Многоуровневая система моделирования нестационарных и меняющихся режимов работы низкотемпературных установок, страница 10

Если при решении системы (1.63)получается, что xг  1 , то происходит только охлаждение газового потокахладагента. В этом случае решается только первая пара уравнений системы(1.63) и определяются только значения температур газообразного хладагента ивоздуха на выходе из конденсатора:Tвых T0  Tв 0T  Aг T0exp( N в , г  N г )  в 01  Aг1  AгTв ,вых T0  Tв 0 N в , гT  Aг T0exp( N в , г  N г )  в 0.1  Aг N г1  AгПри частичной конденсации потока хладагента ( xг  1 и ( xг  xк )  1 )решаются две первые пары уравнений системы (1.63) и в результате получаетсяследующее решение:T0  Tв ,гTв ,г  AгT0Tк  1  A exp[( N в , г  N г ) xг ]  1  AггT0  Tв , г N в , гT  AгT0exp[( N в ,г  N в ) x г ]  в ,гTв ,вых 1  Aг N г1  Aг .Tв ,вых  (Tв 0  Tк ) exp[ N в ,к (1  xг )]  TкВ этом случае относительное количество пара в потоке хладагента на выходе из70конденсатора будет равноy  1  (1  exp(  N в ,к (1  xг )) N к (Tк  Tв ,г ) (r N в ,к ) .Требуемаядлинатеплообменнойповерхностидляполученияопределенной температуры жидкого хладагента Tвых определяется по формуле(1.55), где x г , x к и x ж определяются из решения системы (1.63) подстановкойвместо (1  xг  xж ) величины x ж .1.3 Конечно-разностный метод для расчета двухпоточныхтеплообменников,пересеченияисключающийрасчётныхпрофилейвозможностьтемпературпотоковхладагентов для стационарного случаяДля решения системы уравнений, описывающих стационарные режимыработыдвухпоточныхтеплообменников(1.39)сучетомзависимоститеплофизических свойств потоков от температуры, используются различныечисленные методы.

При использовании конечно-разностных методов длярешениясистемытеплообменников,уравнений,можноописывающихполучитьрешение,работупридвухпоточныхкоторомрасчётныепространственные профили температур потоков хладагентов пересекаются(рис. 1.12). Обычно такое решение возникает при больших значениях чиселNTU потоков и малом числе точек разбиения. Это является следствием того,что линейная аппроксимация производной, применяемая при конечноразностном методе, приводит к существенной погрешности, т.к.

прямая линияплохо аппроксимирует экспоненту при больших значениях её показателей.Аналитические решения (1.44), (1.45), (1.46) обеспечивают отсутствиепересечения профилей температур потоков хладагентов, что следует изпостоянного знака разности между температурами первого и второго потоков.71абРис. 1.12. Пересечение профилей температур потоков хладагентовв прямоточном (а) и противоточном (б) теплообменникахДля прямоточного теплообменника из (1.45) получается:T1(x)  T2(x)  (T10  T20 ) exp (  ( N1  N 2 ) x) .(1.64)Для противоточного теплообменника при неодинаковых числах NTU из(1.44) следует:T1(x)  T2(x) (T10  T20 )(1  N 2 / N1 ) exp(( N 2  N1 ) x ).1  N 2 / N1 exp(( N 2  N1 ) x )(1.65)Для пpотивоточного теплообменника пpи одинаковых числах NTU из(1.46) следует:T1(x)  T2(x)  (T10  T20 ) /(1  N ) .(1.66)Не трудно видеть, что выражения (1.64), (1.65) и (1.66) либо всеположительны при T10 > T20 , либо все отрицательны при T10 < T20 для любыхположительныхзначенийN1иN2.Присущественнойзависимоститеплофизических свойств потоков хладагентов от температуры аналитическиерешения, получаемые при осреднении NTU, имеют значительную погрешность.Поэтому для учёта изменения теплофизических свойств потоков необходимодля вешения системы (1.42) с граничными условиями (1.16) или (1.41)использовать конечно-разностный метод.Поэтому предложено [15] использовать аналитическое решение на72отрезках разбиения по пространственной координате.

Это позволит учесть какзависимость чисел NTU от температуры, так и позволит избавиться от случаявозникновения пересечения пространственных профилей температур прямого иобратного потоков хладагентов.Для прямоточного теплообменника значения температур прямого иобратного потоков в n точках разбиения T1,i и T2,i (i=1,2,...,n) выражаются из(1.64) и определяются по рекуррентным соотношениям:T1,i+1 = [(T1,i - T2,i) N1,i Di + N2,i T1,i + N1,i T2,i ] / EiT2,i+1 =[(T2,i - T1,i) N2,i Di + N2,i T1,i + N1,i T2,i ] / Ei ,где Di = exp[-(N1,i + N2,i )]; Ei = N1,i + N2,i ; i=2,3,..,n-1; T1,1 = T10 ; T2,1 = T20 .Значения числа единиц переноса теплоты потоков хладагентов N1,i и N2,i вточках разбиения определяются по известным величинам температур T1,i и T2,i.Для противоточного теплообменника из (1.65) и (1.66) нельзя выpазитьpекуpентные зависимости.

