1625914359-4201826098943ec8a5930a8a95852d2f (Подивилов 2012 - Рабочая тетрадь по математическим методам физики), страница 6

Найти коэффициенты Ламе, выписать оператор Лапласа.3. Разделить переменные в уравнении Шредингера для атома водорода11ψ = Eψ.− △−2rУказание. Номера соответствуют номерам пунктов в задаче.1. В полуплоскости ϕ = 0 исключить последовательно ξ, η, построить графики z(x).А затем вращать графики вокруг оси z (рис.

2.12, a).2. h = (ξ + η)/2. Обратите внимание, что координаты симметричны относительнозамены ξ ↔ η, z → −z.372.9. Разделение переменных3. Искать решение вида ψ = X(ξ)Y (η)Φ(ϕ) и воспользоваться тождеством r = (ξ +η)/2.Ответ.ξ − x2 /ξx2 /η − η,z =;22ssp1 ξ+η1 ξ+ηhξ =, hη =, hϕ = ξη;2ξ2η∂ ∂1 ∂2∂ ∂4+ξ+η;△=ξ + η ∂ξ ∂ξ ∂η ∂ηξη ∂ϕ2m2′′′2ξξX + X + −X + λ1 X = 0,−κ4ξ4m22η′′′Y + λ2 Y = 0.−κηY + Y + −4η4z=Здесь Φ = eimϕ , κ2 = −2E, λ1 +λ2 = 1. Два последних уравнения получились одинаковоговида.2.9.3.Сфероидальные координатыЗадача 80 .

Переход к эллиптическим (или сфероидальным) координатам заданформуламиx=1p 2(ξ − 1)(1 − η 2 ) cos ϕ,2y=1p 2ξη(ξ − 1)(1 − η 2 ) sin ϕ, z = ,222−1 < η < 1, 1 < ξ , 0 6 ϕ < 2π.(2.14)1. Нарисовать координатные поверхности.2. Найти коэффициенты Ламе, выписать оператор Лапласа.3.

Разделить переменные в уравнении Гельмгольца△ + k 2 u = 0.Ответ.1. В плоскости ϕ = 0 получаются эллипсы4z 24x2+=1ξ2 − 1ξ2и гиперболы−4z 24x2+= 1.1 − η2η2Значит координатные поверхности в данном случае — вытянутые сфероиды 3 идвухполостные гиперболоиды вращения (рис. 2.12, б и в). Отсюда название координатной системы «вытянутые сфероидальные» координаты.Сфероидом называют эллипсоид вращения. В зависимости от соотношения осей сфероиды делятсяна вытянутые и сплюснутые.3382. УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХz0.60.4z0.2z0.2 0.4-0.4 -0.2x0.5-0.2xx1.0-0.5-0.6а0.5-1.0 -0.5-0.4бвРис. 2.12.

Координатные линии параболоидальной (а), вытянутой сфероидальной (б) и сплюснутой (б) сфероидальной системы координат в плоскости ϕ = 02.hξ =12sξ2η2−,2ξ −1hη =8△= 2ξ − η212sξ 2 − η2,1 − η2hϕ =1p 2(ξ − 1)(1 − η 2 ),2∂ ξ2 − 1 ∂∂ 1 − η2 ∂+∂ξ 2 ∂ξ ∂η 2 ∂η+1h = (ξ 2 − η 2 ).84∂2.(ξ 2 − 1)(1 − η 2 ) ∂ϕ23.k2 ξ 2m2(ξ − 1)X + 2ξX +X = λX,− 24ξ −1 2 2k ηm22′′′(1 − η )Y − 2ηY + −−Y = −λY.41 − η22′′′Оба уравнения формально совпадают, отличие только в интервалах изменениякоординат ξ, η.Задача 81 .x=∗Если в формулах (2.14) сменить знаки, получится1p 2(ξ + 1)(1 − η 2 ) cos ϕ,2y=1p 2ξη(ξ + 1)(1 − η 2 ) sin ϕ, z = ,22−1 < η < 1, 0 < ξ, 0 6 ϕ < 2π.(2.15)Покажите, что в этом случае координатные поверхности — сплюснутые сфероиды и однополостные гиперболоиды («сплюснутые сфероидальные» координаты).Глава 3Специальные функции3.1.Гипергеометричекие функцииГипергеометрическое уравнение Гауссаz(1 − z)w ′′ + [γ − (α + β + 1)z]w ′ − αβw = 0имеет решение в виде рядаαβ zα(α + 1)β(β + 1) z 2w(z) ≡2F1 (α, β; γ; z) = 1 +++ ....γ 1!γ(γ + 1)2!Уравнение Гаусса имеет регулярные особые точки z = 0, 1, ∞.Вырожденное гипергеометрическое уравнение Куммераzw ′′ + [γ − z]w ′ − αw = 0имеет решение в виде рядаw(z) = lim 2F1 (α, β; γ; z/β) ≡1F1 (α, β; γ; z) = 1 +β→∞α(α + 1) z 2αz++ ....γ 1! γ(γ + 1) 2!Уравнение Куммера имеет регулярную особую точку z = 0 и иррегулярную z = ∞.Задача 82 .

