KIR12-18 (Конспект лекций - Кратные интегралы и ряды - А.Н. Канатников), страница 8

. ., αn , αn+1 , т.е. частичная сумма Sn+1 (f ).Ряд (16.5) называют рядом Фурье функции f по ортогональной системе {fk }, а формулы (16.4),по которым вычисляются коэффициенты ряда Фурье, называют формулами Эйлера — Фурье.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Пусть задана бесконечная ортогональная система {fn }. РядÌÃÒÓÌÃÒÓαi = f, fi .ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12∞Pαi fi по ортогональной системе {fi } сходится по норме к функции f ,i=1то коэффициенты αi этого ряда вычисляются по формулам (16.4).J Пусть Sn — последовательность частичных сумм рассматриваемого ряда. При помощи неравенства Коши — Буняковского получаем оценку| f − Sn , fi | 6 kf − Sn k kfi k → 0при n → ∞.

Однако при n > i f − Sn , fi = f, fi − Sn , fi = f, fi − αi kfi k2 ,так что рассматриваемая последовательность | f − Sn , fi |, начиная с n = i + 1, является постоянной.Поэтому на самом деле при n > i выполняется равенство f − Sn , fi = 0, так как предел последовательности равен 0. Следовательно,f, fi − αi kfi k2 = 0и коэффициент αi равен коэффициенту Эйлера — Фурье функции f . IТеорема 16.2 (неравенство Бесселя). Теорема 17.2 Если {αn } — последовательность коэффи∞Pциентов Фурье для функции f ∈ R[a, b] по ортонормированной системе {fn }, то рядαn2 сходитсяn=1и∞XJ Поскольку речь идет о знакоположительном ряде, нам достаточно доказать, что все частичныеnPсуммы Sn =αi2 ограничены числом kf k2 .

Тогда монотонная последовательность частичных суммi=1i=1i=1i=1что равносильно утверждению теоремы. IЗамечание 16.1. Неравенство Бесселя легко переносится на произвольные ортогональные системы. В этом случае это неравенство имеет видÔÍ-12будет иметь предел, равный сумме ряда, который не превосходит kf k2 .Рассмотрим норму разности между функцией и n-й частичной суммой ее ряда Фурье.

Согласно(16.3) и формулам (16.4) получаем2nnnnXXX Xαk fk = kf k2 − 2αi f, fi +αi2 kfi k2 = kf k2 −αi2 > 0,f −ÌÃÒÓαn2 kfn k2 6 kf k2 .n=1Замечание 16.2. Отметим важное соотношение, которое мы получили при доказательстве теоремы. Если αi — коэффициенты Фурье функции f по ортонормированной системе {fi }, то2nnXXkf k2 −αi2 = f −αk fk , n = 1, 2, . . .(16.6)i=1ÌÃÒÓÌÃÒÓαn2 6 kf k2n=1k=1ÔÍ-12ÌÃÒÓТеорема 16.1.

Если рядÌÃÒÓÔÍ-1216.3. Свойства ряда Фурье∞Xk=1Теорема 16.3 (равенство Парсеваля). Теорема 17.3 Пусть {αn } — последовательность коэф∞Pфициентов Фурье для функции f ∈ R[a, b] по ортонормированной системе {fn }. Рядαi fi сходитсяi=1к функции f тогда и только тогда, когда верно следующее равенство Парсеваля∞Xαn2 = kf k2(16.7)ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ82ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫn=1ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ83J Воспользуемся соотношением (16.6).

Сходимость последовательности Sn (f ) ряда Фурье функцииf к самой функции означает, что kf − Sn (f )k → 0 при n → ∞. Согласно (16.6), это равносильноnPсоотношениюαi2 → kf k2 при n → ∞, т.е. равенству (16.7). Ii=116.4. Условия сходимости ряда Фурье к функцииНельзя надеяться на то, что ряд Фурье данной функции f по произвольной ортогональной системебудет сходиться по норме к самой функции. Действительно, убрав из ортогональной системы однуфункцию, мы, вообще говоря, получим другой ряд, так как из него уйдет одно слагаемое, и этот рядне может иметь ту же сумму, что и исходный.Это умозаключение наталкивает на мысль, что сто́ит рассматривать только такие ортогональные системы, которые нельзя расширить добавлением к ним новых функций.

