KIR12-18 (Конспект лекций - Кратные интегралы и ряды - А.Н. Канатников), страница 6

Наконец, при |x| = 1, т.е. в точках −1 и 1, признак Даламбераничего сказать не может, и мы должны исследовать ряд дополнительно. В этих точках степенной ряддает соответственно ряды∞∞XX(−1)n1и.nnÔÍ-12n=1ÌÃÒÓÔÍ-12an (x − x0 )nÌÃÒÓÌÃÒÓ∞XÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓПервая теорема Абеля. Интервал сходимости. Формула Коши — Адамара. Теогрема о равномернойсходимости.

Основные свойства (непрерывность, почленное дифференцирование и интегрирование).Вторая теорема Абеля.∞XxnÌÃÒÓÌÃÒÓЛекция 15Функциональный ряд видаÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓСледствие 15.1. Любой степенной ряд имеет такой интервал (−R, R), внутри которого ряд сходится абсолютно, а вне — расходится. При этом на концах интервала ряд может как сходиться, таки расходиться.J Рассмотрим область D сходимости ряда и пусть R = sup{|z| : z ∈ D}. Тогда согласно определению числа R ряд при |x| > R расходится. Пусть |x| < R. Существует такое значение x0 , что рядсходится в точке x0 и при этом |x| < |x0 | < R.

Из первой теоремы Абеля заключаем, что в точке |x|ряд сходится абсолютно. IЧисло R называют радиусом сходимости степенного ряда, интервал (−R, R) — интерваломсходимости этого ряда. Область сходимости степенного ряда представляет собой его интервалсходимости с добавлением, возможно, граничных точек интервала.PПриме́ним к рядуan xn признак Коши (радикальный):pplim n |an xn | = |x| lim n |an | = |x|qÌÃÒÓn→∞n→∞pn|an | = q существует, то согласно признаку ряд сходится абсолютно при |x| < 1/q ирасходится при |x| > 1/q.

Значит, число R = 1/q представляет собой радиус сходимости ряда. Итак,p1= lim n |an |R n→∞(15.1)Соотношение (15.1) известно как формула Коши — Адамара.Предел в (15.1) может не существовать, тогда можно использовать более общую формулу(15.2)Если использовать не признак Коши, а признак Даламбера, то получим еще одну формулу длярадиуса сходимости: an+1 1,= limR n→∞ an Пример 15.2. Рассмотрим ряд∞Xak x2k ,ÌÃÒÓв которой также можно заменить обычный предел на верхний (если обычный не существует).Применение формулы Коши — Адамара может приводить к ошибкам.

Поэтому более предпочтительным является исследование степенного ряда непосредственно при помощи признака Коши илиДаламбера.ÔÍ-12p1= lim n |an |R n→∞ÌÃÒÓЕсли предел limÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ73PJ Так как рядan xn0 сходится, последовательность {an xn0 } является бесконечно малой и потомуограничена. Это значит, что существует такое положительное число M , что |an xn0 | 6 M . Но тогда x nn x |an x | = |an x0 | 6 M ,x0x0 Pxт.е. ряд an xn при |x| < |x0 | мажорируется геометрической прогрессией со знаменателем q = < 1,x0а потому сходится согласно 1-му признаку сравнения. In→∞ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 15. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫсодержащий только четные степени. Лобовое“ применение формулы Коши — Адамара к последова”тельности {ak } приводит к пределу√lim n an ,в то время как правильно применять эту формулу к последовательности(ak ,n = 2k,bn =0,n + 2k + 1.ÌÃÒÓn→∞ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12k=0ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12qlimn→∞√nan(предел по нечетным членам последовательности равен 0).

