1625914359-4201826098943ec8a5930a8a95852d2f (Подивилов 2012 - Рабочая тетрадь по математическим методам физики), страница 8

Разделяявещественную и мнимую части τ = x + iy, найдем линии Стокса"#(x + iy)3x3Im i+ (x + iy) =− xy 2 + x = 0.33Чтобы не выйти из секторовсходимости, контур можно преобразовать только в верхнююpветвь гиперболы y = x2 /3 + 1, проходящей через стационарную точку τ = i.Ответ.2 3/21.Ai(ξ) ∼ √ 1/4 exp − ξ32 πξЗадача 126 .

∗ Методом перевала найти асимптотику функции Эйри (4.2) в классически разрешенной области при ξ → −∞.544. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫУказание. t = |ξ|1/2 τ, S(τ ) = τ 3 /3 − τ . Линии Стокса x3 /3 − xy 2 − x = ±2/3 можнонарисовать, разрешая относительно y:r2x2y=±−1+ .3x3Значит, середину контура τ = 0 надо сдвинуть в −i∞, контур пустить вдоль двух симметричных ветвей графа Стокса.Ответ.Задача 127 .12 3/2 π.|ξ| −Ai(ξ) ∼ √cosπ|ξ|1/4341F (ξ) =2πZ∞ 3zdzexp i+ ξz,31 + z2−∞ξ → +∞.Указание.

При попытке поднять и деформировать контур, как это делалось прирешении задачи 125 , он «зацепится» за полюс z = +i. В то же время вклад точки пере√вала − exp(−2ξ 3/2 /3)/2 πξ 1/4 экспоненциально мал по сравнению с вычетом в полюсе.Ответ.1F ∼ e1/3−ξ .2Задача 128 . Найти асимптотику функции Бесселя нецелого порядка, пользуясьпредставлением ШлефлиIexp 2ξ t − 1t1Jν (ξ) =dt, ξ → +∞,2πi γtν+1где контур γ обходит точку 0 в положительном направлении (см. рис. 3.1).Указание.11t−,S(t) =2tt1,2 = ±i.Деформируем контур так, чтобы он проходил по линиям Стоксаryx=±|y ± 1|.y±2Ответ.

Асимптотика такая же, как для целого порядкаr2πν π .Jν (ξ) =cos ξ −−πξ24Покажите, что в следующем порядке появится поправка O(ξ −1). Если ν — целое число,то поправка получается порядка O(ξ −3/2).Задача 129 . Найти квазиклассическую асимптотику полиномов Лежандра приl≫11 dl 21Pl (ξ) = l(ξ − 1)l =l2 l! dξ2πiZγdz (z 2 − 1)l.2l (z − ξ)l+1Контур γ обходит точку z = ξ ≡ cos θ в положительном направлении.554.4. Метод усредненияУказание. Выбрать амплитуду A(z) = (z − ξ)−1 и фазуS(z) = lnОтвет.Pl (cos θ) ∼4.4.sz2 − 1.z − cos θ2θ π.cos lθ + −πl| sin θ|2 4Метод усредненияУсреднение системы уравненийϕ̇ = ω + εf (I, ϕ),I˙ = εg(I, ϕ),(4.3)где I = (I1 , .

. . , In ) — вектор медленных (амплитудных) переменных, ϕ = (ϕ1 , . . . , ϕn ) —вектор быстрых (фазовых) переменных, ω = (ω1 , . . . , ωn ) — вектор угловых частот, f, g —заданные функции 2n переменных, а ε — малый параметр, сводит ее к системе вдвоеменьшей размерности(4.4)J˙ = εG(J), G(J) = g(J, ϕ).Здесь черта означает усреднение по фазам. Последняя система называется усредненнымуравнением и описывает эволюцию амплитуд на больших временах.Задача 130 . Преобразовать уравнение слабонелинейного осциллятораẍ + x = −εp(x, ẋ)к виду (4.3) с помощью преобразования Боголюбова — Крыловаx = a cos ϕ,ẋ = −a sin ϕ,ϕ = t + θ.Указание. Продифференцировать x и приравнять к выражению для ẋ, затем продифференцировать ẋ и приравнять к −x−εp.

Получившуюся систему можно разрешитьотносительно ȧ, θ̇.Ответ. ȧ = εp sin ϕ, откуда следует усредненное уравнение (4.4) сG(J) = p(J cos ϕ, −J sin ϕ) sin ϕ.Медленная эволюция определяется Фурье-компонентой силы на частоте первой гармоники.Задача 131 . Найти нелинейный сдвиг частоты осциллятораẍ + x =x3.6Указание.

