Многоуровневая система моделирования нестационарных и меняющихся режимов работы низкотемпературных установок, страница 8

Используются допущения, приводящие к уменьшению размерностизадачи, а также к упрощению геометрии расчетной области и граничныхусловий. Для решения системы дифференциальных уравнений, описывающихпредложенную модель, используется численный метод решения.При всей своей привлекательности, конечно-разностные методы требуютпредварительногоанализаисходнойсистемыуравненийдлявыбораконкретной конечно-разностной схемы, оценки устойчивости и сходимости.Это во многом определяется конкретной физической и математическоймоделью рассматриваемого теплообменного аппарата.

Помимо этого, даже длябыстродействующих компьютеров требуется значительное время для расчёта,что не позволяет широко исследовать характер переходного процесса и влияниена него различных факторов.Создание и исследование аппаратов низкотемпературной техники сфазовыми превращениями на рабочих поверхностях детально рассмотрено вработе А.И.Смородина [109]. Расчётное и экспериментальное исследованиевысокоэффективных теплообменных аппаратов матричного и планарного типовдля компактных низкотемпературных систем и установок изложено в работеЮ.А.Шевича [110].1.2. Аналитические методы решения для стационарногослучая1.2.1 Двухпоточный теплообменникОбнуляя частные производные по времени для потоков хладагентов итеплопередающей стенки в системе уравнений (1.11) и выражая из второгоуравнения системы величину температуры теплопередающей стенки черезтемпературы потоков хладагентов, получается следующая система уравнений,описывающую теплопередачу между потоками для стационарного режимаработы теплообменного аппарата:53 dT1 dx  N1 (T2  T1 ),dT 2  N (T  T )  N (T  T )2120o .c .2 dx(1.39)где N1, N2, N0 – числа единиц переноса теплоты (NTU) по прямому и обратномупотокам хладагентов, и со стороны окружающей среды;N1 K,G1C p1N2    L  LK, N 0  о.с.

2 ; K  1. 1 2. 2- интегральныйG2 C p 2G2 C p 2(1.1   2. 2 )коэффициент теплопередачи между потоками.Для случая усреднения коэффициентов N1, N2, N0 получаются следующиеаналитические решения системы (1.39):T1(x)  C1 exp (λ1 x) C 2 exp (λ2 x)  ( T о.с.)(1.40)T2 ( x )  [C1 (1  N1 ) exp(1 x )  C2 (2  N1 ) exp(2 x )] / N1  To.c. .Собственные числа 1 и 2 для прямоточного теплообменника определяются изрешения характеристического уравнения основной матрицы системы (1.39)1, 2  0,5{( N1  N 2  N 0 )  ( N1  N 2  N 0 ) 2  4 N1 N 0 }и для противоточного теплообменника1, 2  0,5{( N1  N 2  N 0 )  ( N1  N 2  N 0 ) 2  4 N1 N 0 } .Собственные числа 1 и 2, как видно из вышеприведённых выражений,являются действительными.

Для прямоточного теплообменника они строгоотрицательны, а для противоточного: одно - строго положительно, а другоеможет иметь различный знак. Постоянные интегрированияC1 и C2определяютсяуравнений,изсистемыдвухлинейныхалгебраическихполучающихся из граничных условий общего вида (1.12):C1[m1  m3 exp( 1 )  (m5  m7 exp( 1 ))(1  1 / N1 )]  C2 [m1  m3 exp( 2 )  ( m5  m exp(  ))(1   / N )]  k  T ( m  m  m  m )72211o. c.1357C [m  m exp(  )  (m  m exp(  ))(1   / N )]  C [m  m exp(  )  ( m 416811122426 1 2 m8 exp( 2 ))(1  2 / N1 )]  k2  To.c. (m2  m4  m6  m8 )54На практике наиболее часто используются независимые граничныеусловия, т.е. известны значения температур потоков хладагентов на входе втеплообменник.

Для прямоточного теплообменника они имеют следующий вид,получаемый из граничных условий общего вида (1.12), приm1=m2=1,m3=m4=m5=m6=m7=m8=0, k1=T10 , k2=T20T1(0) = T10 ,T2(0) = T20(1.41)и для противоточного теплообменника (1.16).Вэтомслучаепостоянныеинтегрированиядляпрямоточноготеплообменника имеют вид:C1 = [(2 + N1)T1 (0) - N1T2(0) - 2 Toc]/(2 - 1)C2 = [-(1 + N1)T1 (0) + N1T2(0) + 1 Toc]/(2 - 1)и для противоточного теплообменника:C1 = {(2+ N1)T1(0) exp(2)- N1T2(1) + [(2+ N1 ) exp(2 ) - N1] To.c.}/AC2 = {-(1 + N1)T1(0) exp(1)+ N1T2(1) - [(1 + N1 ) exp(1 ) - N1] To.c.}/AA = (2+ N1) exp(2) - (1+ N1 ) exp(1)В ряде случаев теплопритоком из окружающей среды, в силу его малости( N1  N 0 , N 2  N 0 ), можно пренебречь.

