1625914359-4201826098943ec8a5930a8a95852d2f (Подивилов 2012 - Рабочая тетрадь по математическим методам физики), страница 21

С помощью формулы (A.8) найти порядки классов сопряженныхэлементов в группе π5 .π4 :σ1 = {4}, g =Решение.5!= 30,45!5!g({23}) == 20, g({123}) == 20,2·32! · 35!5!5!= 15, g({13 2}) == 10, g({15}) == 1.g({122}) =22! · 23! · 25!Задача 281 . Найти, какие из циклов предыдущей задачи четные. Порядки четныхклассов применить для разбиения на классы знакопеременной группы A5 ≈ Y .g({5}) =5!= 24,5g({14}) =Ответ. g({5}) + g({123}) + g({122}) + g({15}) = 24 + 20 + 15 + 1 = 60, а циклы{23}, {14}, {132} — нечетные.Количество неприводимых представлений группы совпадает с числом классов сопряженных элементов, поэтому можно обозначить неприводимые представления темиже комбинациями чисел, что и классы, но в квадратных скобках: [1τ1 .

. . nτn ]. В приложении на с.125 приведены таблицы неприводимых характеров простейших групп перестановок π2 ÷ π5 . Буквой g обозначены порядки классов {1τ1 . . . nτn }.A.3.СимметризаторыРассмотрим тензор T ∈ RN ⊗ . . . RN ранга p. Тензором мы называем элемент прямогопроизведения p евклидовых пространств RN . Мы ограничились евклидовым пространством, поэтому все индексы будем писать снизу. Перестановка индексов осуществляетсяподстановкой σ̂ ∈ πp :σ̂Ti1 ...ip = Tσ·(i1 ...ip ) .Пусть в каждом экземпляре RN действует группа G < GL(N), тогда действия элементов группы и перестановок индексов коммутируют.

Поэтому можно разбить тензорное представление на части с определенной симметрией. Для этого надо подействоватьна тензор проектором на подпространство неприводимого представления α группы πpnα X (α)∗χ (σ)σ̂,P̂α =p! σ∈πpгде nα = dim D (α) (σ) — размерность неприводимого представления D (α) (σ), а χ(α) =tr D (α) — характер неприводимого представления D (α) .121A.4. Симметризация базисаЗадача 282 .

Вывести формулу для симметризатора и антисимметризатораŜ =1 Xσ̂,p! σ∈π =p1 Xdet σ · σ̂,p! σ∈πpгде det σ — четность подстановки.Решение. У каждой группы πp имеется единичное неприводимое представлениеα = [p]. Всегда имеется также нечетное представление α = [1p ], представление факторгруппы по знакопеременной подгруппе C2 = πp /Ap . Эти представления соответствуютсхемам Юнга в виде вертикальной и горизонтальной полосок из клеток, самого высокого и самого низкого домиков, которые можно построить из заданного числа клеток p(«башни» и «ангара»).Задача 283 .

Выписать все симметризаторы Юнга для тензора третьего ранга.Ответ.1[(123) + (312) + (231) + (213) + (132) + (321)] ,61Â = [(123) + (312) + (231) − (213) − (132) − (321)] ,61B̂ = [2(123) − (312) − (231)] .3Ŝ =A.4.Симметризация базисаДействие представления D(g) размерности N группы G на базисные векторы можноснова разложить по базисуD(g)|ii =NXj=1|jihj|D(g)|ii =NXj=1|jiDji (g).(A.9)Базис тензорного представления есть прямое произведение базисов отдельных экземпляров RN . Например, для p = 2 разложение по прямому произведению базисов пишетсякакNX|ji ⊗ |liDji (g)Dlk (g).(A.10)[D(g) ⊗ D(g)] |ii ⊗ |ki =j,l=1Если подействовать на базисные векторы симметризаторами Юнга, получатся симметризованные базисы.

