KIR12-18 (Конспект лекций - Кратные интегралы и ряды - А.Н. Канатников)

Московский государственный технический университетимени Н.Э. БауманаÌÃÒÓФакультет «Фундаментальные науки»Кафедра «Математическое моделирование»À.Í. ÊàíàòíèêîâÊÐÀÒÍÛÅ ÈÍÒÅÃÐÀËÛÈ ÐßÄÛÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÊîíñïåêò ëåêöèéÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÄëÿ ñòóäåíòîâ ñïåöèàëüíîñòè<Ïðèêëàäíàÿ ìàòåìàòèêà>ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12Москва2009ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓЛекция 12ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫПонятие числового ряда. Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд.Свойства сходящихся числовых рядов : сложение и вычитание рядов, умножение ряда на число,принцип отбрасывания (теорема об остатке ряда). Знакоположительные числовые ряды и признакиих сходимости: признаки сравнения; признак Даламбера; признак Коши (радикальный). Интегральный признак Коши и ряды Дирихле.ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ12.1.

Основные понятия(12.1)называют числовым рядом. Форма записи говорит об основной задаче, связанной с введеннымпонятием: суммировании членов последовательности в каком-либо смысле (количество слагаемых бесконечно и поэтому о сумме в обычном смысле слова говорить нельзя).Введем первичные понятия. Сумма нескольких последовательных членов ряда Sn = a1 + . . .

+ anназывается частичной суммой. Частичные суммы Sn образуют последовательность, называемуюпоследовательностью частичных сумм. Предел последовательности частичных сумм, если онсуществует, называют суммой ряда. Таким образом, под суммой S ряда (12.1) понимается предел!nXak .S = limn→∞k=1ряд∞X1nan =1n(−1)nan = (−1)nn=1Но существуют и другие способы определения последовательностей. Например, рекуррентный: a1 = 0,a2 =1, an = an−1 + an−2 , n = 2, 3, .

. .Пример 12.1. Один из немногих рядов, которые можно суммировать непосредственно — геометрическая прогрессия. Геометрической прогрессией называют ряд, у которого отношение двух55ÔÍ-12n=1∞Xобщий членÌÃÒÓЕсли указанный предел частичных сумм ряда существует, то говорят, что ряд сходится. Впротивном случае говорят, что ряд расходится.PМежду последовательностями и рядами существует тесная связь.

Каждый рядak генерируетспециальную последовательность — последовательность своих частичных сумм {Sn }. В то же времялюбая числовая последовательность {Sn } является последовательностью частичных сумм некоторогоряда, именно, достаточно положить a1 = S1 , an = Sn − Sn−1 .

Это рассуждение показывает, что задачиопределения суммы ряда и предела последовательности фактически совпадают или, точнее, являютсяразличными формулировками одной задачи.На практике последовательность членов ряда может задаваться различными способами.

Простейший — задание с помощью формулы, т.е. как и любой другой функции (последовательность — этофункция, определенная на натуральных числах). В этом случае определяющую формулу называютобщим членом ряда. Например:ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓakk=1ÌÃÒÓÔÍ-12∞XÔÍ-12ÌÃÒÓилиÌÃÒÓÔÍ-12a1 + a2 + . . . + an + . . .ÔÍ-12ÔÍ-12Пусть {an } — произвольная числовая последовательность.

Запись этой последовательности в видеÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ56соседних членов постоянно: an+1 /an = const. Несложно убедиться, что общий член такого ряда задается формулой an = cq n . Параметр q определяет отношение двух соседних членов прогрессии иназывается ее знаменателем. Параметр c представляет собой значение нулевого“ слагаемого (пер”вого члена ряда, если этот ряд нумеровать с нуля). n-я частичная сумма прогресии вычисляетсянепосредственно:nX1 − q n+1Sn = cqk = c.1−qÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 12. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫИсходя из этой формулы, делаем вывод, что указанный ряд сходится при |q| < 1 и расходится при|q| > 1. При этом его суммой является∞Xccq n =.1−qn=0Теорема 12.1 (Необходимый признак сходимости).

