Мат. анализ, 2 часть; 1 семестр(2) (Все лекции в электронном виде), страница 7

1).Рис. 1. Асимптота графика функции.Замечание. Очевидно, что при бесконечном удалении точки графика от началакоординат хотя бы одна из координат этой точки стремится к бесконечности. Поэтомуопределение асимптоты можно сформулировать и так:Опр. Асимптотой графика функции называется прямая, расстояние от которой доточки графика стремится к нулю, когда одна из координат этой точки (возможно обекоординаты) стремится к бесконечности.Существует два вида асимптот: вертикальные и наклонные. Частным случаемнаклонной асимптоты является горизонтальная асимптота.

Изучим последовательноразличные виды асимптот.1. Вертикальная асимптота.Опр. Если lim f ( x)   , то прямая x  x0 называется вертикальной асимптотойx  x0графика функции y  f ( x ) . Пример вертикальной асимптоты представлен на рис. 2. Вданном случае, lim f ( x)   , а lim f ( x)   .x  x0 x  x0 Очевидно, что вертикальная асимптота удовлетворяет общему определению асимптоты:расстояние от точки графика функции y  f ( x ) до прямой x  x0 стремится к нулю пристремлении ординаты точки графика к бесконечности ( y   ).39Рис. 2.

Вертикальная асимптота графика.Опр.Еслиlim f ( x )  x  x0 ( lim f ( x)   ),x  x0 топрямаяx  x0 называетсяправосторонней (левосторонней) вертикальной асимптотой графика функции y  f ( x ) .Правосторонняя и левосторонняя асимптоты называются односторонними, а обычнаяасимптота – двусторонней. Очевидно, что прямая x  x0 является двустороннейасимптотой графика тогда и только тогда, когда она является как левосторонней, так иправосторонней его асимптотой.2. Наклонная асимптота.Опр. Если при x   (при x   ) расстояние от графика функции y  f ( x ) допрямой y  kx  b стремится к нулю, то эта прямая называется правосторонней(левосторонней) наклонной асимптотой графика функции y  f ( x ) .На рис.

3 приведен пример правосторонней наклонной асимптоты.Рис. 3. Правосторонняя наклонная асимптота.Опр. Если при x   расстояние от графика функции y  f ( x ) до прямой y  kx  bстремится к нулю, то эта прямая называется (двусторонней) наклонной асимптотойграфика функции y  f ( x ) .Очевидно, что прямая y  kx  b является двусторонней наклонной асимптотойграфика тогда и только тогда, когда она является как левосторонней, так иправосторонней его асимптотой.

Пример двусторонней наклонной асимптоты представленна рис. 4.40Рис. 4. Двусторонняя наклонная асимптота графика.Пусть график функции y  f ( x ) имеет наклонную асимптоту y  kx  b . Найдем k иb . Обозначим через d разность ординат между точкой графика и точкой асимптоты:d  f ( x)  kx  b(1)Очевидно, что расстояние между графиком и асимптотой  стремится к нулю тогда итолько тогда, когда d  0 . Так как, по определению асимптоты lim   0 , то lim d  0 .x Выразим из (1) коэффициент k :f ( x) b dk  .xx xПереходя в обоих частях равенства к пределу при x   , получим:f ( x)k  lim.x xТеперь найдем b . Из (1) имеем:b  f ( x )  kx  d ,или, после перехода к пределу,b  lim( f ( x)  kx) .x x (2)(3)Если хотя бы один из пределов (2) или (3) не существует (в частности, бесконечен), тографик не имеет (двусторонней) наклонной асимптоты.По аналогичным формулам находятся коэффициенты уравнений правосторонней илевосторонней наклонных асимптот.

Так, для правосторонней наклонной асимптотыграфика, имеем:f ( x)k  lim,b  lim ( f ( x )  kx ) ,x x xа для левосторонней:41f ( x),b  lim ( f ( x )  kx ) .x xСуществование пары пределов k и b является необходимым и достаточным условиемсуществования соответствующей асимптоты.Замечание. График функции может иметь сколько угодно вертикальных асимптот,но только одну правостороннюю и только одну левостороннюю наклонную.Опр. Если k  0 , то наклонная асимптота (двусторонняя, левосторонняя илиправосторонняя) называется горизонтальной.Теорема (необходимое и достаточное условие существования горизонтальнойасимптоты). График функцииf ( x)имеет двустороннюю (левостороннюю,правостороннюю) горизонтальную асимптоту тогда и только тогда, когда существуетконечный предел функции f ( x ) при x   (соответственно, при x   или приx   ), причем, еслиlim f ( x)  bk  limx x (соответственно, lim f ( x)  b , lim f ( x)  b ), то горизонтальная асимптота описываетсяx x уравнениемy  b.§8.

