1625914359-4201826098943ec8a5930a8a95852d2f (Подивилов 2012 - Рабочая тетрадь по математическим методам физики), страница 13

Группанекомпактная. Многообразие группы — это прямая,!ch β sh βA(β) =.sh β ch β.Проверим s21 = t21 − x21 = (tch β + xsh β)2 − (xch βx + tsh β)2 = t2 − x2 = s2 . Умножениеоставляет в группе: A(β1 )A(β2 ) = A(β1 + β2 ). Для скорости получаем правило сложения775.5. Группы Ли. Инвариантные тензорыскоростей специальной теории относительности v = c th (β1 +β2 ) = (v1 + v2 )/(1 + v1 v2 /c2 ).Использование v в качестве параметра неудобно.

Полная группа, сохраняющая интервалs2 , кроме матриц гипераболических поворотов содержит инверсию по координате x →−x и инверсию по времени t → −t и все произведения этих матриц.Если от t, x перейти к повернутым координатам η = x + t, ζ = t − x, то получим в этом базисе группу преобразований, соответствующую сдвиговым деформациям,сохраняющим объем ζη = const. Матрица диагональна: A = diag (exp(β), exp(−β)).3. Растяжения x′i = λxi . Группа GL(1, R+ ) — некомпактная, сохраняет ρ = x/y,удобный параметр λ = exp(β); −∞ < β < ∞.4. Группы сдвигов по координатам x и y: x′ = x + β (GL(1, R)).Задача 203 . Найти размерности следующих групп:1) dim GL(n, R) = n2 ;22) dim SL(n, R) = n − 1;25) dim O(n) = n(n − 1)/2;6) dim SO(n) = n(n − 1)/2;3) dim GL(n, C) = 2n ;7) dim U(n) = n2 ;4) dim SL(n, C) = 2n2 − 2;8) dim SU(n) = n2 − 1.Задача 204 .

Показать, что дробно-линейные преобразования над R составляютax+b(ad 6= cb).группу: x′ = cx+dУказание. Найтиx2 =a1 x1 + b1(a1 a + b1 c)x + (a1 b + b1 d)=.c1 x1 + d1(c1 a + d1 c)x + (c1 b + d1 d)Затем найти размерность dim G = 3. (Если все коэффициенты поделить на одинаковое2число λ, то преобразование не изменится. Удобно выбрать ad − cb → (ad! − cb)/λ = ±1).a bЗатем показать изоморфизм с группой SL(2, R) ⊗ C2 : если A =, то A2 = A1 · Ac dи det A = ±1.Задача 205 . * Показать, что дробно-линейные преобразования над C составляютгруппу. Размерность равна 6. Показать изоморфизм с группой SL(2, C).Задача 206 .

Показать изоморфизм:а) SO(2) ≅ U(1);б) SO + (1, 1) ≅ GL(1, R+ ).Замечание. В силу изоморфизма U(1) = exp(iφ) является точным одномерным представлением абелевой группы SO(2). Аналогично GL(1, R+ ) = {exp(β)} является точнымодномерным представлением абелевой группы гиперболических поворотов SO + (1, 1).Для непрерывных групп имеется бесконечное количество неприводимых представлений.Определение. Генератором группы называется производная по параметру:∂g(x) g(x) − g(0)=.Ij = limx→0xj∂xj x=0785.

ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУППЗамечание. Важно выбрать параметр так, чтобы g(. . . , xj , . . . )g(. . . , x′j , . . . ) = g(. . . , xj +x′j , . . . ). Остается произвол в растяжении параметров xj → λxj , он выбирается из соображений удобства. Очевидно, что конкретный вид генератора зависит как от параметризации, так и от представления группы.Задача 207 .а) Найти генераторы группы SO(2)φ и ее одномерного представления U(1)φ .Ответ.!0 1,−1 0ASO(2) =AU(1) = i.б) Найти генераторы группы SO + (1, 1) и ее представления GL(1, R+ ).Ответ.ASO(1, 1) =!0 1,1 0AGL(1, R+ ) = 1.Замечание. Мы обнаружили общее правило: для компактных однопараметрическихгрупп генератор является антиэрмитовой матрицей (оператором):I † = −I.Для некомпактных однопараметрических групп (подгрупп) генератор является эрмитовой матрицей (оператором):I † = I.Замечание.

