KIR12-18 (Конспект лекций - Кратные интегралы и ряды - А.Н. Канатников), страница 7

Так как остаток стремится к 0 в каждой точке интервала(x0 − δ, x0 + δ), функция совпадает на этом интервале с суммой своего ряда Тейлора. IÔÍ-12J Запишем остаток rn (x; f ) формулы Тейлора в форме Лагранжа и оценим его абсолютную величину: f (n+1) (x + ϑ∆x)M δ n+10n+1 |rn (x; f )| = (x − x0 )→ 0,6 (n + 1)! n→∞(n + 1)!ÌÃÒÓТеорема 15.7. Пусть f ∈ C ∞ (x0 − δ, x0 + δ).

Если существует такая константа M > 0, что ∀n ∈ N∀x ∈ (x0 − δ, x0 + δ) |f (n) (x)| 6 M , то функция f (x) в интервале (x0 − δ, x0 + δ) равна сумме своего рядаТейлора:∞Xf (n) (x0 )f (x) =(x − x0 )n , x ∈ (x0 − δ, x0 + δ).n!ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Очевидно, что бесконечная дифференцируемость функции является необходимым условием дляразложения ее в ряд Тейлора. Если функция бесконечно дифференцируема, то ряд Тейлора для нееможно выписать, однако он может не сходиться к этой функции. Таким образом, условие бесконечнойдифференцируемости функции не является достаточным для представления ее степенным рядом.ÌÃÒÓÌÃÒÓназывают рядом Тейлора бесконечно дифференцируемой в окрестности точки x0 функции f (x).ÔÍ-12ÔÍ-12n=0(x − x0 )n ,ÌÃÒÓÌÃÒÓn!ÔÍ-12ÔÍ-12∞Xf (n) (x0 )ÌÃÒÓÌÃÒÓОпределение 15.1.

РядÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓИсходя из формулы Тейлора для основных элементарных функций, можно получить разложениеэтих функций в ряд Тейлора.Показательная функция ex . Так как для этой функции f (n) (x) = ex , заключаем, что в каждоминтервале (−R, R) выполняется неравенство |f (n) (x)| 6 M , где в качестве M можно взять M = eR .Согласно теореме 16.7 получаем представлениеex =∞Xxnn=0n!,верное в каждом интервале (−R, R), а потому и на всей числовой оси.из которых следует, что все производные функций sin x и cos x ограничены на всей числовой осиконстантой M = 1. Применение соответствующих формул Тейлора и теоремы 16.7 даетsin x =∞X(−1)k x2k+1(2k + 1)!x ∈ R,,cos x =∞X(−1)k x2kk=0(2k)!x ∈ R.,[(1 + x)p ](n) = p(p − 1) · .

. . · (p − n + 1)(1 + x)p−n .ÌÃÒÓСтепенная функция (1 + x)p , p ∈ R. Разложение этой функции в степенной ряд с центром в 0возможно в только пределах интервала (−1, 1), так как при действительных отрицательных p функцияне определена в точке −1. Вычислим n-ю производную функцииÔÍ-12Тригонометрические функции.

Для тригонометрических функций sin x и cos x рассуждения теже, что и для показательной функции. Нужно воспользоваться формуламиnπ nπ ,(cos x)(n) = cos x +,(sin x)(n) = sin x +22ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ7715.4. Стандартные разложения в ряд Тейлораk=0ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 15. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫ∞Xp(p − 1) · . . . · (p − n + 1)n!n=1xn ,x ∈ (−1, 1).Чтобы доказать, что степенная функция действительно равна сумме своего ряда Тейлора в интервале (−1, 1), нужно использовать запись остатка не в форме Лагранжа, а в форме Кошиrn (x; f ) =f (n+1) (x0 + ϑ∆x)(1 − ϑ)n(x − x0 )n+1 .n!В нашем случаеrn (x; f ) = p(p − 1) .

. . (p − n)(1 + ϑx)p−n (1 − ϑ)n n+1(1 − ϑ)n xn+1x= p(p − 1) . . . (p − n)(1 + ϑx)p.n!(1 + ϑx)n n!При |x| < δ < 1 имеем 1 − ϑ n 11|rn (x; f )| 6 |1 + ϑx| 61 − ϑδ n!n!(1 − δ)min{0,p}→ 0.n→∞Если p является натуральным, то разложение функции (1 + x)p в ряд Тейлора приводит к биномуНьютона. Важен также частный случай p = −1, в котором мы приходим к формуле суммы геометрической прогрессии со знаменателем −x∞X1=(−1)n xn ,1+xx ∈ (−1, 1).(15.6)ÔÍ-12ÔÍ-12pÌÃÒÓÌÃÒÓ(1 + x)p = 1 +ÔÍ-12ÔÍ-12Поэтому ряд Тейлора для этой функции имеет видn=0ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓ78Отметим также случай p = −2, в котором разложение имеет вид∞X1=(−1)n (n + 1)xn ,2(1 + x)x ∈ (−1, 1).n=0ln(1 + x) =∞X(−1)n−1ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12x ∈ (−1, 1).ÔÍ-12ÌÃÒÓxn ,ÌÃÒÓÔÍ-12n=1nÌÃÒÓÌÃÒÓЛогарифмическая функция ln(1 + x).