В результате предел limрезультат, если он отличен от 1. #√nan дает неверныйРадиус сходимости может быть нулевым. В этом случае область сходимости состоит из одногоцентра ряда. Радиус может быть и бесконечным, тогда область сходимости есть вся числовая ось.∞PПример 15.3. Рядnn xn расходится всюду, кроме точки 0, так какn=1√1= lim n nn = lim n = ∞.n→∞R n→∞Ряд∞Pxnnn=1 n, наоборот, сходится всюду на числовой оси, так как111= lim √=lim= 0.nR n→∞ nn n→∞ nТеорема15.2 (о равномерной сходимости).

Пусть0 — радиус сходимости степенногоPP R>nnрядаan x . Тогда на любом отрезке [−r, r], r < R, рядan x сходится равномерно.PPJ В точке r интервала сходимости рядan xn сходится абсолютно, т.е. сходится ряд|an |rn . Аnnтак как |an x | 6 |an |r при x ∈ [−r, r], то по признаку Вейерштрасса ряд на отрезке [−r, r] сходитсяравномерно. IPТеорема 15.3 (вторая теорема Абеля). Теорема 16.3 Пусть рядan xn имеет радиус сходимости R > 0.

Если этот ряд сходится в точке R (точке −R), то он сходится равномерно на любомотрезке [−r, R] (отрезке [−R, r]), 0 6 r < R.∞Xαn (x)βn (x) =an xnn=0сходится на [0, R] равномерно. I15.2. Интегрирование и дифференцирование степенных рядовсходится равномерно на любом отрезке [−r, r], 0 < r < R, причем Z x XX Z xanxn dx =an xn dx.0ÔÍ-12Из изложенногоясно, что степенной ряд можно почленно интегрировать. Именно, если дан стеPпенной рядan xn с радиусом сходимости R > 0, то степенной ряд XX Z xxn+1nanx dx =ann+10ÌÃÒÓn=0∞XÔÍ-12J Доказательство этого утверждения опирается на признак Абеля.

Мы можем считать, что r = 0.В самом деле, например, для случая сходимости в точке R отрезок [r, R] содержится в [0, R] при r > 0 иявляется объединением двух отрезков [r, 0] и [0, R] при r < 0. Но если ряд на каждом из двух множествсходится равномерно, то он будет сходитьсяравномерно и на объединении этих множеств. nPxn, n = 1, 2, . . ., получим, что рядαn (x) сходится равномерПоложив αn (x) = an R , βn (x) =Rно на [0, R] (это просто числовой ряд), последовательность {βn (x)} для каждого значения x ∈ [0, R]является монотонной и равномерно ограниченной на [0, R] (числом 1). По признаку Абеля ряд0ÌÃÒÓÌÃÒÓan =ÔÍ-12ÔÍ-12n→∞√2nÌÃÒÓÌÃÒÓlimÌÃÒÓÔÍ-12Это равносильно вычислению пределаÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ74ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 15. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12PJ Это утверждениеследует из предыдущей теоремы.

Действительно, рядan xn может бытьPn−1получен из рядаnan xпочленным интегрированием. Значит радиусы сходимости этих двухрядов совпадают. При этом Z x XXX Z xnn−1an x =nan ξ=nan xn−1 .00Остается продифференцировать записанное равенство, и мы получим равенство (15.3). I15.3. Ряд ТейлораТеорема 15.6.

Если функция f (x) есть сумма ряда∞Pan (x − x0 )n , сходящегося на интервалеn=0|x − x0 | < R, то f ∈ C ∞ (x0 − R, x0 + R) иf (n) (x0 ).n!(15.4)J Бесконечная дифференцируемость функции f констатируется следствием из предыдущей теоремы. Кроме того, из этой теоремы следует, что степенной ряд можно почленно дифференцироватьлюбое число раз в его интервале сходимости. Поэтому(an (x − x0 )n )(k) =an n(n − 1) · .