Поэтому после преобразований (1.65) для каждогоучастка разбиения в результате получаются (n-1) пар линейных уравненийвида:[ai (1-bi )] T1,i-1 + (ai bi - 1) T1,i + (1-ai ) T2,i = 0;i=2,3,...,n(1.67)[bi (1-ai )] T1,i-1 + (ai bi -1) T2,i-1 + (1-bi ) T2,i = 0; i=2,3,...,n ,гдеai = exp(N2,i - N1,i ), bi = N2,i / N1,i.В данном случае значения N1,i и N2,i определяются как средние величиныдля температур на концах отрезка разбиений [i-1, i].

Если на каком-либоотрезке N1,i = N2,i, то необходимо вместо вышеприведенной системы (1.67)использовать преобразованные выражения (1.66):T1,i-1 + (-Ni -1) T1,i + Ni T2,i = 0; i=2,3,...,n(1.68)Ni T1,i-1 + (-Ni -1) T2,i-1 + T2,i = 0; i=2,3,...,n .Два уравнения, необходимые для однозначного определения систем(1.67) или (1.68), получаются из граничных условий:73T1, 1 = T10; T2,n = T20 .В результате получается система линейных алгебраических уравненийотносительно темпеpатуp потоков хладагентов в точках разбиения T1,1; T2,1; T1,2;T2,2; ... ; T1,n; T2,n , матpица котоpой имеет пятидиагональный вид. Решение этойсистемы получается методом прогонки [87], причем требуется две-триитерации, т.к.

первоначально не известны значения температур потоковхладагентов в точках разбиения для вычисления чисел единиц переносатеплоты NTU, и поэтому перед началом вычислительного процесса необходимозадаться значениями температур в этих точках. Следует заметить, что пpииспользовании конечно-разностных схем пеpвого поpядка для пpотивоточноготеплообменника, получается система линейных алгебpаических уpавнений,также имеющая пятидиагональный вид.

Поэтому предложенный метод по своейреализации не сложнее, чем при использовании традиционного конечноразностного способа решения.Проведенные расчеты показали, что при слабо меняющихся оттемпературысвойствахпотоковибольшихзначенияхчиселNTU,предложенный метод требует в три-четыре раза меньшего числа расчетныхточек при одинаковой точности расчета. При малых значениях чисел NTU илиприрезкомизменениитеплофизическихсвойствпотоковподлинетеплообменника предложенный метод при одинаковой точности требует вполтора-два раза меньшего числа точек разбиения.1.4Приближенныйметодразложенияпобазиснымфункциям по пространственной координате температурыпотока хладагента для нестационарного случаяЖелательно для более точного определения нестационарного процесса втеплообменных аппаратах получить конечный результат при решении системыуравнений (1.9) в приближенном виде с некоторой точностью в виде74комбинации n алгебраических функций от времени  i ( ) и от координаты j (x ) :nT ( , x )    j ( ) j ( x ) .j 1Дляполученияподобныхрешенийнаиболеераспространенывариационные методы, однако в работах Ю.Т.Глазунова и Ю.А.Михайлова[111] и [112] было показано, что для уравнений типа переноса, к которымотносятся уравнения системы (1.11), описывающие нестационарные режимыработы теплообменного аппарата, нельзя построить такой функционал, гдеуравнением Эйлера было бы уравнением переноса.

Методы наименьшихквадратов и штрафных функций [113] и [114] также не применимы куравнениям типа переноса, поскольку необходимо задавать граничные условияна обоих концах координатного отрезка, т.е. переопределять задачу. В работахТ.Гудмэна [115], М.Г.Каганера [116] и В.С.Тарасова [117] приближенноерешение уравнения нестационарной теплопроводности искалось в виде:T ( , x )  b1 ( )  b 2 ( ) x  ...  b N ( ) x n -1 ,где bi ( ) - неизвестные функции времени, а в качестве функций  j (x )использовалась степенная функция координаты. Для тестовых задач, имеющихточные решения, максимальные отклонения полученных данным способомрасчетных значений составили 9% при n=3 и 2% при n=4.

Целесообразновыразить неизвестные функции времени bi ( ) через значения искомыхтемператур в конечном числе опорных точек x1 , x2 ,...,xn , принадлежащихотрезку, на котором ищется решение, в результате этого:nT ( , x )   T ( , x j ) f j ( x )(1.69)j 1где f j (x ) - линейная комбинация функций  j (x ) , обладающих тем свойством,что0, i  j.f j (x ) = 1, i  j75После подстановки выражения (1.69) для температур прямого иобратногопотоковкриагентовитеплопередающейстенкив(1.11),дифференцирования известных функций по координате  j (x ) , получаетсясистема (3n-2) дифференциальных уравнений первого порядка в полныхпроизводных по времени относительно температур прямого, обратного потоковхладагентов и теплопередающей стенки: T2 ( , x1 ) , Tст ( , x1 ) , T1 ( , x2 ) , T2 ( , x2 ) ,Tст ( , x2 ) , ...

, Tст ( , xn 1 ) , T1 ( , xn ) , Tст ( , xn ) : T2 ( , x1 )   C1,1C1, 2 ................C1, 3n2  T2 ( , x1 )   C1, 0  Tст ( , x1 )   C 2,1C 2, 2 ................C 2,3n2  Tст ( , x1 )   C 2 , 0  T ( , x )   C3,1C3, 2 ................C3, 3 n2  T ( , x )   C3, 0  122 1   T2 ( , x2 )  C 4,1C 4, 2 ................C 4,3n2 T2 ( , x2 )  C 4 , 0 d  ,T(,x)CC................CT(,x)C стст25 , 3 n22  5,1 5, 2  5, 0 d  ................