Так как указанная функция не определена в точке −1,то разложение этой функции в степенной ряд с центром в 0 возможно только в пределах интервала(−1, 1). Конкретный вид разложения можно получить интегрированием формулы (15.6)ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 15. СТЕПЕННЫЕ РЯДЫÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓЛекция 16ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫÌÃÒÓОртогональные системы в функциональных пространствах.

Задача о наилучшем приближении.Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Полные и замкнутые ортогональные системы. Тригонометрическая система функций.ÌÃÒÓ16.1. ОпределениеМы приступаем к изучению тригонометрических рядов, которые записываются в видеa0 +∞ Xnπxnπx + bn sin.llan cosn=1(16.1)Zbf, g =f (x)g(x) dx.ÌÃÒÓИсследование таких рядов может идти с различных точек Pзрения. Наиболее общий подход состоит в том, чтобы интерпретировать ряд (16.1) как ряд видаαn fn (x), построенный по некоторойпоследовательности функций {fn } и последовательности коэффициентов {αn }. Такой ряд являетсяобобщением понятия линейной комбинации в линейной алгебре.

Мы ограничимся некоторым линейнымпространством функций (называемым также функциональным пространством). Рассмотрениеразложений функций по базису наиболее просто, когда линейное пространство евклидово, а базис —ортонормированный.Рассмотрим линейное пространство R[a, b] функций, определенных и интегрируемых на отрезке[a, b]. В этом пространстве определим скалярное произведение по формулеÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12πxπx2πx2πxnπxmπx cos, cos=llZlnπxmπx1cosdx =cosll2−lZl (n + m)πx(n − m)πxcos+ cosdx =ll−ll=sinn+m(n + m)πx l(n − m)πx ll + n − m sin = 0.ll−l−l79ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Пример 16.1. Последовательность 1, cos , sin , cos, sin, . . . является ортогональнойllllв пространствеR[−l, l]. Чтобы убедиться в этом,нужно вычислить попарныескалярныепроизведеnπxmπxnπxmπx nπxmπx mπx mπx ния: cos, cos, n 6= m; sin, sin, n 6= m; cos, sin; 1, cos; 1, sin.llllllllНапример,ÌÃÒÓÌÃÒÓaВведенное нами евклидово пространство R[a, b] является бесконечномерным, так как ему принадлежат все функции xn , любой конечный набор которых образует линейно независимую систему функций.Возьмем функции 1, x, .

. ., xn . Тогда их линейной комбинацией α0 · 1 + α1 x + . . . + αn xn является многочлен, который обращается в 0, только если всего его коэффициенты равны 0.Функциональную последовательность {fn }, fn ∈ R[a, b], n = 1, 2, . . ., называют ортогональнойсистемой, если все функции этой последовательности попарно ортогональны, т.е. fn , fm = 0 длялюбой пары натуральных чисел n и m, n 6= m. Если к тому же kfn k2 = fn , fn = 1 для каждойфункции fn , то такую последовательность называют ортонормированной системой.ÌÃÒÓÔÍ-12Непосредственной проверкой легко убедиться, что в этом случае выполняются все аксиомы скалярногопроизведения, кроме последней.

Последняя аксиома, утверждающая, что если kf k = 0, то f = 0,конечно, неверна. Из положения выходят, считая, что равны любые функции f и g, для которыхRbkf − gk2 = |f − g|2 dx = 0.ÔÍ-12ÔÍ-12aÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ80Эта последовательность не является ортонормированной, так как квадрат нормы функции 1 равен2l, а квадраты норм для остальных функций все равны l. Ортонормированной будет следующаяпоследовательность функций:11πx 1πx 12πx 12πx√ , √ cos, √ sin, √ cos, √ sin, ...llll2lllllÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫPn (t) =n1 dn 2t−1,2n n! dtnÌÃÒÓÌÃÒÓПример 16.2.