Поскольку перестановки индексов и действие группы происходят в разных пространствах, симметризованные базисы являются инвариантными подпространствами при действии группы. Значит, матрица тензорного представления припереходе к симметризованным комбинациям базисных векторов становится блочно-диагональной.Задача 284 . Найти симметричную и антисимметричную части (инвариантныеподпространства) базиса RN ⊗ RN .Ответ.Ψsik =1(|ii ⊗ |ki + |ki ⊗ |ii) ,2Ψaik =1(|ii ⊗ |ki − |ki ⊗ |ii) .2(A.11)1226. ФУНКЦИИ ГРИНАЗадача 285 . Найти инвариантные подпространства базиса RN ⊗ RN ⊗ RN .Ответ.1|ii ⊗ |ji ⊗ |ki + |ki ⊗ |ii ⊗ |ji + |ji ⊗ |ki ⊗ |ii +6+|ji ⊗ |ii ⊗ |ki + |ii ⊗ |ki ⊗ |ji + |ki ⊗ |ji ⊗ |ii ,1Ψaijk =|ii ⊗ |ji ⊗ |ki + |ki ⊗ |ii ⊗ |ji + |ji ⊗ |ki ⊗ |ii +6−|ji ⊗ |ii ⊗ |ki − |ii ⊗ |ki ⊗ |ji − |ki ⊗ |ji ⊗ |ii ,12|ii ⊗ |ji ⊗ |ki − |ki ⊗ |ii ⊗ |ji − |ji ⊗ |ki ⊗ |ii .Ψbijk =6Ψsijk =A.5.(A.12)Характеры симметризованных представленийЕсли характер векторного представления χ1 , то характер тензорного представленияранга p равен χp1 .

Для решения ряда задач надо найти характер симметризованногопредставления. Чтобы найти, как действует тензорное представление ранга p = 2 насимметричный базис, обратимся к формулам (A.10), (A.11). Найдем, как действует тензор на симметризованный базис, и разложим результат по векторам базисаN[D(g) ⊗D(g)] |Ψsik i1X|ji ⊗ |li [Dji (g)Dlk (g) + Dli (g)Djk (g)] .=2 j=1(A.13)Чтобы вычислить характер, надо приравнять индексы i = j, k = l или формально умножить выражение в квадратных скобках правой части (A.13) на δij δkl и просуммироватьпо повторяющимся индексам. Получитсяχs (g) =1 2χ (g) + χ(g 2 ) .2(A.14)Задача 286 .

Вывести формулу для характера антисимметричного тензора второгоранга.Ответ.1 2χ (g) − χ(g 2) .(A.15)2Задача 287 . Вывести формулы для характеров симметричных частей тензора третьего ранга.χa (g) =Ответ.1 3χ (g) + 3χ(g)χ(g 2) + 2χ(g 3 ) ,61 3χa (g) =χ (g) − 3χ(g)χ(g 2) + 2χ(g 3) ,62 3χ (g) − χ(g 3) .χb (g) =3χs (g) =(A.16)Если просуммировать все три строки, получится χs + χa + χb = χ3 , т. е. характер тензорного представления (p = 3).A.6.

Независимые компоненты инвариантных тензоровA.6.123Независимые компоненты инвариантных тензоровРешим несколько задач о симметризованных тензорах в трехмерном пространстве (N =3).Задача 288 . Найти число независимых компонент тензора 2-го ранга, инвариантного относительно группы G = SO(2). Сколько из них лежит в симметричной, а скольков антисимметричной части?Решение. Характер трехмерного векторного представления группы равен χ(1) (ϕ) =e−iϕ + 1 + e−iϕ, а тензорного представления — его квадрату χ(1) 2 .

Остается найти, сколькораз в него входит единичное представление χ(1) 2 = 3 + . . . , где многоточием обозначеныслагаемые, которые зависят от угла. Значит, единичное представление входит 3 раза, ау инвариантного тензора 3 компоненты. Теперь по формуле (A.14) найдемχs = 1 iϕ1 (1) 2χ (ϕ) + χ(1) (2ϕ) =(e + 1 + e−iϕ )2 + e2iϕ + 1 + e−2iϕ221 −2iϕ=2e+ 2e−iϕ + 4 + 2eiϕ + 2e2iϕ = 2 + . .