Поэтому система (1.14) упрощаетсядо следующего вида: dT1 dx  N1 (T2  T1 ) dT 2  N 2 (T1  T2 ) dx(1.42)и имеет следующие аналитические решения:T1(x)  C1 exp (λx )  C2T2(x)  C1 (1   / N 1) exp (λx )  C2(1.43)где  = -(N1+ N2) для прямоточного движения,  = (N2- N1) для противоточногодвижения, когда N1  N2 . Постоянные интегрирования C1 и C2 определяются изсистемы (1.12):55C1[m1+m3 exp ()+(m5+m7 )( 1+/N1 )] + C2(m1+m3+m5+m7 ) = k1.C1[m 2+m4 еxp( )+(m6+m8 )( 1+/N1 )] + C2(m2+m4+m6+m8 ) = k 2В случае одинаковых значений чисел единиц переноса теплоты по обоимпотокам хладагентов (N2 = N1) для противоточного движения этих потоковполучаются линейные выражения для распределения температур потоковхладагентов по координате:T1(x)  C1 x  C2 ,T2(x)  C1 x  (C2  С1 / N1 ) ,(1.44)где постоянные интегрирования C1 и C2 определяются из системы (1.12):C1[m3+(m5+m7)/N+m7] + C2(m1+m3+m5+m7) = k1C1[m4+(m6+m8)/N+m8] + C2(m2+m4+m6+m8) = k2Для независимых граничных условий (1.16) решение для прямоточноготеплообменника имеет вид:T1(x) = [N1 (T10 - T20) exp[-(N1 + N2)x] + N2 T10 + N1 T20]/(N1 + N2)T2(x) = [N2 (T10 - T20) exp[-(N1 + N2)x] + N2 T10 + N1 T20]/(N1 + N2) .

(1.45)Для противоточного теплообменника при неодинаковых значениях чиселNTU:T1 (x)  A exp [(N 2 - N1 )x]  BT2 (x)  A exp [(N 2 - N1 )x] N2 /N1  B ,где(1.46)A  (T10 - T20 ) / [1 - exp (N2 - N1 ) (N2 / N1 )] ,B  [T20 - T10 exp (N2 - N1 ) (N2 / N1 )] / [ 1 - exp (N2 - N1 ) (N2 / N1 )] .При одинаковых значениях чисел NTU (N1 = N2 = N) решение дляпротивоточного теплообменника имеет чисто линейный вид:T1 (x)  (T20 - T10 ) x / (1  1/N)  T10T2 (x)  (T20 - T10 ) x / (1  1/N )  (T10 N  T20 )/(1  N) .(1.47)1.2.2 Трехпоточный теплообменникОбычно при конструктивном расчете трехпоточных теплообменников, в56которых два потока хладагентов, текущих внутри трубок и не имеющихтеплового контакта между собой (рис.

1.8), обмениваются теплотой с третьимпотоком, используется следующий метод, изложенный в работе В.П.Алексееваи др. [97].абРис. 1.8. Схематичное изображение трехпоточного теплообменника безтеплового контакта между собой потоков 1 и 2, текущих в трубках (а) и егоусловное деление на два двухпоточных теплообменника (б)Данный теплообменник условно разбивается на два двухпоточныхтеплообменного аппарата, с разделением расхода третьего потока хладагента надва, текущих в каждом двухпоточном теплообменнике. Величина этихусловных расходов третьего потока хладагента подбирается из условия, чтотемпература этого потока хладагента одинакова на выходе из каждогоусловного теплообменника.