Сдвиг дается уравнениемεθ̇ = p cos ϕ.a564. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫОтвет.a2ω =1− .16Задача 132 . Найти эволюцию амплитуды в задачах о резонансе p = f0 cos(ϕ − ϕ0 )и параметрическом резонансе f = −x cos 2(ϕ − ϕ0 ).Ответ. После усреднения соответственно получаем1G = f0 sin ϕ02для резонанса и1G = − J sin 2ϕ04для параметрического резонанса. По какому закону меняется амплитуда в том и другом случае? Проверьте, что при включении трения 2γ ẋ у параметрического резонансапоявляется порог.Задача 133 .

Найти эволюцию за много периодов амплитуды осциллятораẍ + εp(ẋ) + x = 0со слабым трением трех видов:1) вязкое трение p = 2ẋ;2) сухое трение p = 2sign(ẋ);3) нелинейное трение p = 2ẋ3 .Ответ. Затухание осциллятора происходит по разным законам:1) J = J0 e−εt ;2) J = J0 −3) J =4εt,tπ< πJ0 /4ε, J = 0, t > πJ0 /4ε;1.J0−1 +3εt/8Почему при сухом трении затухание происходит быстрее, а при нелинейном — медленнее?Задача 134 . Найти устойчивые предельные циклы двух осцилляторов Ван дерПоля: ẍ − ε(1 − x2 )ẋ + x = 0 и ẍ − ε(1 − |x|)ẋ + x = 0.J2J˙Указание. В первом случае усредненное уравнение J = ε 2 1 − 4 , во второмJ˙ = ε J 1 − 4 J .23πОтвет.

При ε < 0 устойчиво только решение J = 0. При ε > 0 становится устойчивым предельный цикл J = 2 у первого осциллятора и J = 3π/4 у второго.Глава 5Применение теории группВ физике применения теории групп тесно связано с симметрией. Например, симметричные молекулы описываются конечными группами, а сдвиги и повороты в однородномпространстве или времени — группами Ли.5.1.5.1.1.Основные понятия теории группГруппа, подгруппа, порядокОпределение.

Пусть имеется множество элементов G, на котором определена бинарная операция (которую будем называть умножением), такая, что∀a, b ∈ G:a · b = c ∈ G.Если выполняются следующие аксиомы:1) ∃e ∈ G такой, что ∀a ∈ G выполняется e · a = a · e = a (единица);2) ∀a ∈ G ∃a−1 ∈ G, такой что a · a−1 = a−1 · a = e (обратный элемент);3) ∀a, b, c ∈ G справедливо a(bc) = (ab)c (ассоциативность),то G называется группой.Пример.1. Для G = {x ≥ 0} с операцией x + y = z. (Отсутствует обратный элемент.)2.

Для G = {x ∈ R} с операцией x + y = z. (G — группа.)3. Для G = {x > 0} с операцией x · y = z. (G — группа.)4. Для G = {x ∈ (0, 2)} с операцией x· y = z. (Множество не замкнуто относительнооперации.)−1 −1Задача 135 . Доказать, что (a1 a2 ...an )−1 = a−1n ...a2 a1 .Определение. Порядком конечной группы |G| называется число элементовв группе G.Определение. Порядком элемента |a| = n называется минимальное n такое,что an = e.Задача 136 . Доказать: |ab| = |ba|.585. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУПП312Рис. 5.1. Группа треугольника C3vРешение.

Пусть |ab| = n (т. е. (ab)n = e), тогда e = b(ab)n b−1 = (ba)n . Если существует k < n такое, что (ba)k = e, тогда (ab)k = a(ba)k a−1 = e, что противоречитопределению порядка ab.Задача 137 . Доказать: |a| ≤ |G|.Решение. Если |a| = n, то все элементы gk = ak при 1 ≤ k ≤ n различны, так какесли существуют k < q ≤ n такие, что gk = gq , то gq−k = e. Если |a| > |G|, то числоразличных элементов gk больше, чем элементов в группе.Задача 138 . Доказать: |a| = |a−1 |.Решение. Пусть |a| = n, тогда (a−1 )n = (a−1 )n an = e.

Если существует k < n такое,что (a−1 )k = e, тогда ak = ak (a−1 )k = e, что противоречит определению порядка a.Определение. Если H ⊂ G и H — группа, то H называется подгруппой в G:H < G.Замечание. H = e и H = G являются тривиальными подгруппами и не обсуждаются.Пример. Группа симметрии правильного треугольника. Элементами этой группы являются: {e} — тождественное преобразование, {r, r 2 } — поворот на 120 и 240 градусов, атакже три отражения {p, pr, pr 2 } относительно биссектрис углов (рис. 5.1). Все аксиомывыполняются.

