Мат. анализ, 2 часть; 1 семестр(2) (Все лекции в электронном виде), страница 3

Таблица производных.Запишем таблицу производных основных элементарных и гиперболическихфункций. Многие из этих производных были найдены ранее. Другие, в качествеупражнения, рекомендуется найти самим.1. C '  02. x '  1'1x 3.2 x4. ( x ) '   x 1 '5.  e x   e x'6.

 a x   a x ln a7. (ln x) ' 1x1x ln a9. (sin x) '  cos x10. (cos x ) '   sin x111. (tgx ) ' cos 2 x112. (ctgx) '   2sin x113. (arcsin x) ' 1  x2114. (arccos x) '  1  x2115. (arctgx ) ' 1  x2116. (arcctgx ) '  1  x217. ( shx) '  chx18. (chx) '  shx119. (thx ) '  2ch x120. (cthx) '   2 .sh x8. (log a x) ' §4. Производные высших порядков.Опр. Пусть задана дифференцируемая на a, b функция y  f ( x ) и пустьy '  f '( x) – ее производная на этом сегменте.

Тогда функция y ''   y ' ' , если онасуществует, называется производной 2-го порядка или второй производной функцииy  f ( x ) . Аналогично, функция y '''   y '' ' называется производной 3-го порядка или15третьей производной функции y  f ( x ) .

В общем случае, n-ой производной функцииy  f ( x ) называется производная от  n  1 -ой производной этой функции:dfy  n   y  n 1 ' , n  2, 3,... .Пример.ye kxy '   ke  kx2y ''    ke  kx  '   1 k 2 e  kxy '''  123k 2 e  kx '   1 k 3 e kx...ny  n    1 k n e  kxВведем обозначения:C  a, b   класс функций, непрерывных на  a, b  .C 1  a, b   класс функций, имеющих непрерывную производную на  a, b  .C 2  a, b   класс функций, имеющих непрерывную 2-ую производную на  a, b  .…C n  a, b   класс функций, имеющих непрерывную n -ую производную на  a, b  .C   a, b   класс функций, имеющих непрерывные производные любого порядка(бесконечно дифференцируемых).Аналогичные обозначения используются для функций, имеющих непрерынвныепроизводные n -го порядка на интервале, полуинтервале, в точке.

Например, C n (a, b) ,C n [a, b) , C n  x0  .§5. Дифференцирование функции, заданной параметрически.Функция y  f ( x ) может быть задана системой уравнений: x    t t  [ ,  ] .(1)ytВ этом случае говорят, что эта функция задана параметрически, а переменную tназывают параметром.Пример. Рассмотрим функцию x  R cos t, t   0,   . y  R sin tЭта функция описывает верхнюю половинку окружности рис. 1.координаты любой точки, удовлетворяющей приведенным уравнениям,очевидно, также уравнениюx2  y 2  R 2 ,а это уравнение окружности с центром в начале координат, радиусомполучим:y   R 2  x2 .(2)Действительно,удовлетворяют,R . Выразив y ,(3)16Знак «+» выбран потому, что y  sin t  0 при t  [0,  ] . Координаты точки на плоскостиудовлетворяют уравнениям (2) тогда и только тогда, когда они удовлетворяют уравнению(3), а оно описывает верхнюю половинку окружности, изображенной на рис.

1. Параметрt , в данном случае, это угол, образованный радиус-вектором точки на окружности сположительным направлением оси абсцисс (так называемый полярный угол).Рис. 1. Кривая, заданная параметрически.Хотя параметрическое задание кривой, на первый взгляд, может показаться надуманным,оно имеет отчетливый физический смысл: если трактовать x и y как координатыматериальной точки на плоскости (например, Броуновской частицы на поверхностистакана с водой, или центра масс Земли на околосолнечной орбите), а t как время, тоуравнения (1) представляют собой уравнения движения материальной точки.

В трехмериипараметрическое задание кривой: x   (t ) y   (t ) , t  [ ,  ] z   (t )является наиболее удобным и физически осмысленным способом задания.Итак, пусть функция y  f ( x ) задана параметрически уравнениями (1).Допустим, что функции x    t  и y    t  имеют производные и допустим, что функцияx    t  имеет обратную t   1  x  , которая тоже имеет производную. Тогда функциюy  f ( x ) можно рассматривать как сложную функцию аргумента x :y     1 ( x )   y  t ( x ) Используя теоремы о производной сложной и обратной функции, получим:y '  '(t )y 'x  y 't  t ' x  t .x 't  '(t )Здесь через xt' и yt' обозначены производные функций (1) по переменной t .

Такимобразом, мы получили формулу, позволяющую дифференцировать функцию y ( x) , ненаходя ее явного выражения:y'y 'x  tx 'tАналогичным образом можно получить формулы для производных от функции y  f ( x )высших порядков. Выведем, например, формулу для 2-ой производной.