Такие ортогональныесистемы называют полными. Именно, ортогональная система {fn } полна, если условие f, fn = 0,n = 1, 2, . . ., выполняется только при f ≡ 0.Теорема 16.4. Если каждая функция f ∈ R[a, b] является суммой своего ряда Фурье по даннойортогональной системе {fn }, то эта система полна.J Действительно, если для некоторой функции f верны соотношения f, fn = 0, n = 1, 2, .

. ., торядом Фурье функции f будет тривиальный ряд, у которого все коэффициенты равны 0. Сумма такогоряда, очевидно, равна 0, т.е. функция, равная сумме своего ряда Фурье, есть тождественный 0. Ii=1со всем пространством1 .J Эквивалентность второго и третьего условий доказана ранее. Докажем эквивалентность этихусловий первому.Если система {fn } замкнута, то для произвольной функции f в любой ее окрестности Uε (f ) =mP{h ∈ R[a, b]: kh − f k < ε} имеется хотя бы одна линейная комбинация h =ci fi функций системы.

НоÔÍ-12Теорема 16.5. Для любой ортогональной системы {fn } следующие условия эквивалентны:• система {fn } замкнута;• любая функция есть сумма своего ряда Фурье;• для любой функции f верно равенство Парсеваля.ÌÃÒÓИтак, полнота ортогональной системы является необходимым условием для представления всякойфункции рядом Фурье. Чтобы получить достаточное условие, введем еще одно понятие. Ортогональную систему {fn } называют замкнутой, если всевозможные конечные линейные комбинациифункций системы плотны в R[a, b], т.е. множество всех функций, которые можно представить в видеmPci fi с некоторым набором коэффициентов ci , имеет замыкание в пространстве R[a, b], совпадающееÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16.

ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫНапомним, что замыкание множества получается присоединением к этому множеству всех его предельных точек.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-121ÔÍ-12Условие замкнутости для конкретной системы проверить сложно, введенное понятие, скорее, даеториентир, как исследовать данную систему функций. Зачастую такое исследование требует привлечения некоторых тонких и неочевидных фактов из теории функций. Условие полноты системы функцийпроще, но оно является лишь необходимым.Все рассказанное об ортогональных системах касалось конкретного функционального пространства R[a, b], но на самом деле верно для произвольных бесконечномерных евклидовых пространств.ÌÃÒÓÌÃÒÓi=1вспомним, что m-я частичная сумма Sm (f ) ряда Фурье функции f обеспечивает наименьшее уклонениеот f , т.е. kf − Sm (f )k 6 kf − hk < ε.

Так как последовательность {kf − Sn (f )k} является монотонной,то, начиная с номера m, имеем Sm (f ) ∈ Uε (f ). Так как ε можно выбрать произвольным образом,последовательность Sn (f ) сходится к функции f , т.е. эта функция равна сумме своего ряда Фурье.Если любая функция f есть сумма своего ряда Фурье, то каждая такая функция является пределомпоследовательности частичных сумм ряда, которые представляют собой линейные комбинации функций ортогональной системы. Значит, в любой окрестности любой функции f содержатся линейныекомбинации функций системы.

Поэтому система функций {fn } замкнута. IÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12P 2и фундаментальность {Sn (f )} по норме следует из сходимости рядаαi .Сходящаяся последовательность всегда фундаментальна. Критерий Коши утверждает, что фундаментальная числовая последовательность сходится. Это утверждение легко распространяется напроизвольные конечномерные евклидовы пространства, так как сходимость в конечномерном пространстве равносильна сходимости по координатам в фиксированном базисе. Однако в произвольномбесконечномерном пространстве фундаментальность уже не означает сходимость.Евклидово пространство называют полным, если в этом пространстве любая фундаментальнаяпоследовательность сходится.