Если ряд (12.1) сходится, то lim an = 0.ÌÃÒÓÌÃÒÓk=1J Ряд сходится, если существует предел частичных сумм lim Sn = S. Но тогдаn→∞lim an = lim (Sn − Sn−1 ) = lim Sn − lim Sn−1 = 0.n→∞n→∞n→∞n→∞IПример 12.2. Рядпредела.P(−1)n расходится, так как последовательность его членов {(−1)n } не имеетÔÍ-12ÔÍ-12n→∞∞X1,nn=1называемый гармоническим, расходится. Действительно, для частичных суммПоэтому, если n = 2p , то Sn > p/2.

Последовательность частичных сумм не имеет конечного предела,т.е. ряд расходится. В то же время необходимый признак выполняется.Теорема 12.2 (об остатке). Если ряд a1 +. . .+ak +. . . сходится, то и ряд ak +ak+1 +. . . сходится.Обратно, из сходимости второго ряда следует сходимость первого.Ряд, полученный выбрасыванием из данного ряда первых слагаемых, называют остатком исходного. Последовательность Sn частичных сумм исходного ряда и последовательность Sl0 его остатка,полученного отбрасыванием первых k слагаемых, связаны соотношением: Sl0 = Sk+l − Sk .

При l → ∞обе части равенства имеют один и тот же предел или не имеют его одновременно.12.2. Операции над рядамиPПроизведением рядаan на числокаждого члеP λ называют ряд, полученныйPумножениемPнаисходногоряданачислоλ,т.е.ряд(λa).СуммойдвухрядовaиbназываютрядnnnP(an + bn ).Сформулированное утверждение дает обобщение обычных правил операции над числовыми выражениями: свойства коммутативности и дистрибутивности. Чтобы доказать утверждение, нужноÔÍ-12Теорема 12.3. При умножении ряда на число его сумма умножается на число.

При сложениидвух рядов их суммы складываются:XXXXX(λan ) = λan .(an + bn ) =an +bn .ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ11111+ ... +> Sn ++ ... += Sn + .n+12n2n2n2ÔÍ-12ÔÍ-12S2n = Sn +ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓПример 12.3. Необходимый признак сходимости рядов не является достаточным. Например, рядÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ57убедиться, что свойство верно для частичных сумм, а затем воспользоваться свойствами пределовпоследовательностей.Операция сложения рядов имеет обратную операцию вычитания.

Именно, разностью A − B двухрядовтакой ряд C,P A и B являетсяPP что B + C = A. Нетрудно убедиться, что разностью рядовA=an и B =bn является ряд (an − bn ). Очевидно, что суммой разности двух рядов являетсяразность их сумм:XXX(an − bn ) =an −bn .12.3. Знакоположительные числовые рядыlimn→∞an= c.bnÔÍ-12J Обозначив через {sn } последовательность частичных сумм ряда A, через {Sn } — ряда B, заключаем, что sn 6 Sn , n = 1, ∞.

Если ряд B сходится, то последовательность {Sn } монотонновозрастает и ограничена. Но тогда и монотонно возрастающая последовательность {sn } ограничена,т.е. ряд A сходится. Второе утверждение является логическим отрицанием первого. IPPЗамечание. Если для рядов A =an и B =bn выполняется условие an 6 bn , n = 1, ∞,то мы будем обозначать это неравенством: A 6 B. В этом случае говорят, что ряд B являетсямажорирующим или мажорантой для A.PСледствие12.1(2-йпризнаксравнения).ПустьдлязнакоположительныхрядовA=an иPB = bn существует конечный ненулевой пределÌÃÒÓОсобый интерес представляют ряды, у которых все члены имеют одинаковый знак, т.е.

