Многоуровневая система моделирования нестационарных и меняющихся режимов работы низкотемпературных установок, страница 5

 Т )ppx.cст  ст S ст Tст  П (Т  Т ст )(1.23)После обезразмеривания системы (1.22) получается следующая система:T Ta b(Tст  T )  c(Tо.с.  T ) x, Tст  (T  Tст ) где a G 0,SLbП 0,c p Sc o.c. 0c p S(1.24).Система (1.24) дополняется начальными условиями, аналогичными(1.13):Tст | 00 Т ст(x) ;T | 0  Т 0 ( x ).(1.25)и граничными условиями, аналогичными (1.12) которые в общем случае будутиметь видk3 ( )T ( ,0)  k1 ( )  m( )T ( ,1) .(1.26)В случае идеальной теплоизоляции, т.е. коэффициент с = 0 в первомуравнении системы (1.24) и значений коэффициентов а и b, существеннопревышающих единицу, т.е. пренебрежения аккумуляционным членом вуравнении для потока хладагента, система уравнений примет следующийвид: T N(Tст  Т) x Т ст  β(Т  Т )ст τгде N .(1.27)b ПL- число единиц переноса теплоты.aGC pПосле применения преобразований Лагерра по времени к системе (1.26)32получается система матричных уравнений: dU dx  A( x )(V  U ) DV  B ( x )(U  V )  Ф( x) , U(0)  F(1.28)где U  (T1 , L), V  (Tст , L), F  (f, L) ; А и В – матрицы с элементамиАmn  ( N ( x , ) Lm , Ln ) , Bmn  (  ( x , ) Lm , Ln ) ,(x ) –вектор-столбец,элементами которого являются коэффициенты разложения функции  (x ) вбесконечный ряд по полиномам Лагерра.

Выражая из второго уравнениясистемы (1.28) выражение для V:V  ( D  B)1 ( BU  Ф) .и подставляя его в первое уравнение системы (1.28), получается матричноедифференциальное уравнение:dU MU  dx(1.29)с граничным условием U(0)=F. Матрица М определяется из следующеговыраженияM  A( E  ( D  B)1 B) ,где Е – единичная матрица, т.е.

с единичными элементами на главнойдиагоналииостальныминулевымиэлементами.Вектор-столбецρвыражается следующим образом  А( D  B)1 Ф .Врезультатеобщеерешениематричногодифференциальногоуравнения (1.29) имеет следующий вид:x x xU  exp   M ( )d Ф   exp -  M( )d  ( )d .0 0 Если начальное условие постоянно, т.е. функции φ – const, то решениеупрощается до алгебраического матричного выражения:33U  exp  Mx( F  M 1 )  M 1 .Аналитическиерешения,полученныеметодамиинтегральныхпреобразований Лапласа и Лагерра, являются абсолютно точными, хотя и неучитывают изменения теплофизических свойств потоков хладагентов итеплопередающей стенки от температуры, изменяющейся по времени, и,следовательно, по координате.

Основным достоинством этих решенийявляется то, что с их помощью можно протестировать частные решения,полученные различными приближёнными методами, чтобы протестироватьпригодность и точность этих методов. Однако аналитические решениясистемуравнений,теплообменныхописывающихаппаратов,нестационарныеполученныережимыметодамиработыинтегральныхпреобразований, достаточно громоздки и не явно показывает зависимостьтемператур от времени и пространственной координаты. Поэтому дляполучения зависимости температур потоков и теплопередающей стенки ввиде элементарных функций от времени и пространственной координатыиспользуются различные приближённые методы, с помощью которыхисходная система уравнений в частных производных сводится к системеобыкновенных дифференциальных линейных уравнений первого порядка.

Ктакимметодамотноситсяметодсосредоточенияпараметровпопространственной координате или по времени. Для квазистационарныхпроцессов, при которых изменение температуры во времени не велико,применяется сосредоточение по временной координате, для существеннонестационарных процессов - по пространственной координате.Простейшие аналитические решения систем (1.11) и (1.24) могут бытьполучены без учета пространственной распределённости параметров, т.е. прииспользовании модели с сосредоточенными параметрами по координате.Данные решения не всегда дают хороший количественный результат, хотяпозволяют проследить качественный ход временного процесса и оценитьпорядок времени выхода на стационарный режим. Сущность метода34заключается в первоначальном задании профиля температур потоков истенки по пространственной координате и введением среднеинтегральнойтемпературы1~T ( )   T ( , x )dx .0Связьмеждусреднеинтегральнойтемпературойизначениямитемпературы на концах координатного отрезка осуществляется простойалгебраической зависимостью, обычно линейной (рис.

