1625914359-4201826098943ec8a5930a8a95852d2f (Подивилов 2012 - Рабочая тетрадь по математическим методам физики), страница 10

Аналогично для элементов pr 2 , pr и pr 3 .Ищем, нет ли еще подгрупп порядка 4. Находим {e, p, pr 2 , r 2} ∼= D2 ⊳ D4 , аналогично3 2 ∼{e, pr, pr , r } = D2 ⊳ D4 — обе инвариантны.Задача 168 . Найти правые и левые смежные классы по подгруппе H = {e, p}группы квадрата.Ответ. D4 = {e, p} + {r, pr} + {r 2 , pr 2 } + {r 3 , pr 3 } = {e, p} + {r, pr 3 } + {r 2 , pr 2} +{r 3 , pr}.Задача 169 . Построить фактор-группу F = D4 /Z.Ответ. F = {E, R, P, P R} ∼= D2 .Задача 170 . Построить фактор-группу F = D4 /C4 .Ответ. F = {E, P } ∼= C2 .Задача 171 .

* Доказать, что если F = G/Z — циклическая, то G — абелева.655.3. Матричные представления5.3.Матричные представленияОпределение. Гомоморфизм данной группы G в группу квадратных матрицGL(C, n) называется матричным представлением этой группы D.Задача 172 . Доказать, что любое представление D фактор-группы G/H являетсяпредставлением группы.Решение. Факторизация сохраняет операцию на множестве, поэтому отображениеG → G/H → D является гомоморфизмом G → D.Определение.

Порядком матричного представления группы называется порядок матрицы D(g): n = dimD(g).Пример. Выделяют следующие важные представления.1. Всегда существует тривиальное представление D(g) = 1.2. Точным представлением называют изоморфизм G ∼= D(g).3. Регулярным представлением группы |G| = n называют представление порядкаn и вида Dij (gk ) = 1, если gi = gk gj и Dij (gk ) = 0, если gi 6= gk gj .Задача 173 . Построить точное двумерное представление группы C3v , используяматрицы преобразования координат в плоскости треугольника.Задача 174 . Построить точное двумерное представление группы C3v , используяматрицы преобразования переменных z, z ∗ комплексной плоскости, на которую помещентреугольник.Задача 175 . Построить точное трехмерное представление группы C3v , используя~ = (B1 , B2 , B3 ).матрицы преобразования вершин равностороннего треугольника BОтвет.T (e) = E,0 0 1T (r) = 1 0 0 ,0 1 01 0 0T (p) = 0 0 1 ,0 1 00 1 0T (r 2 ) = 0 0 1 ,1 0 00 0 1T (pr) = 0 1 0 ,1 0 00 1 0T (pr 2 ) = 1 0 0 .0 0 1Задача 176 .

* Построить регулярное представление группы C3v .Задача 177 . Выразить через матрицу D(g) следующие матрицы:1) D(g n ) = D n (g),;2) D(g −1) = D −1 (g),и показать, что если x ∼ y, то D(x) ∼ D(y).Определение. Представления φ : g → D(g) и φ′ : g → D1 (g) называютсяэквивалентными, если ∃S такая, что D1 (g) = S −1 D(g)S, ∀g ∈ G.Задача 178 . * Доказать, что для любого представления конечной группы существует эквивалентное ему унитарное представление: D(g)D †(g) = E, ∀g ∈ G.665. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУППЗадача 179 . Показать, что точные представления из задач 173 –175 являютсяунитарными.Замечание.

Далее нас будут интересовать неэквивалентные представления. Введем характер представления.Определение. Характером представления называются след матрицы χ(D(g)) =T r(D(g)).Задача 180 . Показать, что если D1 ∼ D, то χ(D1 (g)) = χ(D(g))∀g ∈ G. Характерыэквивалентных представлений совпадают.Задача 181 . Найти χ(D(e)).Ответ. χ(D(e))=dim D.Задача 182 .

Показать, что если g1 ∼ g, то χ(g1 ) = χ(g). Таким образом, χ(g) =χ(Kg ) зависит только от класса сопряженных элементов для любого представления.Задача 183 . * Пользуясь решением задачи 178 , показать, что χ(g −1 ) = χ(g)∗ длялюбого представления D(g).Решение. Пусть U — унитарное представление и U ∼ D, тогда χ(D(g))∗ = χ(U(g))∗ =χ(U † (g)) = χ(U −1 (g)) = χ(U(g −1 ) = χ(D(g −1)).Задача 184 . Пользуясь решением задачи 178 , показать, что для любого N-мерногоNPk), где |g| = n и pk — целые.exp( 2πipпредставления D(g) имеет место формула χ(g) =nk=1NPРешение.

Пусть U — унитарное представление и U ∼ D, тогда χ(D(g)) = χ(U(g)) =exp(iφk ). Поскольку U(g n ) = (U(g))n = E, то φk = 2πpk /n, где pk — целые.k=1Определение. Если существует базис, в котором все матрицы D(g) принимают блочно-диагональный вид, то представление D(g) называется вполнеприводимым.Замечание. Таким образом, существует базис, в котором все матрицы любого приводимого представления конечной группы есть прямая сумма матриц неприводимых предPставлений: D(g) ∼ ⊕D (k) (g). Причем очевидно, что dim D = k dim D (k) , где D (k) (g) —неприводимые представления.Задача 185 .

