Мат. анализ, 2 часть; 1 семестр(2) (Все лекции в электронном виде), страница 6

В общем случае, формула Тейлора позволяет приближать функцию f(х)многочленом n-ой степени, причем, выбирая достаточно большое n , можно получитьсколь угодно высокую точность приближения.33Пусть функция y  f ( x ) определена в некоторой окрестности точки x0 и имеет вэтой окрестности все производные, вплоть до (n  1) -го порядка включительно. Построиммногочлен Pn ( x) , удовлетворяющий следующим условиям: Pn ( x0 )  f ( x0 ) Pn '( x0 )  f '( x0 )(k )(k )(1) Pn ''( x0 )  f ''( x0 ), т.е. Pn ( x0 )  f ( x0 ) , k  0,1, 2,..., n .... Pn ( n ) ( x0 )  f ( n ) ( x0 )Эти условия позволяют предположить, что многочлен будет достаточно хорошоприближать функцию f ( x ) при x близких к x0 , действительно, в точке x0 значениемногочлена совпадает со значением функции, «скорость» изменения значения многочлена– со «скоростью» изменения значения функции, «ускорение» изменения значениямногочлена – с «ускорением» изменения значения функции и т.д.Будем искать этот многочлен в виде:Pn ( x)  C0  C1 ( x  x0 )  C2 ( x  x0 ) 2  C3 ( x  x0 )3  ...

 Cn ( x  x0 ) n ,(2)где коэффициенты Ck ( k  0,1, 2,..., n ) выберем так, чтобы выполнялись условия (1) .Дифференцируя равенство (2) , получим: Pn '( x )  C1  2C2 ( x  x0 )  3C3 ( x  x0 ) 2  ...  nCn ( x  x0 )n 1n 2 Pn ''( x )  2C2  3  2C3 ( x  x0 )  ...  n(n  1)Cn ( x  x0 )n 3 Pn '''( x )  3  2C3  ...

 n(n  1)(n  2)Cn ( x  x0 )... Pn ( n ) ( x)  n(n  1)(n  2)  ...  3  2 1  Cn  Cn n !С учетом условий (1), найдем: Pn ( x0 )  C0  f ( x0 ) P '( x )  C  f '( x )10 n 0 Pn ''( x0 )  2C2  f ''( x0 ), Pn '''( x0 )  3  2  C3  f '''( x0 )... (n)(n) Pn ( x0 )  n ! Cn  f ( x0 )Откудаf ( x0 )C0  f ( x0 )  0!C  f '( x )  f '( x0 )0 11!C2  f ''( x0 )  f ''( x0 )2!f '''( x0 )C3 3!...(n)C  f ( x0 ) nn!Таким образом,34Ck f ( k ) ( x0 ), k  0,1, 2..nk!и искомый многочлен имеет вид:f '( x0 )f ''( x0 )f ( n ) ( x0 )2Pn ( x)  f ( x0 ) ( x  x0 ) ( x  x0 )  ...

( x  x0 ) n .1!2!n!Этот многочлен называется многочленом Тейлора.Введём обозначениеRn ( x)  f ( x)  Pn ( x).(3)Тогдаf ( x)  Pn ( x)  Rn ( x )илиf '( x0 )f ''( x0 )f ( n ) ( x0 )( x  x0 ) ( x  x0 ) 2  ... ( x  x0 ) n  Rn ( x )1!2!n!Это равенство называется формулой Тейлора n -го порядка, а функция Rn ( x) –остаточным членом формулы Тейлора.f ( x )  f ( x0 ) §2. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано.Покажем, что остаточный член формулы Тейлора пренебрежимо мал при хдостаточно близких к x0 , точнее, что Rn ( x)  o(( x  x0 ) n ) при x  x0 . Тем самым мыубедимся, что многочлен Тейлора действительно хорошо приближает функцию f ( x ) вмалой окрестности точки x0 . Rn ( x0 )  0 Rn '( x0 )  0Из (1) и (3) следует, что  Rn ''( x0 )  0.... Rn ( n ) ( x0 )  0С учетом этого,0000Rn ( x) 0Rn '( x) 0Rn ''( x )R ( n) ( x)lim lim lim ...

 lim 0.x  x0 ( x  x ) nx  x0 n ( x  x ) n 1x  x0 n( n  1)( x  x ) n  2x  x0n!000Таким образом,Rn ( x)  o(( x  x0 ) n ) при x  x0 .Остаточный член, записанный в такой форме называется остаточным членом в формеПеано. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:f ( x )  f ( x0 ) f '( x0 )f ''( x0 )f n ( x0 )( x  x0 ) ( x  x0 )2  ... ( x  x0 ) n  o(( x  x0 ) n ).1!2!n!Теперь мы видим, что при x , достаточно близких к x0 , функция f ( x ) может быть скольугодно точно приближена многочленом Pn ( x) . Погрешность этого приближениястремится к нулю при x  x0 .§3. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа.Получив остаточный член в форме Пеано, мы показали, что многочлен Тейлорахорошо приближает функцию в малой окрестности точки x0 , но ничего не выяснили о35точности этого приближения.