знакопостоянные ряды. Если все члены ряда отрицательны, то можно одновременно у них всех поменятьзнак, умножив ряд на −1. Получим ряд из положительных членов, который называют знакоположительным. Мы можем ограничиться рассмотрением знакоположительных рядов, так как (мы этопоказали) все знакоотрицательные ряды легко сводятся к знакоположительным.Утверждение, что все члены ряда являются положительными, равносильно утверждению, что последовательность частичных сумм является монотонно возрастающей. Возрастание строгое, если рядне имеет нулевых слагаемых. Последовательность частичных сумм знакоположительного ряда, будучи монотонной, всегда имеет предел, конечный или бесконечный. Конечность предела означаетсходимость ряда.

Таким образом, для сходимости знакоположительного ряда (и вообще знакопостоянного ряда) достаточно, чтобы последовательность его частичных сумм была ограниченной.PPТеорема 12.4 (1-й признак сравнения). Пусть знакоположительные ряды A = an и B = bnудовлетворяют условию an 6 bn , n = 1, ∞. Если ряд B сходится, то и ряд A сходится.

Если ряд Aрасходится, то и ряд B расходится.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 12. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫJ Из условия вытекает, что последовательность an /bn , имеющая конечный предел, ограничена,т.е. an /bn 6 c. Но это значит, что ряд cB является мажорантой для A. Если ряд B сходится, тои ряд cB сходится. По теореме 13.1 сходится и ряд A. Обратное утверждение тоже верно в силусимметричности условия относительно пары рядов. IЗамечание. Условие в следствии можно ослабить, потребовав всего лишь, чтобыanan6 lim6 c2 < ∞.bnbnСледствие12.2 (3-й признак сравнения). Если an ∼ bn при n → ∞, то ряды A =PB = bn сходятся или расходятся одновременно.Pan иНапомним, что бесконечно малые последовательности эквивалентны, если существует предел ихотношения, равный 1.

Таким образом, 3-й признак сравнения является прямым следствием 2-го, но онимеет самостоятельное значение в силу эффективности техники бесконечно малых.ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-120 < c1 6 limÌÃÒÓÌÃÒÓТогда ряд A сходится тогда и только тогда, когда сходится ряд B.ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ∞X√n=1расходится, так как√n2ÌÃÒÓ581−n+111∼ ,nn2 − n + 1n → ∞.Признаки сравнения позволяют решать задачу исследования сходимости ряда при помощи его сравнения с одним из известных. Однако ограничиться сравнением лишь с одним универсальным“ рядом”не удастся.PPТеорема 12.5. Для любого сходящегося ряда an существуетсходящийся ряд bn , дляPкоторогоPan = o(bn ) при n → ∞.

Для любого расходящегося рядаcn существует расходящийся рядdn , длякоторого dn = o(cn ) при n → ∞.PJ Пустьan сходится. Положим∞Xak ,ÔÍ-12An =n = 1, 2, . . .k=n+1ppbn = An − An+1 ,n = 1, 2, . . .Тогда lim An = 0 иn→∞nXbk =pA1 −ÌÃÒÓÔÍ-12Пример. РядÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 12. ЧИСЛОВЫЕ РЯДЫppAn+1 → A1 ,√√Cn+1 − Cn , где Cn —В простейшем случае сравнение с некоторым стандартным“ рядом может быть сформулировано”в виде самостоятельного признака сходимости, который на практике более удобен, чем непосредственное сравнение.

К таким признакам относятся два наиболее известных (может быть, в силу своейпростоты) — признаки Коши и Даламбера.Теорема 12.6 (признак Коши радикальный). Если существует предел√lim n an = q,где an > 0, n = 1, 2, . . ., то:P• при q < 1 рядP an сходится;• при q > 1 рядan расходится.J Если q < 1, то, выбрав произвольное число q 0 , q < q 0 < 1, заключаем, что, начиная с некоторого√номера, n an < q 0 . Но тогда an < (q 0 )n , т.е. исходный ряд мажорируется геометрической прогрессиейсо знаменателем q 0 < 1 а потому сходится.√Если q > 1, то, начиная с некоторого номера n an > 1 илиPan > 1, откуда следует, что не выполняется необходимый признак сходимости рядов.