Доказать, что порядок любого неприводимого представления абелевой группы равен 1.Решение. Поскольку все g коммутируют, то все матрицы любого представленияD(g) коммутируют, а значит, существует базис, в котором S −1 D(g)S диагональна. Всематрицы представления диагональны, т. е. приводимы, если dim D > 1.Задача 186 . Найти все неприводимые представления для циклической группы Cn .Решение. Обозначим gk = g k , тогда D(gk ) = D k (g). Любое одномерное представление обладает свойством D n (g) = D(g n ) = 1. Существует n решений этого уравнения D (j) (g) = exp(2πij/n).

Таким образом, имеется n одномерных представлений видаD (j) (gk ) = exp(2πijk/n).675.3. Матричные представленияЗамечание. Приведем без доказательства следующие два свойства неприводимых представлений.1. Число неэквивалентных неприводимых представлений равно числу классов сопряженных элементов.2. Справедливо соотношение ортогональности неприводимых представлений D (i)X(i)∗(j)Dα,β (gk )Dγ,δ (gk ) =gk ∈Gnδij δα,γ δβδ ,ni(5.1)где |G| = n, а ni — размерность представления D (i) (g).PЗадача 187 . ∗ Доказать, что |G| ≥ i n2i , где суммирование выполнено по всемнеэквивалентным неприводимым представлениям.Указание.

Каждому матричному элементу каждого неприводимого представления можно поставить в соответствие n-мерный вектор с компонентами, нумеруемымиэлементами группы, n = |G|. Вследствие (5.1) все векторы ортогональны, значит, такихвекторов может быть не больше n. Прямой подсчет числа матричных элементов даетнеобходимую формулу.Задача 188 . Вывести соотношение ортогональности для характеров неприводимых представлений.XXχ(i)∗ (gk )χ(j) (gk ) =χ(i)∗ (Kl )χ(j) (Kl )pl = nδij ,(5.2)gk ∈Glгде pl — число элементов в классе эквивалентности Kl .Указание. Воспользоваться (5.1) для следов матриц.Задача 189 .

Из соотношения ортогональности для характеров неприводимых представлений вывести соотношениеXn(5.3)χ(i)∗ (Kl )χ(i) (Km ) = δlm .plipУказание. Заметим, что матрица Ujl = χ(j) (Kl ) pl /n унитарна: U † U = E. Тогдаискомое соотношение имеет вид UU † = E.PЗадача 190 . Пользуясь (5.3), доказать, что |G| = i n2i — сумма квадратов размерностей всех неэквивалентных неприводимых представлений.Указание. Рассмотреть Kl = Km = {e}.Пример. Найти таблицу характеров группы треугольника.В группе 3 класса сопряженных элементов, значит, имеется три неприводимыхпредставления. Их размерности задаются равенством n21 + n22 + n23 = 6.

Единственноеразложение в сумму квадратов имеет вид 12 + 12 + 22 = 6. Первая строка таблицы этовсегда характер тривиального представления χ(1) (Kl ) = 1. Первый столбец это характеры неприводимых представлений от e, т. е. dim D (i) = ni . Характер второго одномерного представления от элемента 3-го порядка r должен удовлетворять уравнениям(χ(2) (r))3 = 1 и χ(2) (r) = χ(2) (K2 ) = χ(2)∗ (r), откуда χ(2) (r) = 1. Для элементов второгопорядка χ(2) (K3 ) = ±1, а из ортогональности характеров (1 + 2 + 3χ(2) (K3 ) = 0), следует, что χ(2) (K3 ) = −1. Наконец, последняя строка таблицы характеров строится изортогональности столбцов685. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУППχ(1)χ(2)χ(3)e r, r 211112 -1p, pr, pr 21.-10Задача 191 .

Найти таблицу характеров группы квадрата.Решение. В группе 5 классов сопряженных элементов, значит имеется 5 непривоP 2димых представлений. Их размерности задаются равенствомni = 8. Отсюда получаем для размерностей неприводимых представлений ni = (1, 1, 1, 1, 2). Первая строкатаблицы — это всегда характер тривиального представления χ(1) (Kl ) = 1. Первый столбец — это характеры неприводимых представлений от e, т. е. dim D (i) = ni Характерыоставшихся одномерных представлений найдем с помощью неприводимых представлений фактор-группы D4 /Z = D2 , которая состоит из e и 3-х элементов 2-го порядка.

Онаабелева, значит, у нее 4 одномерных неприводимых представления, которые являютсятакже и искомыми представлениями группы квадрата. Поскольку при факторизациидва КСЭ группы квадрата: {e} и {r 2 } сливаются в один класс группы D2 , то имеемдля всех одномерных представлений группы квадрата χ(i) (r 2 ) = 1, а из ортогональности столбцов χ(5) (r 2 ) = −2 для двумерного представления. Для элементов второгопорядка, принадлежащих классам K3 , K4 , K5 , имеем χ(i) (Kj ) = ±1, а из ортогональности характеров D2 следует, что χ(2) (K3,4,5 ) = (1, −1, −1) и χ(3) (K3,4,5 ) = (−1, 1, −1) иχ(4) (K3,4,5 ) = (−1, −1, 1). Наконец, последняя строка таблицы для характеров двумерного представления строится из ортогональности столбцов:(1)χχ(2)χ(3)χ(4)χ(5)e11112r21111-2r p1 11 -1-1 1-1 -10 0pr1-1.-110Задача 192 .