Остаточный член можно записать также в другой форме,называемой формой Лагранжа. Остаточный член в форме Лагранжа позволяет оценитьпогрешность приближения функции по формуле Тейлора.Теорема (о представимости функции по формуле Тейлора с остаточным членом вформе Лагранжа). Пусть функция f ( x )  n  1 раз дифференцируема в некоторойокрестности точки x0 . Тогда c   x0 ; x  при x  x0 или c   x; x0  при x  x0 такая, чтоf '  x0 f ''  x0 f ( n )  x0 f ( n 1)  c 2nn 1f  x   f  x0   x  x0   x  x0   ...

 x  x0   x  x0  .1!2!n! n  1 !Итак, остаточный член в форме Лагранжа имеет вид: Rn  x  f n 1  c n 1 x  x0  . n  1!§4. Формула Маклорена.Выбирая x0  0 , получим частный случай формулы Тейлора, называемый формулойМаклорена:f '(0)f ''(0) 2f ( n ) (0) nf ( x)  f (0) xx  ... x  Rn ( x )1!2!n!Формула Маклорена с остаточным членом в форме Пеано имеет вид:f '(0)f ''(0) 2f ( n ) (0) nf ( x)  f (0) xx  ... x  o( x n ).1!2!n!Формула Маклорена с остаточным членом в форме Лагранжа имеет вид:( n 1) c  n1f '(0)f ''(0) 2f ( n ) (0) n ff ( x )  f (0) xx  ... x x ,1!2!n! n  1!где c   0; x  при x  0 и c   x; 0  при x  0 .§5.

Представление по формуле Маклорена элементарных функций.1. Представим экспоненту y  e x по формуле Маклорена.y  exy '  ex…y (0)  1 ;y '(0)  1 ;y(n)  exy ( n ) (0)  1 ;y ( n 1)  e xy ( n 1) (c)  ec .Таким образом, представление функции y  e x по формуле Маклорена с остаточнымчленом в форме Лагранжа имеет вид:x2xnece x  1  x   ...  x n 1 ,2!n !  n  1!где c   0; x  при x  0 и c   x; 0  при x  0 .а представление по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Пеано:36x2xn ...   o( x n ) .2!n!Представим по формуле Маклорена функцию y  sin x .ex  1  x 2.y  sin xy (0)  0;y '  cos x  sin( x  )2y '(0)  1;y ''   sin x  sin( x  2 ) y ''(0)  0;2y '''   cos x  sin( x  3 ) y '''(0)  1;2y IV  sin x  sin( x  4 ) y IV (0)  0;2...y ( n )  sin( x  n )2 y ( n ) (0)  sin  n  ; 2y ( n 1)  sin( x  (n  1) )2y ( n 1) (0)  sin  (n  1)  ;2Таким образом, представление функции y  sin x по формуле Маклорена с остаточнымчленом в форме Лагранжа имеет вид:nxxx n 1n2y  x    ...

x sin  c   n  1  ,3! 5!n!2 n  1! а представление по формуле Маклорена с остаточным членом в форме Пеано:y  x35sin35sinxx  ... 3! 5!n2 x n  o( x n ) .n!3. Аналогичным образом, можно получить представление по формуле Маклорена состаточным членом в форме Лагранжа и в форме Пеано функции y  cos x :y  cos x  1 x2 x 4xnnx n 1  ...

 coscos     n  1  ,2! 4!n!2  n  1!2x 2 x4xnn  ...  cos o( x n1 ) .2! 4!n!24. Функция y  ln x не определена в точке x  0 . Поэтому вместо этогопредставим по формуле Маклорена функцию y  ln(1  x ) .y  cos x  1 37y  ln(1  x)y' 11 xy ''  y ''' y '(0)  111  x y ''(0)  1221  x y IV  yV y (0)  0y '''(0)  2!33!1  x 4!4y IV (0)  3!yV (0)  4!51  x ...y ( n )   1n 1y ( n 1)   1 n  1!n1  x ny ( n ) (0)   1n!1  x n 1n 1 n  1!y ( n 1) (c )   1n!n1  c n 1.Получаем следующее представление по формуле Маклорена с остаточным членом вформе Лагранжа:nn1x 2 x3 x 4x n 1n 1 xy  x     ...

  12 3 4nn  1 1  c  n 1и с остаточным членом в форме Пеано:y  xnx 2 x3 x 4n 1 x   ...   1 o( x n ) .2 3 4nЛекция 12§6. Применение формулы Тейлора (Маклорена) для вычисленияприближенных значений функции.Рассмотрим конкретный пример применения формулы Тейлора для приближенноговычисления значений функции. Найдем приближенное значение числа e .

Число e естьзначение функции y  e x в точке x  1 . Используя представление экспоненты по формулеМаклорена третьего порядка, получим:1 1e  1  1    2.63 .2 6Остаточный член в форме Лагранжа позволяет оценить погрешность этого приближения:ec1R  1   0.125 , поскольку 0  c  1 , а e  3 .4!838Увеличивая порядок формулы Маклорена, мы увеличим точность приближения. Так,используя формулу Маклорена пятого порядка, найдем:1 1 11e  11    2.717 ,2 6 24 1201R 0.004 .240§7. Асимптоты графиков функций.Опр. Асимптотой графика функции называется прямая, расстояние  от которойдо точки графика стремится к нулю при бесконечном удалении этой точки от началакоординат (рис.