KIR12-18 (Конспект лекций - Кратные интегралы и ряды - А.Н. Канатников), страница 5

Если последовательность {fn (x)} непрерывных функций сходится поточечно на компакте1 X к некоторой непрерывной функции f (x), причем для каждого x ∈ Xчисловая последовательность {fn (x)} монотонна, то {fn } сходится на X равномерно.Функциональный ряд (ФР) представляет собой особую форму записи функциональной последовательности: рядом называют записьf1 (x) + . . . + fn (x) + .

. . =∞Xfk (x),ÌÃÒÓ14.2. Функциональные рядыÔÍ-12Полученное равенство означает, что функция f (x) имеет в точке ξ производную, равную ϕ(ξ). IÌÃÒÓÌÃÒÓnÔÍ-12Видим, что последовательностьÌÃÒÓx→ξпоследовательности в точке ξ так, что они будут непрерывны на всем интервале (a, b).Выкладками, аналогичными (14.2), убеждаемся, что эта последовательность сходится на [a, b] равномерно: fn (x) − fn (ξ) fm (x) − fm (ξ) fn (x) − fm (x) − fn (ξ) − fm (ξ) =−=x−ξx−ξ|x − ξ| 00 (ζ) (x − ξ) fn (ζ) − fm000k∞ .(x) = kfn0 − fm=(ζ) 6 sup fn0 (x) − fm= fn0 (ζ) − fm|x − ξ|x∈[a,b]x→ξÔÍ-12ÌÃÒÓ69Таким образом, мы доказали равномерную фундаментальность последовательности {fn }, из которой, согласно критерию Коши, следует ее равномерная сходимость к некоторой функции f (x).Покажем, что эта функция на (a, b) дифференцируема и что ее производной является функция ϕ(x),предел последовательности {fn0 (x)}.Выберемпроизвольную точку ξ ∈ (a, b).

Рассмотрим функциональную последоваn и зафиксируемofn (x) − fn (ξ)тельность. Члены этой последовательности непрерывны всюду, кроме точки ξ. Ноx−ξnon (ξ)в этой точке существует предел lim fn (x)−f= fn0 (ξ). Поэтому мы можем доопределить членыx−ξlimÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 14. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫSn (x) =nXfk (x).k=1Множество K числовой прямой является компактом, если оно замкнуто и ограничено.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-121ÌÃÒÓгде {fk (x)} — произвольная функциональная последовательность.Для функциональных рядов вводят понятие n-й частичной суммы:ÔÍ-12ÔÍ-12k=1ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ7014.3. Признаки равномерно сходящихся рядовÌÃÒÓСуммой фунционального ряда называют предел последовательности его частичных сумм.

Этот пределможет рассматриваться различными способами введением разных расстояний, норм и т.п. Соответственно этому варьируется и понятие сходимости функционального ряда. Отметим поточечную иравномерную сходимость.Между функциональными последовательностями и функциональными рядами вне зависимости отспособа предельного перехода сохраняется та же связь, что и между числовыми, а именно: любаяфункциональная последовательность может интерпретироваться как последовательность частичныхсумм ряда, в то время как любой ряд ассоциируется со своей последовательностью частичных сумм.Поэтому большинство свойств функциональных последовательностей переносится на функциональныеряды:• из равномерной сходимости ряда на данном множестве следует его поточечная сходимость на томже множестве;• сумма равномерно сходящихся рядов, произведение равномерно сходящегося ряда на функциюравномерно сходятся;• сумма равномерно сходящегося ряда из непрерывных функций есть функция непрерывная (намножестве равномерной сходимости);• равномерно сходящийся ряд можно интегрировать почленно, полученный при этом ряд из интегралов с переменным верхним пределом сходится равномерно;• функциональный ряд из дифференцируемых на данном интервале функций можно дифференцировать почленно, если он сходится хотя бы в одной точке интервала, а ряд из производных сходитсяна интервале равномерно;P• если рядfn из непрерывных и неотрицательных на компакет X функций fn сходится к непрерывной на X функции f поточечно, то он сходится на X и равномерно (теорема Дини).Тем не менее, как и для числовых рядов, исследование функциональных рядов может быть болеепростым по сравнению с последовательностями.