Для однопараметрических групп справедлива формула восстановлениягруппы по генератору. В силу абелевости таких групп, уравнениеdg(x)g(δ) dg(x + δ) dg(x)== g(x)I=dxdδdδδ=0δ=0решается в явном виде. Справедлива экспоненциальная формула:g(x) = g(0) exp(Ix) = exp(Ix).Задача 208 .а) Восстановить группы SO(2)φ и U(1)φ по генераторам.Ответ.!0 1 =−1 0SO(2) = exp φ!cos(φ) sin(φ),− sin(φ) cos(φ)U(1) = exp(iφ).б) Восстановить группы SO + (1, 1)β и GL(1, R)+β.Ответ.SO + (1, 1) = exp β!0 1 =1 0ch β sh βsh β ch β!,GL(1, R+ ) = exp(β).795.5.

Группы Ли. Инвариантные тензорыПример. Произведение генератора на число также является генератором. Рассмотримгенератор SO(2) вида I ′ = λI. Восстановим по нему группу:!cos(φλ)sin(φλ)SO(2) = exp(φI ′ ).sin(φλ) cos(φλ)Теперь параметр меняется в пределах 0 ≤ φ < 2π/λ, это также угол поворота, но врастянутом масштабе (например в градусах, если λ = 2π/360), что не очень удобно.Задача 209 .

Найти генераторы группы SL(2, R).Решение.g = SL(2, R) =!a b,c dad − bc = 1,dim SL(2, R) = 3.Надо выбрать параметры (x, y, z) так, чтобы g = E при x = y = z = 0. Кроме того,надо сделать выбор так, чтобы генераторы были эрмитовыми или антиэрмитовымиматрицами:!1+z x+y.g=22x − y 1+x1+z−yОтвет.∂gI3 =∂z5.5.1.!1 0,0 −1∂gI2 =∂y!0 1,−1 0∂gI1 =∂x!0 1.1 0Неприводимые представления группы SO(2)Задача 210 . Найти генераторы группы SO(2) в представлении на функциях F (x, y).Поворот на угол α против часовой стрелки функции F (x, y) эквивалентен поворотусистемы координат на угол −α, поэтомуg(α)F (x, y) = F (x cos α + y sin α, y cos α − x sin α).Для генератора получим ∂dg(α)F (x, y) F (x cos α + y sin α, y cos α − x sin α) ∂ IF ===yF (x, y).−xdαdα∂x∂yα=0α=0dГенератор I = − dφявляется оператором и действует в бесконечно мерном (но счетном,поскольку область задания функции компактна) гильбертовом пространстве.

Восстаd). Действуя этимновление группы дает явный вид группового элемента g(α) = exp(−α dφэлементом на произвольную гладкую функцию, получим:∞X (−α)n dn F (φ)d= F (φ − α).exp(−α )F (φ) =dφn!dφnn=0Задача 211 . Найти все неприводимые представления группы SO(2).805. ПРИМЕНЕНИЕ ТЕОРИИ ГРУППРешение. Поскольку группа абелева, то каждый элемент составляет собственныйкласс и все неприводимые представления одномерные. В этом случае достаточно найтисобственные функции генератора:IF = −dF= λF,dφFλ = A exp(−λφ).Поскольку φ лежит на окружности, то имеется дополнительное условие периодичности(отсутствует у некомпактных групп), которое дает λ = im.

Теперь действие группы накаждом из одномерных подпространств гильбертова пространства, заданных функциями Fm = exp(−imφ), сводится к умножению на одномерную матрицу:g(α)Fm = Dm (g(α))Fm = exp(imα)Fm .Таким образом, имеется бесконечное счетное число одномерных неприводимых представлений, характеры задаются таблицей:(m)χαexp(imα)Ортогональность характеров очевидна.Замечание. Заметим, что Fm = exp(−imφ) является компонентой вектора в гильбертовом пространстве, а Dm (α) = exp(imα) — матрицей (оператором) в подпространстве,натянутом на этот вектор.Задача 212 . * Найти неприводимые представления группы SO(1, 1).Ответ.

