку значения коэффициентов β1 и β2 немогутбыть''отрицательными, а при m1  1 и m2  1 значения B21 , B32 , B42 , B51 , B11' , B22, B32 ,''''B43, B53 , B64 и B74 меньше единицы, то след матриц С и С' отрицателен.Поэтому выполняется необходимое условие для получения сходящегося вовремени решения и нестационарный режим работы теплообменника с течениемвремени приходит к установившемуся, стационарному состоянию.Для большинства квазистационарных процессов элементы матриц систем83(1.83) и (1.84) слабо изменяются во времени, поэтому при использованииизложенного метода решение можно получить в аналитическом виде (1.72).Полученное решение, несмотря на некоторую потерю точности при введенииаппроксимирующихфункций,позволяетучитыватьизменениетеплофизических параметров по координате через дискретные значениякоэффициентов в уравнениях систем (1.79) и (1.80) в опорных точках покоординате.