.2Единичное представление входит 2 раза, значит симметричный инвариантный тензоримеет только 2 независимые компоненты. Для антисимметричной части по формуле(A.15) получим то же самое со знаком «минус» в фигурной скобке, т. е. у антисимметричного тензора второго ранга всего 1 независимая компонента. Действительно, тензорвторого ранга в группе вращений вокруг оси ~n можно записать в видеTij = Aδij + Bni nj + Ceijk nk .Последнее слагаемое, как можно догадаться, лежит в антисимметричной части.Задача 289 . Сколько независимых компонент у тензора третьего ранга, инвариантного относительно группы SO(2)? То же для SO(3).Решение.SO(3) : D (1) ⊗ D (1) ⊗ D (1)SO(2) : (χ1 (ϕ))3 = 4 + .

. . ;= D (1) ⊗ D (0) ⊕ D (1) ⊕ D (2) = D (0) + . . . .Ответ. Независимы 4 компоненты в SO(2) и 1 компонента в SO(3).Задача 290 . Сколько независимых компонент у симметричного тензора третьегоранга, инвариантного относительно группы SO(2)? То же для SO(3).Решение.1[(e−iϕ + 1 + eiϕ )3 + 3(e−iϕ + 1 + eiϕ )(e−2iϕ + 1 + e2iϕ ) + 2(e−3iϕ + 1 + e3iϕ )] =χa (ϕ) =6= (7 + 3 + 2)/6 + · · · = 2 + . . . .Ответ. В группе SO(2) 2 компоненты:Tijk = A (δij nk + δki nj + δjk ni ) + Bni nj nk .В группе SO(3) 0 компонент. Тот же результат можно получить с помощью однородныхполиномов.1246.

ФУНКЦИИ ГРИНАЗадача 291 . Сколько независимых компонент у антисимметричного тензора третьего ранга, инвариантного относительно группы SO(2)? То же для SO(3).Решение. По формуле (A.16) получаемχs (ϕ) = 61 [(e−iϕ + 1 + eiϕ )3 − 3(e−iϕ + 1 + eiϕ )(e−2iϕ + 1 + e2iϕ ) + 2(e−3iϕ + 1 + e3iϕ )] == (7 − 3 + 2)/6 + · · · = 1 + . . .

.Ответ. В группах SO(2), SO(3) 1 компонента, Tijk = Ceijk .Задача 292 . Сколько независимых компонент у тензора 3-го ранга в группе D3 ?То же для симметричного тензора.Решение. Характер тензорного представления11227 0 -1 разлагаем по таблице1 11 -1-1 0Первый коэффициент g1 = 4, значит всего 4 компоненты. Характер симметричной частинайдем по формулам (A.16). Содержимое каждой клетки находим по формуле χ(θ) =1 + 2 cos θ, где θ = 0, π/3, π, 2π/3, .

. . :hi1+3+2= 10 1 -2 .270-130-130333-16Ответ. 1 компонента. Здесь элементы в ячейках бокса перемножаются как списки:a1a2a3b1b2b3 = a1 b1a2 b2a3 b3 .125A.7. Неприводимые характеры групп подстановокA.7.Неприводимые характеры групп подстановокπ2g[2][12 ]{12 }111π3g[3][12][13 ]{13 ] {12] {3]13211120-11-11{2}11-1π4g[4][13][22 ][12 2][14 ]{14 } {12 2}161131203-11-1{13} {22 }83110-1-120-111π5g[5][14][23][12 3][122 ][13 2][15 ]{15 } {13 2}110114251605-14-21-1{12 3} {14} {122}203015111100-1-1100-2-1111001-11{4}61-101-1{23} {5}202411-1-11001-101-1-11Учебное изданиеПодивилов Евгений Вадимович, Шапиро Давид Абрамович,Шапиро Елена Геннадьевна, Институт автоматики и электрометрии СО РАНРАБОЧАЯ ТЕТРАДЬПО МАТЕМАТИЧЕСКИМ МЕТОДАМ ФИЗИКИУчебное пособиеРедактор Шмугурова К.В.Подписано в печать 25.12.2012 г.

Формат 60 × 84 1/8Печать офсетнаяУч. изд. л. 15,75. Усл. печ. л. 14,6Заказ №Тираж 100 экз.Редакционно-издательский центрНовосибирского государственного университета.630090, Новосибирск, ул. Пирогова, 2..