1625914359-4201826098943ec8a5930a8a95852d2f (Подивилов 2012 - Рабочая тетрадь по математическим методам физики)

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РФНОВОСИБИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТФизический факультетКафедра теоретической физикиЕ. В. Подивилов, Е. Г. Шапиро, Д. А. ШапироРАБОЧАЯ ТЕТРАДЬПО МАТЕМАТИЧЕСКИМ МЕТОДАМ ФИЗИКИУчебное пособиеНовосибирск2012УДК 530.1:51ББК В311я73-1П442Подивилов Е. В., Шапиро Д. А., Шапиро Е. Г. Рабочая тетрадь по математическим методам физики: Учеб. пособие/ Новосиб.

гос. ун-т, Новосибирск, 2012. 126 с.ISBN 978-5-4437-0098 - 4.В пособии рассмотрены темы, которые изучаются в курсе «Методы математической физики»: уравнения в частных производных, специальные функции, асимптотические методы, применение теории групп в физике и метод функций Грина. Делается упорна умение решать задачи из разных разделов физики, применять теоретические знания,полученные на лекциях. Рабочая тетрадь содержит более 260 задач, которые рекомендуется решить на семинарах в течение учебного года. Каждый семинар начинается скраткого изложения теории.

Затем идут задачи, как правило снабженные решениями,указаниями или ответами. Звездочками отмечены задачи повышенной сложности, решение которых не является обязательным, и дополнительные разделы, не входящие впрограмму.Издание предназначено для студентов 3-го курса физического факультета НГУ.Рецензент:д.ф.-м.н., проф. А. И. МильштейнИздание подготовлено в рамках реализации Программы развития государственногообразовательного учреждения высшего профессионального образования «Новосибирский государственный университет» на 2009–2018 годы.ISBN 978-5-4437-0098 - 4ccНовосибирский государственныйуниверситет, 2012Подивилов Е. В., Шапиро Д. А.,Шапиро Е.

Г., 2012Оглавление1. Линейные операторы1.1. Матрицы . . . . . . . . . . . . . . . .1.1.1. След . . . . . . . . . . . . . . .1.1.2. Определитель . . . . . . . . .1.2. Функции матрицы . . . . . . . . . . .1.2.1. Резольвента . . . . . . . . . .1.2.2. Проекторы . . . . . . . . . . .1.3. Унитарные и эрмитовы матрицы . .1.4. Матрицы Паули . . . . .

. . . . . . .1.5. Операторы в пространстве функций....................................2. Уравнения в частных производных2.1. Линейные уравнения первого порядка . . .2.1.1. Характеристики . . . . . . . . . . . .2.1.2. Задача Коши . . . . . . . . . . . . . .2.2. Квазилинейные уравнения . . . . . . . . . .2.3. Нелинейные уравнения I порядка ∗ . . .

. .2.4. Системы уравнений . . . . . . . . . . . . . .2.4.1. Канонический вид при n = 2 . . . .2.4.2. Инварианты Римана . . . . . . . . .2.4.3. Гиперболические системы с n > 2 ∗ .2.5. Линейные уравнения II порядка . . . . . .2.6. Автомодельность . . . . .

. . . . . . . . . .2.7. Нелинейные уравнения II порядка . . . . .2.7.1. Бегущая волна . . . . . . . . . . . . .2.7.2. Подстановки . . . . . . . . . . . . . .2.8. Метод Фурье . . . . . . . . . . . . . . . . . .2.8.1. Гиперболический тип . . . . . . . . .2.8.2. Параболический тип . . .

. . . . . .2.8.3. Эллиптический тип . . . . . . . . . .2.9. Разделение переменных . . . . . . . . . . .2.9.1. Ортогональные системы координат2.9.2. Параболоидальные координаты . . .2.9.3. Сфероидальные координаты . . . .........................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................................55556788910......................12121213141518182022232628283031313334363636374ОГЛАВЛЕНИЕ3.

Специальные функции3.1. Гипергеометричекие функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.2. Ортогональные полиномы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3.3. Функции Бесселя . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .393942444. Асимптотические методы4.1. Интеграл Лапласа . .

. . .4.2. Метод стационарной фазы4.3. Метод перевала . . . . . .4.4. Метод усреднения . . . . .....4747495255..................57575759616263656869737576798285889093.....9797101105108113.......116116118120121122123125....................................................................5. Применение теории групп5.1. Основные понятия теории групп .

. . . . . . . . . . . .5.1.1. Группа, подгруппа, порядок . . . . . . . . . . . .5.1.2. Смежные классы, индекс подгруппы . . . . . . .5.1.3. Инвариантная подгруппа, фактор-группа . . . .5.1.4. Сопряженные элементы . . . . . . . . . . . . . .5.2. Группа квадрата и куба . . . .