1.3 а) или ступенчатойс определяющей температурой на выходе (рис. 1.3 б) или на входе (рис. 1.3в), т.е. на правом или левом концах координатного отрезка.абвРис. 1.3. Основные виды сосредоточения температуры по координате:линейное (а) и ступенчатое (б, в)Прилинейномсосредоточениитемператур по координатеиспользуетсялинейныйпрофиль35T ( , x )  T ( ,0)  x T ( ,1)  T ( ,0) .(1.30)Ступенчатое сосредоточение характеризуется постоянством температуры повсей длине координатного отрезка за исключением одного из его концов.Ступенчатое сосредоточение с определяющей температурой на выходеописывается следующим выражениемT ( ,0), x  0T ( , x )  ,T ( ,1), x  (0,1]а ступенчатое сосредоточение с определяющей температурой на входеT ( ,0), x  [0,1)T ( , x )  .T ( ,1), x  1При использовании метода сосредоточения параметров по координате всеуравнениясистем(1.11)и(1.24)спостояннымикоэффициентамиинтегрируются по координате от 0 до 1.

В результате получаются системылинейных дифференциальных уравнений в полных производных относительновремени.Для нестационарных режимов работы однопоточного теплообменникасистема уравнений (1.24) и начальные условия (1.25) после интегрированияпримут следующий вид:~ dT~~~ d  aT ( ,1)  T ( ,0)  b(Tст  T )  c(Tо.с.

 T ) ~, dTст  (T~  T~ )ст d1100~~~~00Т   0  Т 0   Т 0 ( х )dx , Т ст   0  Т ст  Т ст( х )dx .(1.31)(1.32)При использовании линейного сосредоточения из выражения (1.30) играничного условия (1.31) через среднеинтегральную температуру потока~хладагента T ( ) выражаются значения температуры этого потока на концахтеплообменника:36~2mT ( )  k1T ( ,0) ,m  k2~2k2T ( )  k1T ( ,1) .m  k2Подставляя эти выражения в систему уравнений (1.31), которая послепреобразований имеет вид системы линейных дифференциальных уравненийпервого порядка:~ dTb  c  2a ( k 2  m ) ~2ak1~T  bTст  cTо.с. d  k2  mk2  m ~ dТ ст ~ ~ Т  Т ст dРешение этой системы с учётом начальных условий (1.32) имеет следующийвид~Tст ( )  с1е 1  с2 е 2  с0,~T ( )  с1 (1  1 )е 1  с2 (1  2 )е 2  с0(1.33)2ak1 cTo.

c.k2  mгде с0 ,2a ( k 2  m )bcbk2  m1 и 2 - корни квадратного уравнения 2ak12a ( k 2  m )b  c  k  m     1   k  m  сТ о.с.   0 .2 2Коэффициенты С1 и С2 определяются из подстановки выражений (1.33)при   0 в начальные условия (1.31), т.е. из следующей системы линейныхалгебраических уравнений:~Tcт0  с1  с2  с0 ~0.Т  с1 (1  1 )  с2 (1  2 )  с0Конечныйдвухпоточномвид решения длятеплообменникетемпературы потока криагента вполучаетсяпутёмпоследовательнойподстановкой второго выражения (1.32) в (1.30) и затем в (1.29):37c (1   )eT ( x , ) 111 c2 (1  2 )e2  c0 k1 (1  2 x )  2m  x (k2  m.m  k2Аналогичным образом можно получить аналитические решения дляступенчатого сосредоточения с определяющей температурой потока хладагентанавходеиливыходеизтеплообменника.Проведённыерасчётысиспользованием метода сосредоточения параметров и сравнение с результатамианалитическихрешенийметодоминтегральныхпреобразований,иличисленного при большом числе разбиений по координате и времени, позволилиоценить пригодность того или иного вида сосредоточения.

Критерием выбораметода сосредоточения является величина числа единиц переноса теплоты N.Если величина меньше единицы, т.е. теплообмен не является интенсивным, тоцелесообразно использовать линейное сосредоточение (рис. 1.4 а), посколькупространственный профиль температуры потока хладагента не сильноотличается от прямой линии, т.е. кривизна не велика.В случае интенсивного теплообмена, т.е. приN>1, наилучшимприближением профиля температуры по координате является ступенчатоесосредоточение температуры с определяющей температурой на выходе изтеплообменника (рис.1.4 б), поскольку кривизна профиля положительна идостаточно велика.На рис. 1.5 а и б показаны расчётные временные зависимоститемпературы потока хладагента на выходе из однопоточного теплообменника,полученные методом сосредоточения параметров по координате и методомконечных разностей при 106 количестве шагов по времени и 103 количествешагов координатепереноса теплоты.при "малом" (N=0,5) и "большом" (N=5) числе единиц38абРис.

1.4. Пространственный профиль температуры потока хладагента воднопоточном теплообменнике: а - при небольших числах числа единицпереноса теплоты (N<1), б - при больших числах числа единиц переносатеплоты (N>1)Использовалось независимое граничное условие - первое выражение в(1.16) , т.е. постоянное значение температуры потока хладагента на входе втеплообменник T |х 0  Т 0  const и постоянные начальные условия (1.25):Tст | 00 Т ст const ,T | 0  Т 0  const .При расчётах использовались следующие величины безразмерныхкоэффициентов системы (1.24): a=2, b=1 при N=0,5; соответственно a=0,02,b=0,1 при N=5. Для обоих случаев теплопритоком из окружающей средыпренебрегается, т.е.