Отметим основные факты, которыми ряды отличаются от последовательностей.ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 14. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫÌÃÒÓrn (x) =∞Xfk (x).k=n+1J Утверждение немедленно вытекает из соотношения rn (x) = S(x) − Sn (x), в котором S(x) —сумма ряда в точке x, Sn (x) — n-я частичная сумма ряда в точке x и которое верно для любогонатурального n. IPТеорема 14.6 (необходимый признак сходимости).

Если рядfk (x) сходится равномернона множестве X, то fk (x) −→0приk→∞.−→XДоказательство то же, что и в случае числовых рядов.k=n+1k=n+1k=n+1Pоткуда krn k∞ 6 αn . В силу сходимости рядаan последовательность αn его остатков сходится к 0.−→А это означает, что krn k∞ −→ 0 при n → ∞. IÔÍ-12Теорема14.7 (признакPP Вейерштрасса). Теорема 15.7 Если |fn (x)| 6 an при x ∈ X и n ∈ N,рядan сходится, то рядfn (x) сходится на X равномерно.PJ В каждойточкеx∈Xчисловойрядfn (x) сходится абсолютно в силу 1-го признака сравнения.PЗначит,fn сходится на X поточечно. Для доказательства равномерной сходимости воспользуемсятеоремой 15.4.

В каждой точке x ∈ X имеем оценку∞∞∞ XXX|rn (x)| = fk (x) 6|fk (x)| 6ak = αn ,ÌÃÒÓÔÍ-12XÔÍ-12ÔÍ-12PТеорема 14.5. Пусть ФРfk (x) сходится на множестве X поточечно. Тогда этот ряд сходитсяна X равномерно ⇐⇒ rn (x) −→0−→ при n → ∞, гдеXÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12k=n+1∞Теорема 14.8 (признак Дирихле). Теорема 15.8 Пусть:P• последовательность частичных сумм рядаαn (x) равномерно ограничена на множестве X;• последовательность {βn (x)} монотонна для любогоPТогда функциональный рядαn (x)βn (x) сходится на X равномерно.J Вспоминаем преобразование Абеля:n+pXαk (x)βk (x) = An+p (x)βn+p (x) − An (x)βn+1 (x) +где An (x) =nPn+p−1XAk (x) bk (x) − bk+1 (x) ,k=n+1αk (x). Учитывая, что частичные суммы An (x) для рядаPαn (x) равномерно ограни-k=1чены, т.е.

существует такая константа M , что ∀n ∈ N ∀x ∈ X |An (x)| 6 M , заключаем, что n+pn+p−1 XX bk (x) − bk+1 (x) =αk (x)βk (x) 6 M bn+p (x) + M bn+1 (x) + Mk=n+1k=n+1= M bn+p (x) + M bn+1 (x) + Mn+p−1Xk=n+1= M bn+p (x) + M bn+1 (x) + M bn+1 (x) − bn+p (x) = 2M bn+1 (x).

n+p PСледовательно, αk βk ство. Ik=n+1∞6 kbn+1 k ∞ .Применение критерия Коши ззавершает доказатель-Доказательство аналогично предыдущей теореме, но использует несколько модифицированное преобразование Абеля. Как видно уже из доказательства предыдущей теоремы, практически воспроизводится обоснование аналогичного признака для числовых рядов. Детали предлагается восстановитьсамостоятельно.ÔÍ-12Теорема 14.9 (признак Абеля). Теорема 15.9 Пусть:P• рядαn (x) равномерно сходится на множестве X;• последовательность {βn (x)} монотонна для любого x ∈ X и на X равномерно ограничена.PТогда функциональный рядαn (x)βn (x) сходится на X равномерно.ÌÃÒÓbk (x) − bk+1 (x) =ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12kfn k∞ = ∞.ÌÃÒÓÌÃÒÓPÔÍ-12Замечание 14.2.