Полученное намивыражение для 1-ой производной представляет собой некоторую функцию переменной t :y'  'y 'x  t  t  y1  t   y1  t  x   .x 't  'tРассматривая ее как сложную функцию аргумента x , получим:17y ''xx   y 'x  'x   y 'x  't  t 'x  y 'x  'tx 'tИтак, формула для вычисления 2-ой производной функции заданной параметрическиимеет вид: y 'x  't .y ''xx x 'tЗапишем эту формулу в «развернутом» виде (выразим 2-ую производную через исходныефункции):y ''xx y ' x  'tx 't' y'  1y '' x '  y ' x '' 1y '' x '  y ' x '' t   tt t 2 t tt  tt t 3 t ttx 't x 't  x 't  x 't t x 'tИтак,y ''xx y ''tt x 't  y 't x ''tt x 't 3.Аналогично можно найти производные более высоких порядков.Пример.Рассмотрим функцию x  cos 2t y  2sin 2tи найдем y 'x и y ''xx . Очевидно,4 cos 2ty 'x  2ctg 2t .2sin 2t y ' x  't42y ''xx  3 .2x 't2sin 2t  sin 2tsin 2t§6.

Механический смысл 2-ой производной.Путь, пройденный поступательно движущимся телом (материальной точкой), взависимости от времени выражается формулой: S  S  t  . Как говорилось ранее,мгновенная скорость тела равна: V  t   S 't . Пусть в некоторый момент времени tскорость тела была равна V . Если движение не является равномерным, то за промежутоквремени t , истекший с момента t , скорость изменится и получит приращение V .

Еслидвижение равноускоренное, то ускорение можно определить формулойVa.tОднако, в случае не равноускоренного движения, это отношение зависит от величины t .Чтобы определить ускорение для этого случая, прежде всего, введем понятие среднегоускорения за промежуток времени t .Опр. Средним ускорением тела за время t назовем отношение приращенияскорости к приращению времени:Vaср .tОпр.

Ускорением движения физического тела в момент времени t назовем пределотношения приращения скорости к приращению времени, при стремлении последнего кнулю:18V.tДругими словами,a(t )  limt  0a  V '(t )  S ''(t ) .Итак, ускорение прямолинейного движения равно второй производной от пути повремени. В этом состоит механический смысл второй производной.§ 7.

Дифференциал функции.Пустьфункцияy  f ( x)определенавнекоторойокрестностиu  x0 идифференцируема в точке x0 . Тогда ее приращение представимо в виде (по определениюдифференцируемости):y  f '( x0 )x  o(x ) .(1)Опр. Первое слагаемое в правой части формулы (1), линейное относительноприращения переменной x :dy  f '( x0 )x(2)называется дифференциалом функции f ( x ) в точке x0 . Отметим, что в общем случаеf '  x0   0 и f '  x0  x – главная часть бесконечно малой функции y (x ) при x  0 .Иными словами, y ~ dy при x  0 .

Найдем дифференциал функции y  x . Используяформулу (2), получим:dy  x ' x  1 x  x .С другой стороны, поскольку y  x , dy  dx . Таким образом, дифференциал независимойпеременной совпадает с ее приращением:dx  x .Это позволяет записать формулу (2) в виде:dy  f '  x0  dx .Или, если функция y  f ( x ) дифференцируема на промежутке (например, на сегменте a, b  ), то в любой точке этого промежуткаdy  f '( x)dx .Эта формула называется формулой вычисления дифференциала.2Пример. Дифференциал функции y  e x , очевидно, равен(3)2dy  2 xe x dx .Отметим, что дифференциал, по существу, представляет собой функцию двухнезависимых переменных: x и x . Из формулы (3) очевидно следует, что производнуюфункции можно представить в виде отношения дифференциала функции кдифференциалу независимой переменной:dyy' dx(читается « y ' равно dy по dx »).Замечание.

С учетом сказанного, можно легко получить выведенную ранееформулу для производной функции заданной параметрически. Действительно,dyy'dyy'  dt  t .dx dxx 'tdt19§ 8. Геометрический смысл дифференциала.Как известно, уравнение касательной к графику функции f ( x ) в точке ( x0 , y0 ) , гдеy0  f ( x0 ) , имеет вид:y  y0  f '( x0 )( x  x0 ) .Не трудно заметить, что правая часть этого уравнения равна дифференциалу функцииf ( x ) в точке x0 : f '( x0 )( x  x0 )  f '( x0 )x  dy . Таким образом,dy  y  y0 ,т.е. дифференциал функции f ( x) равен приращению ординаты касательной к кривой y= f ( x) в точке x0 , соответствующему приращению независимого аргумента x (см.

рис.2). В этом и состоит геометрический смысл дифференциала функции.Рис. 2. Геометрический смысл дифференциала.§ 9. Инвариантность формы первого дифференциала.Формулу (3) иногда называют формой первого дифференциала. Мы получили ее впредположении, что x – независимая переменная. Докажем, что она останетсясправедливой и в случае, если x – функция некоторой независимой переменной t .Теорема. Форма первого дифференциала (3) не зависит от того, является аргумент xнезависимой переменной или функцией другого аргумента.Доказательство.