. . . . . . . . . . . . . .5.3. Матричные представления . . . . . . . . . . . . . . . . .5.4. Применение теории представлений . . . . . . . . . . . .5.4.1. Кратность вырождения нормальных колебаний5.4.2. Снятие вырождения . . . . . . . . . . . . . . . .5.4.3. Правила отбора . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5.5. Группы Ли. Инвариантные тензоры . . . . . . . . . .

.5.5.1. Неприводимые представления группы SO(2) . .5.5.2. Группы O(2) и SO(3) . . . . . . . . . . . . . . . .5.5.3. Представления группы SO(3) . . . . . . . . . . .5.5.4. Представления группы O(3) . . . . . . . . . . .5.5.5. Симметризация тензорных представлений . . .5.5.6. Группа SU(2) и ее неприводимые представления..............................................................................................................6. Функции Грина6.1. Функция Грина обыкновенного дифференциального уравнения6.2. Обобщенные функции Грина для ОДУ .

. . . . . . . . . . . . . .6.3. Функции Грина эллиптических уравнений . . . . . . . . . . . .6.4. Функции Грина параболических уравнений . . . . . . . . . . . .6.5. Функции Грина волновых уравнений . . . . . . . . . . . . . . . .Приложение A: Симметризаторы ЮнгаA.1. Циклы . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . .A.2. Схемы Юнга . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A.3. Симметризаторы . . . . . . . . . . . . . . . . . . .A.4. Симметризация базиса . . . . . . . . . . . . . . . .A.5. Характеры симметризованных представлений . .A.6. Независимые компоненты инвариантных тензоровA.7.

Неприводимые характеры групп подстановок . . ...................................................................................................................................................................................................................................Глава 1Линейные операторы1.1.1.1.1.МатрицыСледБудем рассматривать квадратные матрицы.Определение.

След матрицы равен сумме ее диагональных элементов.Задача 1 . Доказать, что матрицы можно циклически переставлять под знакомследаtr (A1 A2 . . . An ) = tr (A2 . . . An A1 ).Указание. Сначала проверьте, что для двух матриц tr (AB) = tr (BA).Задача 2 . Матрицы A, B подобны (A ≈ B), если существует невырожденная квадратная матрица T такая, что B = TAT−1 . Покажите, что подобные матрицы имеютодинаковый след. Какие еще инварианты преобразования подобия вы знаете?Собственные значения матрицы находятся из решения характеристического уравнения |λE − A| = 0.Иногда матрицу можно привести к диагональному видуλ1 0 .

. . 0 0 λ2 . . . 0 −1A = TΛT , Λ =  .(1.1).. . ...  .... ..00. . . λnТогда на главной диагонали стоят собственные значения λ1 , . . . , λn , поэтому след — этосумма собственных значений:nXtr A =λi .i=11.1.2.ОпределительЕсли матрица приводится к диагональному виду, ее определитель равен произведениюсобственных чиселnYdet A =λi .i=161. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫЕсли матрица приводится к жордановой форме, то определитель равен произведениюее диагональных элементов.Задача 3 . Показать, что если AC = CA, |A| =6 0, тоA B = |AD − CB| . C D(1.2)Указание. Умножить слева на блочную матрицу!E 0−C Aи превратить матрицу в блочно-верхнетреугольную.Определение.

Экспонентой от матрицы называется разложение экспоненты, в которое вместо аргумента подставлена матрицаeA = 1 + A +1 2A + ....2!Задача 4 . Доказать, чтоdet eA = etr A .Указания.Λ.(1.3)1. Поверить, что равенство выполнено для диагональной матрицы2. Проверить, что если B = TAT−1 , то равенство (1.3) выполнено и для подобнойматрицы B.3. Вывести равенство (1.3) для жордановой клетки.4.

Показать, что если для каждой клетки равенство (1.3) выполнено, то оно справедливо и для блочно-диагональной матрицы, составленной из таких клеток.1.2.Функции матрицыОпределение. Если функцию f (x) можно разложить в ряд Тейлораf (x) = f (0) + f ′ (0)x +f ′′ (0) 2x + ...,2!то эта функция от квадратной матрицы A дается тем же рядомf (A) = f (0) + f ′ (0)A +f ′′ (0) 2A + ....2!Задача 5 . Показать, что если матрица приводится к диагональному виду (1.1), тофункцию от матрицы можно вычислить в собственном базисеf (TΛT−1 ) = Tf (Λ)T−1 .71.2. Функции матрицыλ*λ2*λ3*λ1CРис.