Обычно эти условные расходы третьего хладагентав первом приближении определяются из пропорциональности водяныхэквивалентов в двух двухпоточных теплообменникахW1 W2,W31 W32где W1 и W1 - водяные эквиваленты первых двух потоков хладагентов, W31и W32 - условные водяные эквиваленты третьего потока хладагента в двухтеплообменниках, причём W31  W32  W3 .Недостаткомэтогометодадляповерочногорасчётаявляетсянеобходимость организации итерационного процесса для определения величин57расходов при разделении третьего потока хладагента. Поэтому былопредложено[16]найтианалитическоерешениедлятрехпоточноготеплообменника при усредненных значениях теплофизических параметровпотоков хладагентов.Система уравнений для трехпоточного теплообменника с учетомпринятых ранее допущений имеет вид: dT1 dx  N1 (T3  T1 ) dT2 N 2 (T3  T2 ).dx dT3 dx  N 3 (T1  T3 )  N 4 (T2  T3 )(1.48)В данной системе уравнений индексы «1» и «2» относятся к одинаковонаправленным потокам, текущим внутри труб, а индекс «3» - к межтрубномупотоку, текущему в противоположную трубным потокам сторону (рис.

1.9 (а)).N1, N2, N3 , N4 - числа единиц переноса теплоты соответственно между третьим ипервым, третьим и вторым, первым и третьим, вторым и третьим потоками:N1 K 31,G1C p1N2 K 3 2K, N 3  13 ,G2 C p 2G3C p 3N4 K 2 3; K 31  K13 и K 3 2  K 2 3 G3C p 3интегральные коэффициенты теплопередачи между первым и третьим, вторыми третьим потоками хладагентов соответственно.Для упрощения преобразований используются независимые граничныеусловия, определяющие значения температур потоков хладагентов на входе втеплообменник:T1(0) = T10T2(0) = T20T3(1) = T30(1.49)Решая систему (1.48) с граничными условиями (1.49) методамиматричного анализа, получаются следующие выражения:T1(x)  C1 exp (λ1 x) C 2 exp (λ2 x) C 3 exp (λ3 x) ,T2 ( x )  C1 exp(1 x )  C2 ( N 2 (2  N1 )) /( N1 (2  N 2 )) exp(2 x)  С3 ( N 2 (3  N1 )) /( N1 (3  N 2 )) exp(3 x ),58T3 ( x )  C1 exp(1 x )  C2 (2  N1 ) / N1 exp(2 x )  С3 (3  N1 ) / N1 exp(3 x ) .Собственные числа 1, 2, 3 матрицы системы дифференциальныхуравнений и постоянные интегрирования C1, C2, C3 определяются так же, как ив случае решения систем уравнений для двухпоточных теплообменников:1 = 02,3  0,5((N1  N2  N3  N4 )  ( N1  N2  N3  N4 )2  4( N1 N2  N1 N4  N2 N3 ) )С1 гдеT10 ( DH  EF )  T20 ( F  H )  T30 ( E  D)DH  EF  H  E  F  DС2 T10 ( E  H )  T20 ( H  1)  T30 (1  E )DH  EF  H  E  F  DC3 T10 ( F  D)  T20 (1  F )  T30 ( D  1),DH  EF  H  E  F  DD, E, F, H - следующие коэффициенты:DN 2 ( N 1  2 );N 1 ( N 2  2 )EN 2 ( N1  3 );N1 ( N 2  3 )FN1  k 2exp(2 ) ;N1HN1  k 3exp(3 ) .N1В случае кратных корней, т.е.3 = 2 = - 0,5(N1 + N2 -N3 -N4),что возможно при выполнении условия(N1 +N2 -N3 -N4 )2 = N1 N2 - N1 N4 -N2 N3,решение исходной системы (1.48) с граничными условиями (1.49) имеетследующий вид:T1(x)  C1 C 2 x exp (λ2 x) C 3 exp (λ2 x)T2 ( x )  C1  C2 ( A1  A2 x ) exp(2 x)  С3 A2 exp(2 x )T3 ( x )  C1  C2 (1  (2  N1 ) x ) / N1 exp(2 x )  С3 (2  N1 ) / N1 exp(2 x )Постоянные интегрирования C1, C2, C3 выражаются через числовыекомплексы Ai:C1 T10 ( A1 A4  A2 A3 )  T20 A3  T30 A1A1 ( A4  1)  A3 (1  A2 )59C2 T10 ( A2  A4 )  T20 ( A4  1)  T30 (1  A2 )A1 ( A4  1)  A3 (1  A2 )А1 гдеА3 N 2 ( N 2  N1 );N 1 ( N 2  2 ) 2N1  k 2  1exp(2 ) ;N1А2 А4 С3 T10 ( A3  A1 )  T20 A3  T30 A1A1 ( A4  1)  A3 (1  A2 )N 2 ( N 1  2 );N 1 ( N 2  2 )N1  k 3exp(2 ) .N1В низкотемпературной технике достаточно часто применяют трубчатыетеплообменники, в которых теплопередача между потоками хладагентовосуществляется через пропаянное пространство между трубками (рис.