Последовательность многочленов Лежандраn = 1, 2, . . .является ортогональной системой в пространстве R[−1, 1]. Действительно,2n+mn!m! Pn , Pm =Z1 2(n) 2(m)(t − 1)n(t − 1)mdt =−1ÔÍ-12=−−1так как многочлен (t2 − 1)n имеет корни −1 и 1 кратности n, и его производные до порядка n − 1включительно в этих точках обращаются в 0.Предполагая, что n > m, повторяем интегрирование по частям n раз и в конечном счете приходимк равенствуZ1(m+n)(−1)nPn , Pm = n+m(t2 − 1)n (t2 − 1)mdt.2n!m!−1(t2 −1)m(−1)nkPn k = n 2(2 n!)2Z1(2n)(2n)!(t − 1) (t2 − 1)ndt = (−1)n n 2(2 n!)2−1Z1(t2 − 1)n dt.−1Полученный интеграл интегрируем по частям и приходим к рекуррентному соотношению:1Z1(t − 1) dt = t(t − 1) − 2n t2 (t2 − 1)n−1 dt = −2n(Tn + Tn−1 ),2nn−1−1откуда2Следовательно, многочлен Pn имеет квадрат нормы, равный.

Система многочленов не является2n + 1ортонормированной.q2n + 1Замечание. Последовательность многочленовPn (t) можно построить, если последова2nтельность простейших мономов {t }, n = 0, 1, . . ., подвергнуть процессу ортогонализациии Грама —Шмидта.ÔÍ-122nTn−1 .2n + 1Непосредственно убеждаемся, что T1 = −4/3, а по рекуррентной формуле получаем значение интеграла:(2n)!!2(−1)n (2n n!)2Tn = 2(−1)n=(2n + 1)!!2n + 1 (2n)!Tn = −ÌÃÒÓ−12ÔÍ-12Но (m+n)-я производная многочленастепени 2m равна 0, так что под знаком интеграла стоитфункция, которая тождественно равна нулю. Значит, Pn , Pm = 0.Если n = m, мы получаемTn =ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ 2(n−1) 2(m+1)(t − 1)n(t − 1)mdt,ÌÃÒÓÌÃÒÓZ1Z1ÔÍ-12−1ÌÃÒÓÔÍ-12−1ÔÍ-121Z1 2 2 2(n−1)(m)n (n−1)m (m+1) −(t−1)(t−1)dt == (t − 1)n(t2 − 1)mÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ8116.2.

Задача о наилучшем приближенииПусть в пространстве R[a, b] задана ортогональная система из n функций f1 , . . ., fn (n фиксировано).Поставим следующую задачу: для произвольной функции f ∈ R[a, b] найти такие коэффициенты α1 ,. . ., αn , чтобы величинаnX(16.2)αk fk f −ÔÍ-12ÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 16. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ2nnnXXXαk fk = f −αi fi , f −αj fj =f −k=1i=1 = f, f − f,j=1nXnnnX X Xαj fj −αi fi , f +αi fi ,αj fj =j=1= kf k2 − 2i=1nXi=1αi f, fi +n XnXj=1αi αj fi , fj =i=1 j=1= kf k2 − 2nXn Xαi f, fi +αi2 kfi k2 . (16.3)i=1i=1Мы получили, что квадрат нормы относительно неизвестных коэффициентов αi представляет собоймногочлен 2-й степени от n переменных. Этот многочлен имеет точку минимума, которую можнонайти обычным порядком, используя необходимое условие локального экстремума. Приравняв всечастные производные нулю, получим систему уравнений:i = 1, . .

. , n,откудаαi =f, fi(16.4)kfi k2Если система f1 , . . ., fn ортонормирована, формулы (16.4) упрощаются:ÔÍ-122αi kfi k2 − 2 f, fi = 0,ÌÃÒÓÌÃÒÓi=1ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12имела наименьшее значение. Другими словами, требуется найти такую линейную комбинацию функций f1 , . . ., fn , которая наиболее близка к функции f . Такую задачу называют задачей о наилучшемприближении.Рассмотрим квадрат величины (16.2). Его можно записать через скалярное произведение и преобразовать:ÌÃÒÓÌÃÒÓk=1∞Xαk fk ,(16.5)k=1коэффициенты αk которого вычисляются по формулам (16.4), обладает тем свойством, что его частичные суммы Sn (f ) являются наилучшими приближениями функции f .

Отсюда, в частности, следует,что последовательность норм kf − Sn (f )k монотонно убывает. Действительно, частичную сумму Sn (f )можно рассматривать как линейную комбинацию функций f1 , . . ., fn+1 с коэффициентами α1 , . . ., αn ,0 (αi вычисляются по формулам (16.4) ), которая дает худшее приближение, чем линейная комбинацияс коэффициентами α1 , .