. . · (n − k + 1)(x − x0 )n−k =n=0=∞Xan n(n − 1) · . . . · (n − k + 1)(x − x0 )n−k = |n − k = m| =n=k=∞Xam+k (m + k)(m + k − 1) · . . . · (m + 1)(x − x0 )mm=0Полагая x = x0 , получим f (k) (x0 ) = ak k(k − 1) · . . . · 1, что равносильно (15.4). IÔÍ-12n=0∞XÌÃÒÓ∞XÌÃÒÓan =ÔÍ-12Следствие 15.2. Суммастепенного ряда является функцией, бесконечно дифференцируемой вPинтервале сходимости:an xn ∈ C ∞ (−R, R).ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓJ Нам осталось показать, что радиус сходимости степенного ряда при интегрировании не увеP xn+1Pличивается. Пусть рядan, полученный интегрированием рядаan xn , сходится в точке x0 .n+1Тогда xn+1 n+1 x nn+1 nn0|an x | = an6Mq ,n + 1 |x0 |x0|x0 |P n+1 n xn+1 xгде M = supan 0 , q =. Нетрудно убедиться, что рядMq сходится абсолютно приn+1x0x0Pn|q| < 1.

Согласно признаку сравнения заключаем, что ряд an x сходится при |x| < |x0 |, а это значит,что радиус сходимости исходного ряда не меньше, чем радиус сходимости проинтегрированного. IPPТеорема 15.5. Если R — радиус сходимости степенного рядаan xn , то рядnan xn−1 , полученный почленным дифференцированием исходного, имеет тот же радиус сходимости R и, крометого,X0 X0nan x=an xn .(15.3)ÔÍ-12ÔÍ-12Теорема 15.4.

Степенной ряд можно интегрировать почленно. При этом радиус сходимостипроинтегрированного степенного ряда не изменяется.ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓ75Поскольку полученный в процессе почленного интегрирования ряд тоже является степенным, он потеореме 16.1 сходится на интервале (−R, R) абсолютно.Остается неясным вопрос, может ли при интегрировании степенного ряда увеличиться радиуссходимости (из изложенного выше вытекает, что он не уменьшается)?f (k) (x) =ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 15. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12Следствие 15.3. Если∞Pan (x − x0 )n =n=0∞PÔÍ-12ÌÃÒÓ76bn (x − x0 )n в некоторой окрестности точки x0 , тоn=0an = bn , n = 1, 2, . . .J И коэффициенты an , и коэффициенты bn определяются по формуле (15.4) одной и той же функцией, которая в окрестности точки x0 равна сумме каждого из рядов.

IÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 15. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫПример 15.4. Функцияf (x) =( 1e− x2 ,0,x 6= 0;x = 0,бесконечно дифференцируема всюду на действительной оси, ее производные f (n) (0) в точке 0 все равны нулю. Следовательно, ее ряд Тейлора является тривиальным: все коэффициенты степенного рядаявляются нулевыми.

Сумма такого ряда есть тождественный нуль, что совпадает со значением функции только в точке 0. #Чтобы убедиться в сходимости ряда Тейлора к самой функции f (x) нужно оценить по абсолютнойвеличине разность rn (x) = f (x) − Sn (x; f ) между функцией и n-й частичной суммой ряда, взятой впроизвольной точке x. Эта разность фигурирует в формуле Тейлора как остаток, который может бытьзаписан в различной форме.

Наиболее известна запись остатка в форме Лагранжа.Отметим, что остаток в формуле Тейлора — это не есть остаток ряда Тейлора. Их совпадение,собственно, и означает, что функция равна сумме своего ряда Тейлора. Необходимым и достаточнымусловием такого совпадения является условиеlim rn (x) = lim f (x) − Sn (x; f ) = 0,n→∞n→∞(15.5)которое должно выполняться в каждой точке x некоторой окрестности точки x0 — центра ряда Тейлора.Отметим важный частный случай, когда выполняется сформулированный критерий (15.5).n=0где 0 6 ϑ 6 1, ∆x = x − x0 и |∆| 6 δ.