ПризнакP Вейерштрасса неPявляется необходимым. Именно, можно построитьсходящийся равномерно рядfn , для которогоkfn k∞ расходится. Далеко ходить не надо, так какдля частного случая функционального ряда — числового — признак Вейерштрасса превращается впризнак абсолютной сходимости !Но даже если потребовать, чтобы fn (x) > 0, x ∈ X, n = 1, 2, . . ., избавляясь от эффекта абсолютнойсходимости, признак Вейерштрасса не станет необходимым. Рассмотрим последовательность функций114(n+1)(n+1)x−11−nx,x∈,,n+1 nfn (x) =110,x∈/.,n+1 nPРядfn сходится поточечно на [0, 1], так как в каждой точке отрезка только один из членов рядаотличен от 0. При этом ∞ X4(k + 1)1krn k∞ = fk = max=,k>n+1 4k(k + 1)n+1k=n+1ÌÃÒÓÌÃÒÓ71PЗамечание 14.1.

Рядan , на основании которого делают вывод о равномерной сходимости ФР,называютмажорантой. Минимальной мажорантой для данного ФР на множестве XPявляется рядPkfn k∞ . Так что признак Вейерштрасса можно было бы сформулировать так: рядfn сходитсяPравномерно, если ряд kfn k∞ сходится. В такой интерпретации признак Вейерштрасса представляетсобой обобщение признака абсолютной сходимости.т.е. сходимость равномерная.

Однако kfn k∞ = n1 , так чтоÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 14. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ РЯДЫÌÃÒÓСТЕПЕННЫЕ РЯДЫ15.1. Интервал сходимостиn=0называют степенным. Параметр x0 — это центр степенного ряда, а члены последовательности{an } — коэффициенты степенного ряда.Область сходимости степенного ряда всегда непуста: рядсходится в своем центре, точкеP заведомоn получается из области сходимостиx0 . Отметим,чтообластьсходимостиDстепенногорядаax0nPD рядаan (x − x0 )n сдвигом на величину x0 влево (если первый сходится в точке y, то второй сходится в точке x = y + x0 , значит между точками двух областей устанавливается взаимно однозначноесоответствие y = x + x0 ). Это соображение позволяет остановиться на частном случае степенногоряда, имеющего центр в точке 0, и тем самым несколько упростить изложение материала.Степенной ряд по своему характеру близок к геометрической прогрессии.

Поэтому для него эффективно применение признаков Коши (радикального) и Даламбера.Пример 15.1. Исследуем на сходимость рядn.Положив an = xn /n, вычисляем варианту Даламбера q: n+1 an+1 xn nq = lim = lim · n = |x| lim= |x|.n→∞n→∞ n + 1 xn→∞ n + 1ann=1n=1Первый из них (точка x = −1) сходится согласно признаку Лейбница, второй расходится, так какявляется гармоническим рядом. Итак, областью сходимости указанного ряда является полуинтервал[−1, 1).ÔÍ-1272ÔÍ-12В общем случае областью сходимости степенного ряда является интервал, полуинтервал или отрезок.

Все варианты описываются термином связное множество“. При этом граничные точки могут”входить в область сходимости, а могут и не входить. Частным случаем интервала является вся числовая ось, а частным случаем отрезка — единственная точка, центр степенного ряда.PТеорема 15.1 (первая теорема Абеля). Если рядan xn сходится в точке x0 , то он сходитсяабсолютно в любой точке x, для которой |x| < |x0 |.ÌÃÒÓПри |x| < 1 ряд сходится абсолютно, при |x| > 1 ряд расходится (если варианта Даламбера превосходит1, то нарушается необходимый признак).