Обратные элементы r −1 = r 2 и p−1 = p, остальные находятся аналогично.Каждому элементу соответствует какая-нибудь перестановка вершин треугольника: e = (1)(2)(3), r = (123), r 2 = (132)p = (1)(23), pr = (2)(13), pr 2 = (3)(12). Все этиперестановки образуют группу подстановок P3 . Взаимно однозначное соответствие элементов и операций умножения в двух группах называют изоморфизмом. Мы не будемразличать изоморфные группы, считая их одной и той же группой.Можно построить всю таблицу умножения элементов группы друг на друга, нодостаточно знать порождающие элементы и определяющие соотношения.

В группе треугольника проверим, что rp = pr 2 . Этого соотношения достаточно, чтобы найти всепроизведения элементов, напримерr 2 p = r(rp) = rpr 2 = pr 4 = pr,(rp)(r 2 p) = (rp)(pr) = r 2 .5.1. Основные понятия теории групп59По любому элементу группы можно построить циклическую подгруппу. Для примера возьмем элемент r. В подгруппе должен быть элемент e, и она должна быть замкнута относительно операции. Рассматривая степени r, получим, что |r| = 3 и циклическая подгруппа, которую порождает этот элемент, C3 = {e, r, r 2}, состоит из трехэлементов, |C3 | = 3.

Для циклических групп Cn = {g n } выполняется равенство |Cn | = |g|,только если g — порождающий элемент. Другие циклические подгруппы {e, p}, {e, pr},{e, pr 2 } имеют порядок 2, такой же, как и порядок порождающих их элементов.Подгруппа C3 состоит из вращений треугольника относительно центра — оси третьего порядка, т. е. порядок оси равен порядку подгруппы. Остальные подгруппы порядка 2 соответствуют отражениям относительно плоскостей симметрии, таких плоскостейтри, поэтому здесь три таких подгруппы. Более сложных подгрупп в P3 нет.Определение. Группа G называется абелевой или коммутативной, если ∀g1 , g2 ∈G выполняются равенства g1 g2 = g2 g1Проверить, чтоа) группа P3 - не абелева (rp 6= pr),б) все циклические группы — абелевы (∀gn = g n ∈ G выполняется gn gk = g n+k =gk gn ).Задача 139 . Доказать, что если ∀x ∈ G выполняется соотношение x2 = 1, тогруппа G — абелева.Решение.

x1 x2 = (x2 )2 x1 x2 (x1 )2 = x2 (x2 x1 )2 x1 = x2 x15.1.2.Смежные классы, индекс подгруппыОпределение. Пусть H < G и g ∈ G. Тогда множество всех элементоввида {hg| h ∈ H} с фиксированным g называется правым смежным классом иобозначается Hg. Аналогично gH = {gh| h ∈ H} называется левым смежнымклассом.Задача 140 .

Доказать, что либо Hg1 = Hg2 (множества совпадают) либо Hg1 ∩Hg2 = ∅ (пересечение множеств пусто).Указания. 1. Сначала покажем, что если g ∈ H, то hg ∈ H∀h ∈ H, а значитHg = H.2. Если g1 ∈/ H, тогда ∀h ∈ H имеем hg1 ∈/ H, а значит Hg1 ∩ H = ∅.3. Если g2 ∈ Hg1 , тогда ∀h ∈ H имеем hg2 ∈ Hg1 , а значит Hg2 = Hg1 .4. Если g2 ∈/ Hg1 , т. е. g2 g1−1 ∈/ H, тогда ∀h ∈ H, hg2 ∈/ Hg1 , а значит Hg2 ∩ Hg1 = ∅.Поэтому множество элементов группы G является объединением непересекающихся смежных классов ее подгруппы H:G = H ∪ Hg2 ∪ · · · ∪ Hgm−1 ,любой элемент из G принадлежит одному и только одному классу HgiЗадача 141 .

Доказать |Hg| = |H|.605. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУППРешение. Если множество из n различных элементов группы {hk } умножить наодин и тот же элемент группы g, то все n элементов множества {hk g} являются различными и составляют правый смежный класс Hg.Значит, порядок подгруппы обязан быть делителем порядка группы: |G| = |H|m.Определение. Число смежных классов m = |G : H| называется индексомподгруппы H в группе G.Заметим, что множество элементов {g l | l ∈ Z} является подгруппой, откуда следует: |G| = |g|k — порядок любого элемента группы является делителем порядка группы.Задача 142 . Подгруппы какого порядка могут быть в P3 ?Ответ. Подгруппы порядка 2 могут порождаться только элементами порядка 2.Таких элементов три и они порождают три разных подгруппы.