D (q) (β) = exp(qβ),q ∈ R.Определение.1. Тензором ранга k называется прямое произведение k векторов: T k =kN~rν =ν=1~r1~r2 ...~rk .2. Тензорным представлением называется прямое произведение векторныхkNпредставлений: D T (g) =D v (g).ν=13.

Тензор является вектором в пространстве прямого произведения векторных пространств, поэтому сумма тензоров одного ранга является тензором,умножение тензора на число является тензором того же ранга.4. Прямое произведение двух тензоров ранга k и m есть тензор ранга k + m.5. Свертка тензора по двум компонентам является обратной операцией кпрямому произведению и уменьшает ранг тензора на 2.6.

По аналогии с нормой вещественного вектора можно ввести kT k2 =PTi,j,...k Ti,j,...k ≥ 0 — свертка по одинаковым компонентам, T вещественны.Задача 213 . Векторы для группы SO(2) двухкомпонентные ~rν = (xν , yν ), а векторным представлением D v (g) являются матрицы самой группы.1. Найти размерность тензорного представления k-го ранга.Ответ. dim D = 2k .815.5. Группы Ли. Инвариантные тензоры2. Разложить векторное представление по неприводимым.Решение. Характер векторного представления χv (α) = 2 cos α = eiα + e−iα значитD v = D (1) ⊕ D (−1) .

Можно найти коэфициенты разложения, пользуясь таблицей харакR2πтеров: κ± = (dα/2π)2 cos α e±iα .03. Разложить прямое произведение неприводимых представлений по неприводи-мым.Ответ. D (m) ⊗ D (n) = D (m+n) .4. Разложить представление тензора 2-го ранга по неприводимым.Решение.

D T = D v ⊗ D v = (D (1) ⊕ D (−1) ) ⊗ (D (1) ⊕ D (−1) ) = D (2) ⊕ 2D (0) ⊕ D (−2) .Задача 214 . Найти компоненты тензора 2-го ранга Tij2 = ri pj , преобразующиесяпо неприводимым представлениям.Решение. Запишем тензор в виде столбца (T11 , T12 , T21 , T22 ) размерности 2k и найдем проекторы в этом базисе:P (2)22cosα−cosαsinα−cosαsinαsinαZ2πcos α sin αdα (2)∗cos2 α−sin2 α−cos α sin αχ (α) =.22−sin αcos α−cos α sin αcos α sin α2π0sin2 αcos α sin αcos α sin αcos2 αМатрица ранга 1, поэтому достаточно найти первый столбец (1/4, i/4, i/4, −1/4), проекция на него тензора (с учетом нормировки) дает амплитуду T(2) = (T11 +iT12 +iT21 −T22 ) =(x + iy)(px + ipy ), которая при повороте переходит в себя, умноженную на exp(2iα).

Аналогично первый столбец проектора P (−2) дает амплитуду T(−2) = (T11 −iT12 −iT21 −T22 ) =(x−iy)(px −ipy ), которая при повороте переходит в себя, умноженную на exp(−2iα). Наконец, проектор на скалярные компоненты тензора имеет ранг 2, и надо найти два столбца.Первый столбец δij /2 = (1, 0, 0, 1)/2, дает T(0) = (T11 +T22 ) = δij Tij = (~r ·~p), скалярное произведение, а второй столбец ǫij /2 = (0, 1, −1, 0)/2 дает T(0′ ) = (T12 − T21 ) = ǫij Tij = [~r × p~],антисимметричное произведение, которое для SO(2) есть скаляр.Складывая неприводимые компоненты, получим1/41/4ǫijδij i/4  −i/4 T(2) + T(0′ )= Tij . + T(−2)  + T(0) i/4 22 −i/4 −1/4−1/4Замечание.