Любое конечномерное евклидово пространство является полным. Бесконечномерное полное евклидово пространство называют гильбертовым. Рассмотренное ранее пространство R[a, b] не является полным, так как по норме пространства функциональная последовательность может сходиться к неограниченной функции, которая неинтегрируема по Риману. Например,пределом последовательности интегрируемых функций(0,x < 1/n,fn (x) =1/x,x > 1/nТеорема 16.6. В полном евклидовом пространстве всякая полная ортогональная система замкнута.т.е. элемент g ортогонален всем элементам ϕn .

Если система {ϕn } полна, то для любого элемента fзаключаем, что g = 0. Но тогда f = f0 и элемент f есть сумма своего ряда Фурье. Согласно теореме17.5, это равносильно замкнутости системы {ϕn }. IТригонометрической системой называют систему функций 1, cosnπxπx,lsinπx,l. . ., cosnπx,lsin, .

. . , рассматриваемую на отрезке [−l, l]. Эта система ортогональна, но не является ортоlнормированной:nπx nπx 2 2k1k2 = 2l,cos = sin = l.llÔÍ-1216.5. Тригонометрическая системаÌÃÒÓJ Как уже было показано, последовательность частичных сумм ряда Фурье по ортогональной системе {ϕn } произвольного элемента f евклидова пространства E является фундаментальной по нормепространства. Если E полно, то это означает сходимость ряда Фурье к некоторому элементу f0 . Приэтом ряд Фурье элемента f является и рядом Фурье своей суммы f0 , т.е. f, ϕn = f0 , ϕn . Положимg = f − f0 .

Тогда g, ϕn = f − f0 , ϕn = f, ϕn − f0 , ϕn = 0,ÔÍ-12является неограниченная функция 1/x.Проблема неполных евклидовых пространств решается при помощи их пополнения. Если E —e чтонеполное евклидово пространство, то можно построить такое полное евклидово пространство E,e причем скалярные произведения двухE является линейным всюду плотным подпространством в E,e и называют пополненипространств на E совпадают. Построение такого линейного пространства Eем E. Пополнение евклидова пространства R[a, b] есть гильбертово пространство L2 [a, b] функций,суммируемых с квадратом.ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓi=n+1ÔÍ-12ÔÍ-12i=n+1ÌÃÒÓÌÃÒÓ2mm XXkSn (f ) − Sm (f )k = αi fi =αi2 ,2ÌÃÒÓÔÍ-12Отметим, что замкнутая ортогональная система всегда полна, так как полнота вытекает из условияпредставимости любой функции рядом Фурье, равносильного замкнутости системы. В определенныхевклидовых пространствах понятия замкнутости и полноты совпадают, т.е.

полнота ортогональнойсистемы в таком пространствеозначает и ее замкнутость.PПусть f ∈ R[a, b] иαi fi — ее ряд Фурье. Тогда последовательность Sn (f ) частичных суммэтого ряда по норме евклидова пространства является фундаментальной, т.е. ∀ε > 0 ∃N ∀n, m > NkSn (f ) − Sm (f )k < ε. Действительно,ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ84ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ85Она замкнута и, следовательно, полна (это будет доказано позже). Ряд Фурье произвольной функцииf по этой системе записывается следующим образом:∞a0 X nπxnπx f∼+an cos+ bn sin,2lln=1ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ1an =lZlnπxf (x) cosdx,ln = 0, 1, . .

. ,−lZlf (x) sinnπxdx,ln = 1, 2, . . .−lНеравенство Бесселя в данном случае имеет вид∞a20 X 21+(an + b2n ) 62ln=1Zlf 2 (x) dx−lи фактически является равенством (равенством Парсеваля) в силу свойства замкнутости.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ∞ cos nxP√рядом Фурье какой-либо функции?nn=1ÌÃÒÓÔÍ-12Задача. Является ли рядÔÍ-12ÔÍ-121bn =lÌÃÒÓÌÃÒÓгде коэфффициенты an и bn определяются по формулам Эйлера — Фурье:ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-1217.1. О равномерной сходимости ряда ФурьеТеорема 17.1.