Выразить через гипергеометрические функции ln(1 + z)/z.Указание.z z2 z31− +−+ · · · = 2F1 (1, 1; 2; −z).234Задача 83 . Выразить через гипергеометрические функции (1 − z)n .Ответ.2F1 (−n, β; β; z).Задача 84 . Выразить через гипергеометрические функции exp(z).Ответ.1F1 (α; α; z).403. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИЛинейная замена независимой переменнойЗадача 85 . Выразить функции Лежандра, удовлетворяющие уравнению(1 − x2 )y ′′ − 2xy ′ + λy = 0,через функцию Гаусса. Найти условие обрыва ряда.Указание.

Чтобы регулярные особые точки x = ±1, ∞ перешли в стандартныеположения, выполним преобразование z = (1 − x)/2.Ответ.y = 2F1 (α, β; 1; −z),1α, β = ±2r1+ λ,4λ = l(l + 1), l = 0, 1, 2, . . . .Задача 86 . Свести к вырожденной гипергеометрической функции решение уравнения Бесселя1 ′m2′′R + R + 1 − 2 R = 0.xxУказание. Асимптотики при x = 0 (РОТ) R = x±m , при x = ∞ (ИОТ) R = e±ix .Преобразование Лежандра R = xm e−ix u(x) и замена независимой переменной z = 2ixприводят уравнение Бесселя к уравнению Куммера.Ответ.Jν (x) = xν e−ix 1F1 (ν + 1/2; 2ν + 1; 2ix).Задача 87 .

Свести к вырожденной гипергеометрической функции решение уравнения Шредингера для атома водорода2 l(l + 1)2 ′2′′−− κ R = 0.R + R +rrr2Указание. Асимптотики при r = 0 (РОТ) R1 = xl , R2 = r −l−1 , при r = ∞ (ИОТ)R1,2 = e±κr . Преобразование Лежандра R = r l e−κr u(x) и замена независимой переменнойz = 2κr приводят уравнение Шредингера к уравнению Куммера.Ответ.R = r l e−κr 1F1 (α; γ; 2κr),α = l + 1 − κ−1 , γ = 2(l + 1).Найдите условие обрыва ряда (формулу Бальмера).Задача 88 . ∗ Свести к вырожденной гипергеометрической функции решение уравнения Шредингера для атома водорода в параболоидальных координатах из задачи 79m2′′′2ξξX + X + −X + λ1 X = 0.−κξ4Найдите условие обрыва ряда (формулу Бальмера).Указание.

Выполнить преобразование Лиувилля X = ξ m/2 e−κξ/2 u(ξ), m > 0.413.1. Гипергеометричекие функцииНелинейная замена∗Иногда, чтобы свести уравнение к гипергеометрическому, требуется нелинейная заменанезависимой переменной В общем случае решение в иррегулярной особой точке ищетсяв виде exp(λxσ ), x → ∞, а замена независимой переменной должна быть ξ = xσ .Задача 89 . Свести к вырожденной гипергеометрической функции решение уравнения Эйриψ ′′ − xψ = −k 2 ψ.Указание. Параметр k 2 можно убрать сдвигом начала отсчета координаты x. Асимптотику на бесконечности искать в виде ψ = exp(λxσ ). Получится σ = 3/2, λ = ±2/3.Отсюда видно, что замена независимой переменной нелинейна t = x3/2 .Ответ.ψ = ue−2x3/2 /3,u = 1F1 (1/6, 1/3; 4x3/2/3),что сводится к цилиндрическим функциям порядка ν = −1/3.Сведите уравнение y ′′ − xy = 0 прямо к уравнению Бесселя заменой y = x1/2 u, ξ =2x3/2 /3.

Получится уравнение Макдональда11 ′u + u − 1 + 2 u = 0.3ξ9ξ′′Задача 90 . Свести к вырожденной гипергеометрической функции решение уравнения Шредингера для линейного осциллятораψ ′′ − x2 ψ = −k 2 ψ.Указание. Асимптотику на бесконечности искать в виде ψ = exp(λxσ ). Получитсяσ = 2, λ = ±1/2. Отсюда видно, что неизвестную функцию надо искать в виде ψ =2e−x /2 u, а замена независимой переменной нелинейна ξ = x2 .

Однако при такой заменемы получим только четные состояния осциллятора. Чтобы получить нечетные уровни,2нужна замена ψ = xe−x /2 u.Ответ. Для четныхd2 uξ 2+dξ1−ξ2du k 2 − 1+u = 0,dξ4d2 uξ 2+dξ3−ξ2du k 2 − 3+u = 0.dξ4для нечетныхНайдите условия обрыва ряда (уровни одномерного осциллятора).Задача 91 . ∗ Свести к гипергеометрическому одномерное уравнение Шредингерас безотражательным потенциаломa′′2ψ + −κ + 2ψ = 0, a = N(N + 1).ch x423.

СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИУказание. Замена независимой переменной z = th x сводит уравнение Шредингерак уравнению с полиномиальными коэффициентами(1 − z 2 )ddψ 2(1 − z 2 )+ −κ + a(1 − z 2 ) ψ = 0.dzdzИсключаем асимптотику при z → ±1 заменой неизвестной функции ψ = (1 − z 2 )κ/2 u(z).Получится(1 − z 2 )u′′ − 2(1 + κ)zu′ + [a − κ(κ + 1)]u = 0.Это уравнение с РОТ при x = ±1, ∞, которое перейдет в гипергеометрическое послезамены независимой переменной ξ = (z + 1)/2.Ответ.1u = 2F1 (α, β; γ; z), γ = 1 + κ, α, β = κ + ±2s1κ+22− κ(κ + 1) + a.Найдите условие обрыва ряда. Покажите, что при a = N(N + 1) в такой яме ровно Nуровней.3.2.Ортогональные полиномыНапомним обыкновенные дифференциальные уравнения второго порядка, которым подчиняются полиномы.Уравнение Лежандра(1 − x2 )y ′′ − 2xy ′ + l(l + 1)y = 0.Уравнение Эрмитаy ′′ − 2xy ′ + 2ny = 0.Уравнение Лагерраxy ′′ + (ν + 1 − x)y ′ + ny = 0.(3.1)Задача 92 .

Найти интегральное представление полиномов ЛежандраPl (x) =1 dl 2(x − 1)l .2l l! dxlУказание. Воспользоваться формулой для вычета в полюсе порядка n:f (z)f (n) (z0 )Res=.z→z0 (z − z0 )n+1n!Ответ.Pl (x) = 2−lICгде C — единичная окружность.dz (z 2 − 1)l,2πi (z − x)l+1Задача 93 . Найти производящую функциюF (r, x) =∞Xl=0r l Pl (x),r < 1.(3.2)433.2. Ортогональные полиномыУказание. Воспользуемся комплексным представлением (3.2). ПолучимI1dzF =.2πi C z − x − (z 2 − 1)r/2Из полюсов√1 − 2rx + r 2rпри r < 1 только z2 лежит внутри контура C.z1,2 =1±Ответ.F =√1.1 − 2rx + r 2√Задача 94 . Выполнить в (3.2) замену переменной z = x + i 1 − x2 exp(iϕ), т. е.√перейти к интегрированию по окружности радиуса 1 − x2 вокруг полюса.Ответ.1Pl =2πZ2π0√[x + i 1 − x2 cos ϕ]l dϕ.Оказался ли ответ вещественным?Задача 95 . Вывести соотношение ортогональностиZ 12δl,l′ .Pl (x)Pl′ (x) dx =2l + 1−1Указание.

Ортогональность можно доказать с помощью формулы Родрига, интегрируя по частям l раз. Другой способ — воспользоваться уравнением Лежандра.Задача 96 . Найти рекуррентные соотношения для полиномов Эрмитаnd2x2e−x .−Hn = edxОтвет.Hn′ = 2nHn−1 .Hn+1 = 2xHn − 2nHn−1 ,Задача 97 . Найти производящую функциюF (x, h) =∞Xn=0hnHn (x).n!Указание. Найти Fh , Fx и решить как уравнения в частных производных.Ответ.2F = e2xh−h .Задача 98 . Решить уравнение (3.1) при ν = 0 методом Лапласа.Указание. Правила преобразования Лапласа:d1) x → − dp;2)ddx→ p;3) порядок операторов сохраняется.443. СПЕЦИАЛЬНЫЕ ФУНКЦИИОтвет.1y(x) =2πiIC(p − 1)n pxe dp.pn+1(3.3)Задача 99 .

Вычислить контурный интеграл (3.3).Ответ.1 x dn n −xex e .n! dxnЗадача 100 . Найти производящую функциюLn =F (x, h) =∞Xhn Ln (x).n=0Указание. Воспользоваться интегральным представлением (3.3).Ответ.3.3.hexp −x 1−h.F =1−hФункции Бесселя1 ′m2y + y + 1 − 2 y = 0,xxm21 ′′′y + y + −1 − 2 y = 0.xx′′(3.4)(3.5)Модифицированное уравнение Бесселя (3.5) получается из (3.4) заменой x → ix (поворотом в комплексной плоскости на прямой угол). Решения (3.4) — функции БесселяJm (x) и Неймана Ym (x) (иногда последние обозначают Nm (x)).

Функции Неймана иногданазывают функциями Бесселя второго рода. Решения уравнения (3.5) — это модифицированные функции Бесселя Im (x) и функции Макдональда Km (x). Иногда требуется(1,2)решение уравнения (3.4) в виде линейных комбинаций Hm (x) = Jm (x) ± iYm (x), такназываемые функции Ганкеля (или функции Бесселя третьего рода).Задача 101 . Из разложения функции Бесселя в рядJm (x) =∞Xn=0(−1)n x 2n+mn!(m + n)! 2вывести рекуррентное соотношение для Jm−1 − Jm+1 .Ответ.′Jm−1 − Jm+1 = 2Jm.Задача 102 . Из разложения функции Бесселя в рядJm (x) =∞Xn=0доказать, что J−m = (−1)m Jm .