Монотонность функции на интервале.Опр. Говорят, что функция y  f ( x ) , определенная на (a, b) , монотонно возрастает(убывает) на этом интервале, если x1 , x2  (a, b) таких, что x2  x1 , справедливо:f ( x2 )  f ( x1 ) ( f ( x2 )  f ( x1 ) ).Так, на рис. 5 представлен график монотонно возрастающей функции.Рис. 5. Монотонно возрастающая функция.Функция, монотонно возрастающая или убывающая на интервале (a, b) , называетсямонотонной на этом интервале.42Рис. 6.

Монотонно возрастающая функция.Теорема (Необходимое условие монотонности дифференцируемой функции). Пустьфункция y  f ( x ) , определенная и дифференцируемая на (a, b) , монотонно возрастает(убывает) на этом интервале. Тогда x  (a, b) :f '( x)  0 ( f ( x )  0) .Доказательство. Проведем доказательство для случая возрастающей функции. Дляубывающей функции доказательство совершенно аналогично.Выберем произвольную точку x  (a, b) . Через x обозначим приращение аргумента вэтой точке (рис. 6), а через y - приращение функции f ( x ) :y  f ( x  x )  f ( x ).Рассмотрим два случая.1) При x  0 :f ( x  x )  f ( x ) , т.к.

функция возрастает на (a, b)  y  0 иy0.xy2) При x  0 : f ( x  x )  f ( x)  y  0 0.xyyИтак, в обоих случаях отношение 0  lim f ( x )  0 .x  0  xxТеорема доказана.Теорема (достаточное условие монотонности). Пусть функция y  f ( x ) определена идифференцируема на (a, b) .

Тогда1) Если x  (a, b)2) Если x  (a, b)f ( x )  0 , то f ( x ) монотонно возрастает на (a, b) .f ( x )  0 , то f ( x ) монотонно убывает на (a, b) .Доказательство. Выберем две произвольные точки x1 , x2  (a, b) такие, что x2  x1 . Насегменте x1 , x2 функцияf ( x)удовлетворяет условиям теоремы Лагранжа: онанепрерывна на этом сегменте и дифференцируема на  x1 , x2  .По теореме Лагранжа c   x1 , x2  :f ( x2 )  f ( x1 )  f (c )  ( x2  x1 ) .43Поскольку x2  x1 , то x2  x1  0 и знак разности f ( x2 )  f ( x1 ) определяется знакомпроизводной f (c) .1) Пусть f ( x )  0 x  (a, b) .

Тогда f (c)  0 . следовательно, f ( x2 )  f ( x1 )  0 , т.е.f ( x2 )  f ( x1 ) .Итак, для произвольные точек x1 , x2  (a, b) , таких, что x2  x1 выполняется неравенствоf ( x2 )  f ( x1 ) . Последнее означает, что f ( x ) монотонно возрастает на интервале (a, b) .2) Пусть теперь f ( x )  0 x  ( a , b ) . Тогда f (c)  0 , f ( x2 )  f ( x1 )  0 и f ( x2 )  f ( x1 ) .Следовательно, функция f ( x ) монотонно убывает на (a, b) .Теорема доказана.§9. Экстремум функции.Опр.

Пусть функция y  f ( x) определена на (a, b) , а x0  (a, b) . Тогда1)Если  u ( x0 ) : x  u ( x0 ) f ( x)  f ( x0 ) , то x0 называется точкой локальногомаксимума функции f ( x ) , а f ( x0 ) – максимумом этой функции.2) Если  u ( x0 ) : x  u ( x0 ) f ( x)  f ( x0 ) , то x0 называется точкой локальногоминимума функции f ( x ) , а f ( x0 ) – минимумом этой функции.Точки минимума и максимума называются точками локального экстремума а минимум имаксимум функции – экстремумами функции.В качестве примера, на рис 7 представлена точка минимума.Рис. 7. Точка минимума функции.§10. Необходимое условие экстремума дифференцируемой функцииТеорема (необходимое условие существования экстремума). Если функция y  f ( x) ,дифференцируемая в точке x0 , имеет в этой точке экстремум, то ее производная в этойточке равна нулю:f ( x0 )  044Рис. 8.

Точка локального максимума.Доказательство. Пусть, для определенности, x0 - точка максимума (рис. 8).Обозначим через x приращение аргумента в точке x0 , а через y - соответствующееприращение функции.Рассмотрим два случая.1) Пусть x  0 . Т.к. x0 – точка максимума, то f ( x0  x)  f ( x0 ) иyyy  f ( x0  x )  f ( x0 )  0  0  lim0.x0xx2) Пусть x  0 .

Т.к. x0 – точка максимума, то по-прежнемуyyf ( x0  x)  f ( x0 )  y  f ( x0  x )  f ( x0 )  0  0  lim0.x 0  xxПоскольку, по условию теоремы, функция f ( x ) имеет (конечную) производную в точкеx0 , то существует двусторонний пределyy '( x0 )  lim,x  0  xно, как известно, это возможно только в том случае, если существуют обасоответствующих односторонних предела и они равны. При этом двусторонний пределравен односторонним:yyylim lim lim.x  0   xx  0   xx 0 xОднако, из полученных неравенств для односторонних пределов очевидно, что они могутбыть равны тогда и только тогда, когда они оба равны нулю.